基于輸入-狀態穩定性理論的雙饋風機穩定性分析

王若谷， 李恒毅， 高欣 ， 郭寧， 戴立森

(1. 國網陜西省電力公司電力科學研究院，陜西 西安 710100；2. 西安交通大學電氣工程學院，陜西 西安 710049)

0 引言

隨著全球能源短缺和環境污染問題的日益突出，大力發展可再生能源發電技術已成為全世界的共識。然而，近年來風電并網引起電力系統事故時有發生[1—2]，因此需要評估風電并網對電力系統的影響。雙饋型風機具有成本低、控制靈活的特點[3—4]，被廣泛應用于風力發電系統中。然而，雙饋型風機對電網電壓變化敏感，在系統故障時會惡化系統的動態響應[5—6]。因此，分析雙饋型風機對電力系統的電壓穩定性的影響具有重要意義[7]。

目前，已有相關文獻對雙饋型風機并網的電力系統暫態穩定性分析和控制開展研究。文獻[8]分析了風力發電系統接入對電力系統功角穩定性的影響。文獻[9]提出一種基于修正暫態能量函數的量化暫態穩定性評估方法。文獻[10]研究了雙饋型風機接入系統比例的增加對電力系統暫態穩定性的影響。為了抑制雙饋型風機自身不穩定運行帶來的功率振蕩，文獻[11]提出一種改進的離散控制器。然而，以上文獻并未涉及雙饋型風機并網對電力系統電壓動態的影響。文獻[12]研究了風機非線性特性對系統電壓的影響。文獻[13]通過時域仿真研究了靜止同步補償器等無功補償裝置對系統電壓的影響。文獻[14]分析了無功補償裝置在增強電力系統短期電壓穩定性方面的作用。文獻[15]研究了雙饋型風機造成系統電壓振蕩的機理。上述研究均使用時域仿真方法對系統電壓動態進行分析，計算量大，難以實現對系統電壓穩定性的在線判斷，且無法獲得系統穩定裕度的量化分析結果。Lyapunov理論是評估電力系統電壓穩定性的另一種方法[16]，通過計算初始狀態到穩定域邊界的距離可以得到量化的穩定性分析結果。然而，由于缺乏構造Lyapunov函數的系統算法，制約了該理論在實際系統中的應用。

輸入-狀態穩定(input-to-state stability,ISS)理論為研究非線性系統的穩定性問題提供了一種新的途徑。該理論將狀態空間穩定理論與輸入-輸出穩定理論相結合，通過將互聯系統分解為若干子系統，利用子系統的ISS特性及其連接關系研究互聯系統的穩定性[17—18]。ISS理論可以研究非線性系統在外部擾動下的動態響應特性以及量化系統可承受的外部擾動的大小，因此，ISS理論適用于含雙饋型風機的電力系統電壓穩定性分析。

基于上述分析，文中提出一種雙饋風力發電系統的電壓穩定性量化分析方法。基于小增益定理，對雙饋風力發電系統穩定特性進行量化分析，為其運行和控制提供指導。首先對ISS理論進行介紹；其次以ISS理論為基礎，提出了雙饋風力發電系統的電壓穩定性量化分析方法；然后通過時域仿真驗證了量化穩定性分析方法的有效性；最后總結全文并指出未來的研究方向。

1 理論基礎

文中給出局部輸入-狀態穩定(local input-to-state stability,LISS)和局部輸入-輸出穩定(local input-to-output stability,LIOS)的基本理論，并討論與ISS等價的積分-積分估計，為子系統和互聯系統的穩定性分析奠定基礎。

考慮具有外部輸入的非線性系統：

(1)

式中：x∈Rn；y∈Rp；u∈Rm；f:Rn×m→Rn；h:Rn×m→Rp。f和h在x和u上連續且滿足局部Lipschitz條件，且f(0,0)=0,h(0,0)=0。

定義1：取ΩISS為LISS初始狀態域，UISS為LISS外部輸入域，則對于任意x0∈ΩISS∈Rn,u∈UISS∈Rm，如果存在比較函數βISS∈KL，γISS∈K∞，對于任意初始狀態x0和外部輸入u，式(2)成立，則非線性系統(1)是LISS的。

|x(t,x0,u)|≤βISS(|x0|,t)+γISS(‖u‖∞)
?t≥0

(2)

式中：|·|為歐幾里德范數；γISS為輸入到狀態漸近增益；‖u‖∞為外部輸入u的上確界。

定義2：取ΩIOS為LIOS初始狀態域，UIOS為LOSS外部輸入域，則對于任意x0∈ΩIOS∈Rn,u∈UIOS∈Rm，如果存在比較函數βIOS∈KL，γIOS∈K∞，式(3)成立，則非線性系統(1)是LIOS的。

|y(t,x0,u)|≤βIOS(|x0|,t)+γIOS(‖u‖∞)
?t≥0

(3)

式中：γIOS為輸入到輸出漸近增益。

對于非線性系統的LISS/LIOS分析，估計初始狀態的局部域和外部輸入的局部域是至關重要的。在實際系統中，非線性系統的穩定域可以用Ω和U來表示，其中Ω=ΩISS∩ΩIOS，U=UISS∩UIOS。

漸近增益能反映外部輸入對系統狀態和輸出的影響，并可量化系統對外部擾動的承受能力。由于定義1和2中外部輸入由其上確界表示，因此僅能反映外部擾動的幅值信息，不能反映其隨時間的波動信息。為解決該問題，文中采用與ISS等價的積分-積分估計[19]。

定義3：對于任意x0∈ΩIOS∈Rn,u∈UIOS∈Rm，若式(4)成立，則稱系統(1)滿足局部狀態積分-積分估計。

(4)

定義4：對于任意x0∈ΩIOS∈Rn,u∈UIOS∈Rm，若式(5)成立，則稱系統(1)滿足局部輸出積分-積分估計。

(5)

由積分-積分估計的定義可見，系統狀態、外部輸入和系統輸出均由積分表示，因此該分析方法能包含外部擾動的幅值信息以及在時間尺度上的波動信息。

文獻[20]給出了子系統的量化LISS/LIOS評估的詳細算法，基于此，提出互聯系統的量化穩定性評估準則，量化評估雙饋型風機接入對電網穩定性產生的影響。

2 雙饋風力發電系統穩定性量化評估準則

考慮一個由n個子系統組成的互聯系統，在雙饋風力發電系統中，子系統可以選取雙饋型風機、同步發電機、感應電動機等，其中第i個子系統數學模型表達式如下：

(6)

式中：xi∈RNi，ui∈RMi為與其他子系統的狀態和輸出相關的內部輸入；ωi∈RWi為外部擾動；yi∈RPi為各子系統的輸出。研究雙饋風力發電系統電壓穩定性時，電源、負載子系統將選擇電壓、電流作為輸入和輸出，外部擾動對應雙饋風力發電系統中受故障影響產生的電壓波動。

假設每個子系統都滿足LISS/LIOS屬性，并且子系統之間的連接關系可以表示為輸入ui和輸出yi的關系。通常，電力系統模型由微分代數方程組成，每個子系統的輸入和輸出滿足一系列代數方程g(u,y)=0，子系統連接關系Z由系統的節點導納矩陣消去運算獲得[21]。

文中給出基于積分-積分估計的互聯系統量化穩定性評估準則如下。

如果由n個子系統組成的互聯系統，滿足下列2個準則，則該互聯系統是LISS和LIOS的。

(1) 小增益條件成立，即：

G(v*) <

(7)

G(p)

(8)

式中：G=ΓIOS°Z,ΓIOS為I/O增益矩陣；v*為滿足(7)的局部穩定域邊界；p為(0,v*]區域內一點。

(2) 系統穩定裕度M大于0，即：

(9)

式中：μ∈K∞；?IOS為外部擾動的近似增益；γ為滿足穩定性評估準則(1)的最大輸出集合。

接下來證明量化穩定性評估準則。

第一步，證明當系統(6)即式(6)滿足局部小增益定理，即穩定性評估準則(1)時，互聯后子系統依然滿足積分-積分估計。由文獻[22]可知，當系統(6)滿足量化穩定性評估準則(1)時， 存在一個函數

μ∈K∞使得式(10)成立。

(10)

(11)

考慮到μ，?IOS為K∞函數，對于有界輸入a≤A，b≤B，f(a,b)≤F，則f(a,b)單調有界，那么對于有界輸入a≤A，b≤B，一定存在函數g(a,b)，滿足g(a,b)≥f(a,b)。

(12)

因此，互聯系統(6)是LIOS的。接下來證明互聯系統(6)是LISS的。

子系統滿足式LISS屬性，式(13)成立。

(13)

將子系統連接關系Z代入式(12)，同時代入式(14)。

(14)

結合式(12)，可得：

(15)

(16)

(17)

因此，互聯系統(6)是LISS的 。

(18)

結合式(10)，可得：

(19)

式(18)表明輸出既滿足自然約束，也滿足工程約束。

量化穩定性評估準則(2)可通過計算復合函數進行校驗。因此，還需驗證評估準則(1)中的局部小增益條件。

由文獻[22]中的定理可知，小增益條件可以通過驗證序列{v(k)}的收斂性來判斷。由于文中使用積分-積分估計，如果系統的狀態和輸出收斂到平衡點附近區域，則可認為該系統是穩定的。設系統存在保持穩定的最小輸入能量v0，則局部小增益的驗證條件可以轉換為當k→∞ 時，v(k)→v0。

不動點v*可由各子系統的輸入向量表示。一般地，系統的安全運行約束范圍總是小于系統的穩定范圍，因此不動點v*可以由系統的安全運行約束表示。在雙饋風力發電系統中，設系統的電壓、電流安全運行約束為Ulim和Ilim，則不動點v*可表示為[Ilim,Ulim]T。

綜上所述，僅需驗證序列{v(k)}的收斂性，其中v(k+1)=G(v(k))，v(0)=v*。具體地，給定一個最大迭代次數kmax，校驗序列{v(k)}是否能夠在kmax次迭代內收斂至v0的某一鄰域內。若可以，則系統滿足小增益條件；反之，系統不穩定。

為驗證小增益條件，增益函數應是平滑的。因此利用一個滿足下列條件的光滑非線性增益函數來逼近分段線性漸近增益函數：

(20)

雙饋風力發電系統可視作由雙饋型風機、同步發電機、負載等子系統構成的互聯系統，各子系統的LISS/LIOS屬性均可通過估計得到，因此所提出的互聯系統穩定性量化評估準則可應用于雙饋風力發電系統的電壓穩定性量化分析。具體地，對雙饋風力發電系統的電壓穩定性評估可從2個方面展開：(1) 在子系統層面，需研究各子系統在外部擾動下的穩定特性，根據式(4)、式(5)對其LISS/LIOS屬性進行估計，結合運行約束得到各子系統的最大輸入能量及輸出能量；(2) 在互聯系統層面，需充分考慮各子系統電壓穩定特性及子系統間互聯特征，根據式(8)、式(9)驗證系統是否滿足小增益定理以及對應的系統穩定裕度，進而得到互聯系統電壓穩定性判據，從而實現雙饋風力發電系統電壓穩定性的量化評估。雙饋風力發電系統的電壓穩定性量化分析研究框架如圖1所示。

圖1 量化穩定性分析研究框架

3 雙饋風力發電系統電壓穩定性量化分析

為驗證所提出的互聯系統穩定性量化評估準則的有效性，將在含雙饋型風機的電力系統中進行測試及分析，測試系統的總體結構如圖2所示。

圖2 測試系統的總體結構

圖2所示電力系統的子系統包括雙饋風機風場WF1、WF2，同步發電機G1，感應電動機M1、M2、M3和恒阻抗負載。為評估風電并網對電力系統電壓穩定性的影響，須合理選擇輸入與輸出，并且估計子系統外部輸入和初始狀態的局部域。其中，同步發電機的輸入和輸出分別選擇為端電流和端電壓，雙饋型風機風場的輸入和輸出分別選擇為端電壓和定子電流，負載整體的輸入和輸出分別選擇為端電壓和端電流。設定電力系統的安全運行約束為：在故障清除后系統內各節點電壓應不小于0.8 p.u.，雙饋型風機的轉子電流最大值為2.0 p.u.。

3.1 子系統的LISS/LIOS屬性估計

圖3 雙饋型風機風場的漸近增益估計

圖4 初始狀態、外部輸入和系統輸出的關系

3.2 量化穩定性分析和仿真結果

圖5 檢驗小增益條件

根據量化穩定性分析結果，定義：

(21)

(22)

(23)

不滿足量化穩定性評估準則(2)。

時域仿真驗證上述理論分析結果，首先設置風電場均含9臺雙饋型風機，在t=3 s時，B4發生三相接地短路故障，短路故障持續時間為0.27 s，風電場端電壓的動態響應如圖6所示。由圖6可知，在故障清除后，端電壓降到0.8 p.u.以下，電壓越過安全穩定約束，與理論分析結果一致。

圖6 風場端電壓動態變化

圖7 不同風機數量的 with different n of fans

(24)

分析結果表明，當n=7時，系統在故障清除后將滿足安全穩定約束。仿真設置相同的故障條件，風場的端電壓仿真結果如圖8所示。由圖8可知，將風電場1中雙饋型風機的數量減少到7臺時，風場的端電壓保持在安全穩定約束內，仿真結果驗證了理論分析的正確性。

圖8 n=7時風電場端電壓的動態變化

由算例結果可知，文中所提互聯系統穩定性量化分析方法可在互聯系統層面對雙饋風力發電系統的電壓穩定性進行定量評估，揭示了系統的動態響應與外部擾動之間的關系，同時量化系統能夠承受的最大擾動，從而能夠有效促進雙饋型風機在電力系統中的應用。此外，由于子系統的穩定性特征可通過離線仿真獲得，降低了互聯系統穩定性分析的計算量，從而使系統電壓穩定性的在線判斷成為可能。

4 結語

文中提出了含雙饋型風機的電力系統電壓穩定性量化評估方法，該方法的主要優點是能從子系統層面和互聯系統層面2個角度對系統的穩定性進行量化評估,并用漸近增益量化外部擾動對系統電壓穩定性的影響，用外部輸入和初始狀態的局部域量化系統的穩定域。時域仿真驗證了該方法的有效性。

降低這種方法的保守性是值得進一步研究的工作。同時，如果系統的維數較高，則式(9)中μ函數的計算會比較復雜。因此，未來還需要研究μ函數估計的一般算法。

本文得到國網陜西省電力公司科技項目 (B626KY190005)資助，謹此致謝！