基于“再創造”原理的數學法則教學思考與實踐

季學淵

【摘要】從初中數學法則課教學“效率”過高，引發思考和分析。結合弗賴登塔爾的再創造原理，以《同底數冪的乘法1》教學設計為案例，闡述在法則課教學中，教師怎樣實施引導學生再創造，真正提高數學法則教學的效率，提升學生的核心素養。

【關鍵詞】數學教育 ?教學方法 ?法則教學 ?再創造

一、問題的緣起

在一次校級教研課《有理數的減法》的課后研討中，討論的焦點是《有理數的減法》這條法則如何得出的。這節課是本章的難點，特別是對法則的理解，若處理不當，就突破不了難點，從而影響學生的認知。討論中主要有以下觀點：

觀點一：法則課等同于習題課。有理數的減法法則是結果性的知識，不需要解釋太多，重點是讓學生掌握怎么計算，培養運算能力。

觀點二：法則課等同于概念課。通過氣溫差引出有理數的減法，并借助溫度計這一實際模型計算出結果，引導學生觀察列出的式子和教師給出的式子間的不同與聯系，歸納法則。

觀點三：法則課有其自身的邏輯體系。法則即規律，各法則間有較強的聯系，法則的客觀性又決定了要讓學生真正理解并掌握有理數的減法法則，根本在于讓學生經歷法則的形成過程。因此，法則教學應立足于學生已有的數學知識、數學經驗，關注學生的認知特點和最近發展區，自然、有序的促進知識的生成和學生素養的發展。

審視教學實踐我們發現：上述三個觀點中“觀點二”所反映的教學方法居多。原因主要有三：

一是只求表層，缺乏立意。就法則而論法則，教學停留在對數學法則結構的辨認和法則應用上，缺少對“法則從何而來”的探索，常常出現一節課用幾分鐘學法則，剩下的時間練法則的現象。生硬的法則教學較少引起學生的深度思考，導致學生對法則的理解浮于表面，最終停留在簡單的模仿解題上。

二是草率設計，目中無人。以教師為中心，不考慮學生的認知特點，不重視學生的個性發展。只著眼于這一節課，忽視新的知識與學生已有數學經驗、后續知識間的關系，割裂了知識間的聯系，使得學生很難形成對知識體系的整體把握。

三是只重結果，輕視過程。很多一線數學教師扮演著“知識的搬運工”的角色，采用“大容量、快節奏、高強度”的教學方式將知識灌輸給學生，不重視知識的自然生成，缺少對學生自主思考、探索能力的培養，學生的數學能力得不到全面的發展，不利于學生的成長。

如何才能有效處理好上述問題，把思考的時間、空間留給學生，讓學生體驗數學學習的有趣與精彩，經歷知識的“再創造”學習，這是每個教育者需要思考的問題。

本文基于再創造原理，結合教學實踐，以《同底數冪的乘法1》為例，闡述自己的觀點。

二、基于再創造原理的數學法則課教學建構

（一）再創造原理的理性解讀

荷蘭數學教育學家弗賴登塔爾認為：教學方式是指導學習者“再創造”，即“有指導的再創造”。他強調數學教育者必須面向社會現實，必須聯系日常生活實際，注意培養和發展學生從客觀實際現象找出數學問題，以及把具體材料經過組織而走向高一級水平的能力，必須用“再創造”的方法去進行教學。

“再創造”的過程是學生對學習材料、數學問題，進行觀察和初步了解，從而對其分類整理，逐步上升到概念化水平，經過同化，把事物的規律性，在更廣的范圍內認識、推廣和應用。學習者的“再創造”，通過對舊知識的重組和新知識的獲得，從而在“再創造”的過程中不斷比較與反思，從而把實際問題通過“再創造”，經過數學化的一個過程。

通過“再創造”學習過程，它由學生自己去發現或創造將要學的東西;教師的任務是引導和幫助學生進行這種再創造的工作，這與把現成的知識灌輸給學生兩者相比較，看似后者效率更高點，但真正理解和掌握的效果，無疑是前者更有效，更能培養學生的核心素養。

（二）基于再創造原理的數學法則教學的基本架構

“再創造原理”對數學教學具有極其重要的指導意義，具體到數學法則課，主要有以下三方面的體現：

1.引導學生推導法則

初中階段的法則是以小學數的運算法則為基礎，將學生已有的數的運算法則經驗作為探究新法則的起點，不斷地將新法則知識納入已有的法則網絡結構中，以加深學生對知識的理解，提高學生的學習積極性和探索新知的能力。教師要在舊知與新知之間架起橋梁，將教材上的法則轉化成一個個適合于學生探索的有價值的小步驟。讓學生經歷從特殊到一般，具體到抽象的過程，生成法則，以及驗證法則的過程。讓學生有興趣參與課堂活動、有能力探究法則。放慢探究核心知識的過程，引導學生經歷法則的生成與構建，讓學生理解法則的本質，使教學變得自然。最終由學生抽象、概括出法則內容。讓學生對法則的感性認識上升到理性思考，讓學生知其然，知其所以然，從而提升數學運算的能力和邏輯推理能力，課堂上培養學生的核心素養。

教師根據再創造原理，學生經歷新知的再創造過程，讓學生體會如何將未知轉化為已知的方法和思想。有助于學生在未來的學習中，運用這樣的能力解決更多新的問題。

2.幫助學生掌握法則

學生經歷法則的推導，是掌握法則的重要因素，除此之外，例題和鞏固練習也是掌握法則的必經之路，應該設置分層、遞進的變式來鞏固法則。

選題大致可以分成四類：即基礎練習，對法則的直接應用;易錯點辨析，分析歸納錯誤的成因;橫向聯系應用，加強知識點之間、法則與生活的聯系，加深對法則的體會;縱向提高，利用法則的推導方法，給學生機會自行推導類似的法則。

整個過程，通過追問、肯定、糾錯、歸納等方式，助推學生掌握法則。

3.為學生學習后期的法則積累經驗

學習的最終目的是應用，如果能夠利用已學的理論和基本方法，探索解決未知問題的本領，這是教育的最終目標。對于法則課，將課堂難點放到如何引導學生推導法則上，通過導入——嘗試——猜想——驗證環節，看似“耗費”時間，卻讓學生體會了研究法則的一般方法。學生只有自己經歷了法則生成的過程，才能實現低起點，高落點，實現對新知的再創造。在知識拓展環節，可以呈現更進一步的應用。

根據 “再創造”原理和我們的認識，數學法則課教學框架構建如下（見圖1）。

三、基于再創造原理的數學法則教學實施

《同底數冪的乘法法則1》是在學生已經學習了乘法的意義、有理數的乘方運算和整式的加減運算的基礎之上來學習的，它是學習其他乘法法則的基礎，同時，也是整式運算的基礎。以《同底數冪的乘法1》為研討素材，分別從法則引入、法則推導、法則遷移、法則升華四個環節來談談具體實施和教學思考。

（一）法則引入

1.課前回溯

（1） 2^5 表示__________________________;

（2）10×10×10×10可以寫成____________;

（3）a的底數是_________，指數是__________;

（4）（a+b）3的底數是___________;指數是___________;

（5）（-2）3的底數是__________，指數是___________;

（6）-24的底數是___________，指數是_____________.

設置前測的目的是找到該節課的知識起點，讓教師能夠更有針對性的進行指導。為“再創造”創設基礎。教學需備教材、備學生。學生已有的經驗是具體的數的乘方運算。通過回溯，有目的的幫助學生回顧數的乘方運算，喚醒學生的記憶;回顧具體數的冪的形式和意義。回顧易錯點負數的指數次冪的結果的符號。

2.實例導入

書本節前導入： 光年是長度單位，1光年是指光經過一年所行的距離.光的速度大約是3×105 km/s，一顆行星與地球之間的距離為100光年，若取一年大約為3×107 秒，則這顆行星與地球之間的距離大約為多少千米？

解：1光年=3×〖10〗^5×100×3×〖10〗^7

學生的學習興趣是達成課堂標準的關鍵因素，內在需求是學習的動力。導入的目的是激發學生的學習興趣，意識到學習本堂課的必要性。此處，學生對運算〖10〗^5×〖10〗^7需要如此操作：〖10〗^5×〖10〗^7=100000×10000000=〖10〗^12。是否有更簡潔的計算方法？通過認知沖突，引出課題，激發學生的求知欲望。

（二）法則推導

3.獨立嘗試

（1）根據自己的理解，解答下列各題.

推導法則的過程是再創造的核心，讓學生經歷推導過程，教師需要將抽象的法則轉化為有梯度的具體知識。將法則的難點分解為一個個小問題，讓學生有能力通過自己計算、觀察、比較，得出猜想。經歷推導，不僅加深學生對法則的印象，更是讓學生體會研究問題的一般方法。

課本上“同底數冪的乘法法則：同底數冪相乘，底數不變，指數相加。”即a^m?a^n=a^（m+n），從底數、指數均為具體的數，將乘方運算轉化為乘法運算，再由乘法運算，轉化為冪的運算。觀察底數、指數的變化，為法則的推導奠定基礎;再到底數、指數部分為具體數字。學生經歷從特殊到一般的探究過程，這其中的每一步雖然只是一個小小的遞進，卻是一個從量變到質變的飛躍。符合學生的認知過程。這也是解決數學問題的常用方法。

4.猜想并驗證法則

猜想 a^m?a^n= ？ （m，n均為正整數）分組討論，并嘗試證明你的猜想是否正確。

根據教師前面設置的階梯，本節課的難點：驗證底數、指數均為字母的法則，學生得到猜想：a^m?a^n=a^（m+n）已是水到渠成。教師只需追問學生兩個問題：

（1）a^m的具體意義是什么？

（2）你能否將此乘方運算轉化為乘法運算？

通過具體數的乘方運算經驗，根據教師的追問，學生將抽象的數的運算與具體的數的乘方運算進行類比，化解難點。學生代表上臺展示證明的過程。教師隨機追問其他同學每一步運算的理由。通過推導法則的層層深入，實現了學生在課堂上的主體地位。

5.總結歸納

學生通過“導入、嘗試、猜想、驗證”等環節，對法則有了一定的理解和體會。但缺乏高度，需要教師幫忙指導構建。教師不急于替學生總結，可以通過追問的方式，再次引發學生思考，幫助學生自己總結出所學的內容。

追問1：什么情況下可以用同底數冪乘法法則來運算？——同底、乘法。

追問2：同底數冪的乘法法則的結果是什么？——底數不變、指數相加。

追問3：同底數冪的乘法法則對指數有什么要求？——m，n均為正整數。

追問4：在法則的研究過程中，我們是怎樣一步步操作，最后輕松得出結論的？——從特殊到一般，具體到抽象的研究方法。

（三）法則運用

6.例題演練

計算下列各式，結果用冪的形式表示。

（1）5^8×5^3 ? ?（2）（-3）^7×（-3）^6 ? ? （3）6^4×6

（4）x^3?x^5 ? ? （5）2^3×（-2）^2 ? ? ? ?（6）（a-b）^2×（a-b）^4

從具體數的法則推導上升到一般數的推導并證明，最后得到結論。“再創造”過程不僅僅只是在法則的推導環節。在例題分析時，又變成具體的數的運算，為了防止學生在計算時，仍然停留在推導上，教師板演非常的重要。精心挑選例題，包含對法則的正遷移和易錯點，通過正遷移，鞏固法則;通過易錯點，讓學生在課堂上暴露問題，對知識的缺漏進行補充。

光年是長度單位，1光年是指光經過一年所行的距離.光的速度大約是3×105 km/s，一顆行星與地球之間的距離為100光年，若取一年大約為3×107 秒，則這顆行星與地球之間的距離大約為多少千米？

解：1光年=3×〖10〗^5×100×3×〖10〗^7

學習法則、應用法則，再次呈現節前引入，學生能自己解決課前問題，感受法則帶來的便利，并感受學習法則的優越性。

7.鞏固訓練

通過形式多樣的題組訓練：搶答、辨析、計算、拓展等環節，難度由易到難，逐步提升，讓不同能力水平的學生都能融入到課堂當中去，都能享受一節課的學習成果。

（四）課堂小結

通過追問，讓學生回顧本堂課的教學過程，并作出總結。

追問1：本堂課推導了一個什么知識？——同底數冪的乘法法則

追問2：法則的內容是什么？——a^m?a^n=a^（m+n）（m，n均為正整數）

追問3：我們是怎么將法則推導而來的？——從具體到抽象

追問4：具體運用法則時，遇到的難點是什么？——底數互為相反數，需要先轉化成同底數冪。

以問題串的形式帶領學生快速回顧本節課所學數學法則、法則推導過程、數學思想方法，加深學生對研究法則一般方法的印象，深化學生主動探索知識形成過程的意識，提升學生的數學核心素養。

（五）法則升華

（1）當三個或以上同底數冪相乘時，是否也具有這一性質呢？怎樣用公式表示？

〖 a〗^n?a^m?a^t=a^（n+m+t）（m，n，t>0）

（2）猜想（a^m ）^n=___________（m，n均為正整數）的值，推導并證明.

法則升華階段，是對學有余力的學生設計的有較高思維量的練習，是學生利用課堂研究法則的方法的再探究，具有一定的挑戰性。鼓勵學生獨立完成并證明，交流展示結果，讓學生在學習中體會快樂和成就感。

再創造教學必須關注學生已有的數學現實、個性化需求，提供適合學生的“低起點”，讓不同層次的學生都能參與到課堂中去，提高學生的學習興趣。再創造教學是“有指導的再創造”，要求教師對知識有深入的理解，對可能產生的結論有充分的準備，并能夠在學生需要的時候，為學生提供通往新知的“緩坡”，引導學生思維的發展，學生得以在猜想、推導、證明、歸納的過程中，成為自主的學習者，不斷發展數學核心素養。

參考文獻

[1] [荷]弗賴登塔爾，著.陳昌平，唐瑞芬，譯.作為教育任務的數學[M].上海：上海教育出版社，1995.

[2] 范良火，等.義務教育數學教科書[M].杭州：浙江教育出版社，2013.

[3] 中華人民共和國教育部.全日制義務教育數學課程標準[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[4]章建躍.數學教育隨想錄[M].杭州：浙江教育出版社，2017.