多視角突破一道高考題

摘 要：平面向量作為高中數(shù)學(xué)的重要工具，它將代數(shù)和幾何緊密聯(lián)系起來.有關(guān)向量的試題可以從代數(shù)和幾何兩個角度思考，再輔以數(shù)學(xué)思想方法才能突破難題，僅在純向量知識間思考問題，難以奏效.

關(guān)鍵詞：向量;最值;等價轉(zhuǎn)化

中圖分類號：G632?? 文獻標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）04-0013-03

近日一名愛鉆研的好學(xué)生向我請教了一道向量填空題，我一看便知這是多年前的一道高考壓軸題，解法歷歷在目，但他覺得無從下手.由此看來，此題作為一道經(jīng)典壓軸題，名不虛傳，對學(xué)生的能力考查到位，對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)要求較高，是一個不可多得的研究學(xué)習(xí)的素材.

1 題目再現(xiàn)

題目 給定兩個長度為1的平面向量OA和OB，它們的夾角為120°.

圖1如圖1所示，點C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動.若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，則x+y的最大值是.

2 分析解答

本題以平面向量為背景，考查最值問題，對學(xué)生的等價轉(zhuǎn)化能力要求較高.由于部分學(xué)生對向量知識間的關(guān)系理解不到位，向量的工具性理解不深刻，導(dǎo)致很難實現(xiàn)題設(shè)向目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化，通俗地講，不能將向量中的x，y剝離出來.因此，本題要在剝離x，y上下功夫.總體而言，既可以整體剝離出x，y，也可以單獨剝離出x，y.以下是我和學(xué)生從幾個視角探究問題的歷程.

視角1 利用向量性質(zhì)a2=a2，擺脫向量對目標(biāo)函數(shù)的束縛.

解法1 因為OC=xOA+yOB，

所以O(shè)C2=（xOA+yOB）2.

即1=x2+2xyOA·OB+y2.

由于OA·OB=1×1×cos120°=-12，

所以1=x2-xy+y2.

進而3xy=（x+y）2-1≤34（x+y）2.

解得x+y≤2.

結(jié)合平行四邊形法則易知x>0，y>0.

所以當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時，等號成立.

故答案為2.

評注 本解法依托性質(zhì)a2=a2，將x，y從已知向量關(guān)系中整體剝離出來，再借助均值不等式完成最值的求解，將向量問題等價轉(zhuǎn)化為均值不等式問題，思維有一定跨度，平時要加強訓(xùn)練.

視角2 從數(shù)量積的角度切入.

解法2 設(shè)∠AOC=α，α∈[0°，120°]，則

OC·OA=xOA2+yOB·OA.

即cosα=x-12y.①

OC·OB=xOA·OB+yOB2，

即cos（120°-α）=-12x+y.②

①+②，得

x+y=2[cosα+cos（120°-α）]=3sinα+cosα

=2sin（α+30°）

≤2.

所以當(dāng)且僅當(dāng)α=60°時，等號成立.

評注 因為數(shù)量積的運算將向量轉(zhuǎn)化成標(biāo)量，能夠?qū)，y從已知向量關(guān)系式中單獨剝離出來.如何構(gòu)造數(shù)量積是一個難點，構(gòu)造幾個數(shù)量積是方程組的思想確定的.本題命題者將x，y的系數(shù)進行了巧妙處理，使得無需解方程組求x，y，否則都需要解含參方程組，這是本題本質(zhì)所在.此法對于任何ax+by問題均可解答.

視角3 從向量坐標(biāo)切入，利用解析幾何思想消參.

解法3 以點O為坐標(biāo)原點，以O(shè)A所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，那么A（1，0），B（-12，32）.設(shè)C（m，n），則m2+n2=1.

由OC=xOA+yOB，得（m，n）=x（1，0）+y（-12，32）.

于是m=x-12y，n=32y.

所以（x-12y）2+（32y）2=1.

以下同解法1.

評注 本解法有參數(shù)方程的思想，利用單位元整體消參，需要學(xué)生有這個前瞻性認識，否則會因為增加的變量而放棄思路.和解法1殊途同歸，也印證了好的高考題目入口寬，收口緊的特征.向量和解析幾何相結(jié)合倒是一個常見命題點.本解法單獨剝離x，y，卻整體處理了最值.

視角4 利用已知結(jié)論處理.

引理 O是直線l外一點，P，P1，P2是l上任意三點，則OP=mOP1+nOP2，其中m+n=1.圖2

解法4 如圖2，連接AB交OC于點D，于是OD=mOA+nOB，m+n=1.

而OC=λOD，

所以x+y=λm+λn=λ（m+n）=λ.

由數(shù)形結(jié)合易知，

當(dāng)點C與A或B重合時，λ取最小值1;

當(dāng)點C在圓弧AB的中點處，λ取最大值2;

當(dāng)點C在圓弧AB其它位置時，1<λ<2.

綜上，1≤λ≤2.

所以x+y≤2.

評注 本解法包含了“等和線定理”思想，但沒必要給學(xué)生介紹該定理，以免增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負擔(dān).但需要學(xué)以致用，這個引理在教材中以習(xí)題的形式出現(xiàn)過，希望大家重視.數(shù)形結(jié)合思想在解題中也發(fā)揮了重要作用.

3 變式升華

通過研究發(fā)現(xiàn)，命題者給考生留足了解題通道，甚至在答案數(shù)值上都做了設(shè)計，顯示了數(shù)學(xué)的簡潔美.這其中也給投機取巧者提供了機會.從基本不等式的角度來看，考生猜其在中間位置取得最值，解答易如反掌.為了提倡掌握問題本質(zhì)，學(xué)習(xí)通解通法，我們可以將問題改為：

變式1 x+y最值和為.

變式2 x+2y的最大值為.

變式3 x2+y2的最小值為.

變式4 2xy的取值范圍是.

變式5 x2-y2的取值范圍是.

略解2 由前文解法2知，

cosα=x-12y.①

cos（120°-α）=-12x+y.②

由①②，解得

x=13sinα+cosα，y=23sinα.所以x+2y=53sinα+cosα

=2213sin（α+φ）.

存在α0∈[0°，120°]，使得sin（α+φ）=1.

所以2213sin（α+φ）≤2213.

故x+2y≤2213.

4 教學(xué)反思

4.1 關(guān)于深度教學(xué)

平面向量作為工具，和很多知識和技巧都有緊密聯(lián)系.但是教材把它放在三角函數(shù)兩章之間，表象上有脫節(jié)之嫌.事實上，我們在很多章節(jié)都可以螺旋式地開展深度教學(xué)，讓向量和其它知識融合起來，體現(xiàn)其工具性和靈活性，并且從代數(shù)和幾何的兩個方向加以應(yīng)用.4.2 關(guān)于一題多解

通過一題多解，可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、主動性和積極性;有助于學(xué)生從多角度多方位去全面探索同一問題，尋求新穎的解題方法;還有助于開闊解題的思路，提高應(yīng)變能力，最大限度地挖掘?qū)W生已有知識的潛在能力;還可使學(xué)生克服思考問題的片面性.

參考文獻：

[1] 李昌成.用同構(gòu)法突破2020年部分高考難題[J].中學(xué)生理科應(yīng)試，2020（11）：19-20.

[2] 黃祥勇.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的深度教學(xué)[J].數(shù)學(xué)通報，2018，57（07）：29-32+63.

[責(zé)任編輯：李 璟]