利用“等和線”解題

鐘建新

摘 要：本文介紹利用“等和線”求解向量線性表示中的系數和問題，方法直觀、簡潔、高效.

關鍵詞：等和線;基底;系數和;構造

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）04-0067-02

平面內一組基底OA，OB及任一向量OP，OP=

λOA+μOB（λ，μ∈R），若點P在直線AB上或者在平行于AB的直線上，則λ+μ=k（定值），反之也成立.我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和線（如圖1）.

圖1

當等和線恰為直線AB時，k=1;

當等和線在點O和直線AB之間時，k∈（0，1）;

當直線AB在點O和等和線之間時，k∈（1，+∞）;

當等和線過點O時，k=0;

當等和線與直線AB在點O的兩側時，則k<0.

利用等和線求解數值k（k>0）的基本步驟如下：

①連接AB，構造直線AB;

②連接（有時需延長）OP交直線AB于點Q，則k=OPOQ;

③求OPOQ的取值范圍，在動點P的軌跡內分別作l1∥AB，l2∥AB，且l1，l2分別為距離點O最近與最遠的兩條平行線，下面記d，d1，d2分別為點O到直線AB，l1，l2的距離，記d′為點O到等和線的距離.又由平面幾何知識可得OPOQ=

d′d，因為d1<d′<d2，所以k∈d1d，d2d.

例1 （2009安徽理14）給定兩個長度為1的平面向量OA和OB，它們的夾角為120°，點C在以O為圓心的圓弧AB上變動，若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，則x+y的最大值是.

圖2

解析 如圖2所示，點O到直線AB距離d=12，記l為距離點O最遠的與直線AB平行的平行線，OC1⊥l，記d′為點O到直線l距離，則d′=1.

所以d′d=2.

所以由等和線結論得x+y的最大值是2.

例2 在ABCD中，E，F分別為CD和BC的中點，若AB=xAE+yAF（x，y∈R），則x+y=.

圖3

解析 如圖3所示，連接EF，延長AB交直線EF于點B′. 因為E，F為中點，所以由等和線結論，得x+y=ABAB′=23.

變式 在ABCD中，E，F分別為CD和BC的中點，若AB=xAE+12yAF（x，y∈R），則x+y=.

解析 因為AB=xAE+12yAF=xAE+y（12AF），記線段AF中點為G，連接EG交邊AB于點B′，則由平面幾何知識可得點B′為邊AB的中點.

由等和線結論，得x+y=ABAB′=21=2.

評注 若待求和的兩個數不全為題設中基底的兩系數，此時可構造一組新基底，使待求和的兩個數分別為新基底的兩系數.

例3 正方形ABCD中，E為邊AB中點，P是以A為圓心，AB為半徑的圓弧BD上的一動點.設AC=xDE+yAP，則x+y的取值范圍為.

圖4

解析 如圖4所示，過點A作AE′=DE，連接PE′交AC（延長線）于點C′，

則AC=xDE+yAP=xAE′+yAP.

故x+y=ACAC′.

當點P運動到點D時，因為四邊形ADEE′為平行四邊形，再結合三角形相似，得到AMMC=14.

所以ACAC′=ACAM=5.

即此時x+y取到最大值5.

當點P運動到點B時，連接CE，易證得CE∥BE′.

因為E為邊AB中點，

所以C為邊AN中點.

所以ACAC′=ACAN=12.

即此時x+y取到最小值12.

綜上，x+y的取值范圍為12，5.

評注 等和線所描述的結論要求表達式中的三個向量共起點，若起點不一致，則可考慮利用向量的減法法則或者平移相關向量去統一它們的起點.

G·波利亞在《怎樣解題》指出：“對于一個題目，首先要熟悉題目，我應該從哪里開始？我能做什么？這樣做我能得到什么？然后深入了解題目”.只要我們對相關問題進行全面深入的研究，就會發現其解法還是有跡可循.

參考文獻：

[1]

G·波利亞.怎樣解題[M].上海：上海科技教育出版社，2007.

[責任編輯：李 璟]