線面關(guān)系的證明方法探究之“一找二作三證明”

周關(guān)保

摘 要：本文首先對 “一找二作三證明”的證法進行剖析，然后結(jié)合高考真題，從線面平行、線面垂直兩方面圍繞“一找”和“二作”進行詳細(xì)地探究，同時對“一找”“二證”進行簡單的小結(jié).

關(guān)鍵詞：立體幾何;線面關(guān)系;證明方法;探究

中圖分類號：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）04-0064-03

立體幾何中，空間的線面關(guān)系有三種：平行、相交和線在平面內(nèi)，其中，線面垂直是線面相交的一種特殊情況.縱觀歷年

試題，發(fā)現(xiàn)立體幾何中

考得最多的是證明“線面平行”及“線面垂直”的問題或需要轉(zhuǎn)化為這兩種關(guān)系再證明的題型.由此，線面平行及線面垂直的關(guān)系是立體幾何中證明題型的核心內(nèi)容.

1 證明方法 “一找二作三證明”的剖析

“一找二作三證明”是筆者在教學(xué)實踐中總結(jié)的一種證明線面平行或線面垂直

方法，此證明方法分為三步，具體的操作流程如下：

第一步，就是“一找”：（1）根據(jù)直線與平面平行的判定定理，要證明線面平行，只需要在這個平面內(nèi)“找”出一條直線與已知直線平行即可.（2）根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，要證明線面垂直，就要在此平面內(nèi)“找”出兩條相交的直線分別與此直線垂直.其次是“一找”的原則：一是要“找”的都是線線平行或線線垂直，二是要在一個平面圖形中“找”.

第二步，就是“二作”：在分析題意之后，若不能直接“找”到所需要證明的線線平行或線線垂直的關(guān)系，則進入 “二作”的程序.從三個方面去理解“二作”，第一方面，“作”就是作輔助線或輔助平面，有簡單的“作”或復(fù)雜的“作”;第二方面，每一次“作”的時候都要圍繞證明所需去“作”，要證平行關(guān)系就去“作”線線平行，要證垂直關(guān)系就去“作”線線垂直;第三方面，要把線線平行或線線垂直的關(guān)系“作”在一個平面圖形中.

第三步，就是“三證明”：經(jīng)過第一或第二步的操作之后，再按照分析的思路，快速而且規(guī)范地寫出證明命題的整體過程.在“三證明”中要注意三點，第一，數(shù)學(xué)符號要標(biāo)準(zhǔn)，幾何語言表述要規(guī)范;第二，書寫要有層次性;第三，最后表述證明結(jié)果時要嚴(yán)格遵守判定定理的條件.

2 理解題意，運用“一找”

2.1 應(yīng)用舉例

例1 如圖1，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1.求證：AB∥平面A1B1C.

證明 因為ABCD-A1B1C1D1是平行六面體，所以四邊形ABB1A1是平行四邊形.

所以AB∥A1B1.

又因為AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.

評析 本題直接運用“一找”就可以解決問題.閱讀完題目，直接在平面A1B1C內(nèi)就可以找到A1B1∥AB，從而運用線面平行的判定定理證明，這種是顯性的證明題型.若要證明面面平行，則需轉(zhuǎn)化為兩次線面平行的證明，就要在其中一個平面內(nèi)“找”兩條相交的直線分別與另一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行.

例2 如圖2，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F(xiàn)，G分別為AA1，AC，A1C1，BB1的中點，AB=BC=5，AC=AA1=2.

求證：AC⊥平面BEF.

證明 連接BF，因為在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，所以四邊形ACC1A1是矩形.

又因為E，F(xiàn)分別是AC，A1C1的中點，

所以EF∥CC1.

則EF⊥平面ABC.

因為AC平面ABC，所以EF⊥AC.

在△ABC中，因為 AB=BC，所以 △ABC是等腰三角形.

又因為E是AC的中點，所以BE⊥AC.

又因為EF，BE平面BEF，且EF∩BE=E，

所以AC⊥平面BEF.

評析 本題直接運用“一找”就可以解決問題.由已知能夠在平面BEF內(nèi)找到直線EF、直線BE分別與直線AC垂直，從而運用線面垂直的判定定理證明.在此過程中，還運用了線面垂直的性質(zhì)定理及等腰三角形的中線進行轉(zhuǎn)化，這也是要“找”的重要內(nèi)容.

2.2 “一找”依據(jù)

2.2.1 線線平行的常見“找”法依據(jù)

（1）中位線的平行;

（2）平行四邊形的對邊平行;

（3）平行線的傳遞性;

（4）線面垂直的性質(zhì)定理;

（5）面面平行的性質(zhì)定理.

2.2.2 線線垂直的常見“找”法依據(jù)

（1）直角三角形：勾股定理;

（2）等腰或等邊三角形：底邊的中線（或頂角的平分線）與底邊垂直;

（3）矩形或正方形：兩鄰邊互相垂直;

（4）菱形：對角線互相垂直;

（5）圓：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角;

（6）線面垂直的性質(zhì)定理：若一條直線垂直于平面，則這條直線垂直于平面內(nèi)的所有直線.

3 理清題意，運用“二作”

3.1 應(yīng)用舉例

例3 如圖3，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點.

圖3

求證：PO⊥平面ABC.

證明 在△PAC中，因為PA=PC=4，且O為AC的中點，所以PO⊥AC，且PO=23.

在△ABC中，因為AB=BC=22， AC=4，

即AB2+BC2=AC2.

所以△ABC是等腰直角三角形.

連接BO，且O為AC的中點，則BO=2.

在△PBO中，因為PO=23，BO=2，PB=4，

即BO2+PO2=PB2.

所以 PO⊥BO.

又因為AC，BO平面ABC，且AC∩BO=O，

所以PO⊥平面ABC.

評析 本題是證明線面垂直問題，要證明PO⊥平面ABC，就要在平面ABC內(nèi)“找”兩條直線與直線PO垂直.由題意可知，PA=PC，點O為AC的中點，易知PO⊥AC;另一條直線就要進行“作”的操作了，再結(jié)合三棱錐的底面ABC可知，△ABC是一個等腰直角三角形，故需要連接BO，這樣輕易地“作”出了另一條所需的直線，再由線面垂直的判定定理證得結(jié)論.

3.2 “二作”小結(jié)

在“二作”中，恰當(dāng)?shù)亍白鳌背鰸M足題意的輔助線或輔助面對解題帶來很大的便捷.對于一些復(fù)雜的題型，常常需要找到準(zhǔn)確的切入點，運用“二作”構(gòu)造輔助線或輔助面，快速地把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，從而打開證明思路.

“二作”中常用的“作”法：中位線、對角線、中線、垂線、過特定點“作”平行線或垂線、構(gòu)造輔助平面等.前面“一找”小結(jié)中所有的“找”法依據(jù)都可以運用.

4 綜合實踐，探析“一找二作三證明”

例4 如圖4，矩形ABCD所在平面與半圓弧CD所在平面垂直，M是CD上異于C，D的點.

求證：平面AMD⊥平面BMC.

圖6

分析 本題是證明面面垂直的問題，由判定定理可知，需要在一個平面內(nèi)“找”另一個平面的垂線，從而把問題轉(zhuǎn)化為線面垂直的證明問題，再進一步就是要去“找”線線垂直，即在一個平面內(nèi)確定一條直線垂直于另一個平面的兩條相交直線.首先，因為半圓弧CD所在的平面是半圓，點M剛好在半圓弧上，CD是半圓的直徑，則DM⊥CM;其次，因為矩形ABCD所在平面與半圓弧CD所在平面垂直，且兩個平面相交于CD，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知，BC⊥半圓平面，則BC⊥DM.由此，所需要的垂線均已“找”到，從而問題得證.本題就是簡單運用“一找”即可證明.

為了更好地運用“一找二作三證明”的證法，在“一找”中務(wù)必要記住“在同一個平面圖形中尋找兩線的平行關(guān)系或垂直關(guān)系”;在“二作”中要時刻關(guān)注著已知條件的特殊點、特殊線及特殊圖形，在同一個平面圖形中“作”出兩線的平行關(guān)系或垂直關(guān)系;在“三證明”中，要注意規(guī)范書寫證明過程，做到層次分明.立體幾何的學(xué)習(xí)有利于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)遷移能力，有利于學(xué)生樹立轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.因此，教師在實際的教學(xué)中，要站在運用數(shù)學(xué)思想方法和思維方式的高度上來指導(dǎo)教學(xué)，有意識地滲透立體幾何所體現(xiàn)的各種數(shù)學(xué)思想，注意學(xué)生常犯的錯誤，加強對證明方法的訓(xùn)練，嚴(yán)格要求學(xué)生運用規(guī)范的幾何語言書寫證明步驟.

參考文獻(xiàn)：

[1]

陳樹興.例談高三立體幾何位置關(guān)系證明難點突破——平行關(guān)系的證明[J].學(xué)周刊，2017（36）：42-43.

[責(zé)任編輯：李 璟]