體現數學本質的一題多解教學

張世凡 冉雪琴 張曉斌

[摘 ?要] 解題教學，既是推進基礎知識復習鞏固的有效手段，又是培養學生數學思維能力的重要途徑，更是滲透數學思想方法的教學. 教師在解題教學中提倡和追求“一題多解”的教學來拓寬學生思維的廣度與深度，培養學生思維的靈活度與創新度. 但是在面對“一題多解”教學時，重“量”輕“質”的教學現象經常發生，學生驚嘆于教師的高明，茫然于各種解法的特殊技巧，最后導致一頭霧水，不知所措.分析其緣由，教師在例題、習題教學環節中只重視了一題多解的角度廣、途徑多、技巧強，忽視了通過多種不同解法的對比、剖析、探究，進而挖掘、提煉、概括其共性思想方法的數學本質.

[關鍵詞] 一題多解;多法歸一;數學思想

高三數學復習教學，要求知識綜合化、板塊化、網絡化. 因此教師常常從不同的角度、不同的層面采用多種方法解決問題，這些教學方法在短時間內能有效培養學生的發散思維能力和解題技巧，有利于學生提高解決綜合問題的能力，但隨著時間推移，中學階段的數學教學能給學生留下多少內容？與大一學生交流發現，僅過半年的時間，他們已經不能完整地表達高中數學中的部分定理、公理、公式的含義，在解答高考中的基本題型時出現了困難.為什么會出現這種結果呢？因為在數學教學過程中，“解題教學”有時竟演變成空洞的“解題訓練”，“訓練”只能提高形式推理能力，而不能建立基于理解的獨立思考能力. R·柯朗H·羅賓在《什么是數學》一書中是這樣詮釋數學的：數學，作為人類思維的表達形式，反映了人們積極進取的意志、縝密周詳的推理以及對完美境界的追求[1]. 學生在學習中遺忘掉的東西是所學的具體知識和內容，而剩下來的是所需的能力和素養，這就是我們教師應追求的教育價值.

數學是思維的體操，如何通過解題教學、解題活動來培養學生良好的思維能力，應是數學教學的根本任務. 高三例題、習題教學中的一題多解有利于學生理解各章節知識間的內在聯系、知識和思想方法間的相互轉化，所以教師在例題、習題教學過程中要善于挖掘例題、習題的一題多解，讓學生的思維應變能力得到充分的鍛煉和培養. 但單墫先生又指出“不管什么題目，一味地追求多種解法，勉強湊數，矯揉造作，那就不好了.解法仍以簡單、自然為上，即使有多種解法，也應分清優劣，擇善而從，這也是有無見識或見識高低的差別”. 反思我們部分教師在一些例題、習題的“一題多解”教學中的解答，讓學生難以想到、解題技巧高超古怪，這種重“量”輕“質”的“一題多解”，被單墫先生一語中的. 由于有些例題、習題的“一題多解”不是建立在學生已有認知基礎之上的，教學中教師沒有從根本的思想方法入手，學生沒有經歷方法、知識的探求和主動思考過程，這種“一題多解”不利于促進學生解題能力和數學核心素養的提高，久而久之，甚至會使部分學生喪失繼續學習的興趣和信心. 我們如何從“一題多解”的教學中培養學生的數學思想、數學方法，提升他們的學科素養？下面筆者以高三解三角形中求三角形面積、周長的最值專題復習的教學為例來說明.

【教師提示語：當三角形為銳角三角形時，從余弦定理角度考慮解題會較麻煩，因此這里選擇正弦定理，將問題轉化為求三角函數的最值】

教研探討

上述求三角形面積“一題多解”的教學設計，教師的教學重心落在方法的羅列，缺少解題教學中思想方法的滲透、數學本質的挖掘、通性通法的提煉、解后的總結反思. “一題多解”中的“一題”之所以能“多解”，往往就在于多種解法之間有內在聯系，這些內在聯系又有規可循. 教師應該對多種解法進行深入研究，對比分析多種解法中運用到的必備知識及知識間的關聯，同時分析其中涉及的基本方法、蘊含的基本數學思想和語言表達等.

（一）滲透數學思想、數學方法，把握數學本質

一般來說，教材的一系列基本知識是由幾個基本定義的演變、公理的推算得到的，數學要表達的問題幾乎都包含在基本概念、公式、公理、定理中，所以數學解題教學就是教會學生從基本概念、公式、公理、定理的數學本質出發，再轉化到數學思想方法上的應用.

案例第一問，三角形面積公式是本問題的核心，抓住面積公式這一本質屬性（結合本題可用的三角形面積公式為S△ABC=bcsinA=bc，S△ABC=BCh），余下的任務就是培養學生數學運算素養.

1.如果利用S△ABC=bcsinA=bc這一面積公式，求面積最值的運算就變成二元最值問題，從化歸與轉化思想來看，中學階段處理二元最值的主要思想是消元轉化為低元問題求解，消元的手段有均值不等式直接消元求最值、化二元為一元利用函數思想求最值. 方法1由余弦定理得bc=b2+c2-4，結合重要不等式b2+c2≥2bc求最值;方法4由正弦定理得bc=sinBsinC，結合B+C=利用二元化一元求最值的思路便自然形成.

2. 利用S△ABC=BCh的面積公式求解時，因為a=2，S△ABC=BCh=h，所以面積范圍轉化為BC邊上高（頂點限定于圓上）的取值范圍. 已知三角形一邊和一邊的對角，利用數形結合思想，將其放置于圓上，變為同弧所對圓周角不變，圓內接三角形的面積最大值就轉化為動點在圓周上運動過程中到底邊的最大距離，結合圖形，方法3一目了然.

3. 在變式中，已知條件不變，問題改為“若△ABC為銳角三角形，求其面積的最值范圍”. 利用數形結合思想求解本題顯得尤其高明（相比教師的講法），帶領學生回顧圓的直徑所對圓周角為直角，結合圖形2發現頂點A只能在劣弧間運動，于是△ABC面積的取值范圍就容易解決了.

在高三例題、習題的“一題多解”教學中滲透數學思想和方法，多角度、多層次地做到對基礎知識的橫向與縱向聯系，并從基本技能、基本思想方面優化問題解決的過程，由此培養學生靈活應變的能力和主動調整的能力，實現會一題、明一類、通一片的解題效果，破解僵化的應試教育下題海戰的束縛，讓他們達到一種對數學思想和方法內化于心（能聽懂、能明白），外現于形（會分析、會表達）的境界，提高他們獨立獲取知識的能力和獨立解決問題的能力.

（二）挖掘一題多解、多法歸一，強化問題本質

細細研究絕大多數例題、習題的“一題多解”，雖然幾種解法在算式、程序、技巧、運算過程等方面不完全一樣，但是幾種解法所涉及的數學本質、基礎知識并無差別. 教學中，教師拋開不同的解題形式，將關注點落在挖掘其內在聯系及背后的數學思想與方法上，回歸數學本質，用“不變”的數學思想與方法去解決解題形式不斷“變化”的數學問題. 方法1，首先由面積公式得S△ABC=bcsinA=bc，再由余弦定理得bc=b2+c2-4，最后使用均值不等式求最值;方法4，由正弦定理結合B+C=得到bc=sinBsinC=sinBsin-B，轉化為關于f（B）的三角函數求最值. 我們發現這兩種解法的共通點：一是從運算角度來看，基本數學思想是用化歸與轉化的思想處理二元最值問題，運算處理細節由知識點的構成不同而有所差異，又比如方法2，利用了等比中項的知識來處理二元化一元，方法5利用三角恒等變換積化和差公式將其轉化為函數求最值;二是從知識角度來看，正弦、余弦定理是研究斜三角形的基本工具，在解斜三角形問題時，教師首先要求學生作出圖形，標出相應量，結合相應的量選擇正弦、余弦公式，再根據條件發現內在聯系.變式題加強條件“銳角三角形”，這與原來無此條件的區別是什么？聯系如何？如何處理？一系列的為什么讓學生從數學的本質上回答問題，教師可以讓學生以例題的三種思維方式來檢驗他們的理解情況.

通過“多解”后“歸一”，多種解法并不是解決問題的目的，其目的是挖掘出不同解法的內在本質聯系，提煉出具有統攝性的數學思想與方法，從而實現通過“多解”達到“歸一”. 深刻領悟方法實質，深刻理解問題本質，讓學生站在系統的高度看問題，避免解題套路化，避免過度刷題，這樣就可以提高學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，由此獲得對數學的通透理解，最終培養他們的數學核心素養.

（三）注重基礎性、通性通法，回歸思維本質

一道數學試題可能考查多種能力、多種思想方法，因此試題的解答方法、思維方式不是唯一的，而是多種多樣的. 技巧性很強的解法是“術”而不是“道”，也不是數學的通性通法，大多數學生難以想到，掌握起來有一定難度，甚至可能會產生數學思想與方法的混淆乃至思維混亂.因此在例題、習題教學中應充分考慮到學生能力的個體差異，沒必要去要求所有學生掌握這些解法，不必“為多解而多解、為技巧而技巧”，要體現“死方法是技巧、活方法是思想”這一觀點.國家考試中心在2019年高考數學Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷試題分析報告中明確指出：試題在全面考查數學思想方法的同時，特別注重對數學通性通法的考查，淡化特殊技巧. 這說明在數學解題教學中，教師要回歸通性通法，強調基本方法的普適性、基本思想的統攝性. 回到最常規的基本思維和常用的基本方法上，只有這樣才有利于學生對此類問題的把握，最終實現問題解決教學的目標.

方法2中，設bc=t2，且b=，c=mt，（m>0，t>0）的處理技巧一般在數學競賽中用到;方法5利用了教材中不做要求的積化和差公式：cos（B+C）=cosBcosC-sinBsinC，cos（B-C）=cosBcosC+sinBsinC. 這兩種方法從知識層面講超出部分學生的現有認知，從運算角度講技巧性太強，不利于學生的掌握，從心理角度分析，學生除了驚嘆教師的知識淵博，方法高明之外無一收獲，甚至會使學生產生自卑感等消極的心態. 面對“一題多解”，教師要判斷解法的優劣，力求找出一種最優解——“一題一解”.

又如方法2將b=，c=mt代入bc=b2+c2-4得到t2+4=+m2t2=-mt+2t2≥2t2，學生一定還會想m、t哪個作為變量呢？像這種煩瑣、復雜、不自然的解答，一些基礎不好、思維不活的學生覺得這是生硬拼湊或巧妙組裝;“神來之筆”技巧性過強的解答讓人感覺很突兀，如同波利亞所指出的“魔術師帽子里突然變出一只兔子”不可理喻，學生難以理解這樣的解題思路.

解數學題的最高境界是玩數學題，玩中取樂，玩中激趣，玩中增智，玩中提能[2]. 面對“一題多解”，先追求“一題多解”的發散思維，體驗條條大路通羅馬的樂趣;再分析概括，不盲目羅列多種解法;最后總結歸納，追求“多法歸一”，體會事物之間皆聯系，探尋本質，把握住表面不同卻質相同的內核. 教師只有努力提高自己的核心素養，站在理解數學、理解學生的角度來培養學生，才能在解題教學的道路上收放自如，深入淺出地處理問題，才能不被重量輕質“一題多解”的浮云遮望眼.

參考文獻：

[1] ?R·柯郎H·羅賓. 什么是數學[M]. 左平，張飴慈，譯. 上海：復旦大學出版社，2004.

[2] ?孟祥禮. 我的第一本數學解題書（一題多解教你學會解數學題）[M]. 青島：中國海洋大學出版社，2014.