數學師范專業近世代數課程的教學探索

曾月迪，汪鎮，羅蘭

(莆田學院數學與金融學院，福建莆田 351100)

近世代數作為數學與應用數學專業的專業課程，是以研究代數系統的性質與結構為中心的一門抽象理論學科[1]。近世代數具有高度抽象性，公理化方法一直在這個課程高度呈現。從小學、中學階段的數學知識到大學的數學知識，這其中有很多都以近世代數的例子存在，其中所蘊含的思想、理論和方法在近世代數得到延拓和提高，即近世代數本身體現了知識的升華。因此，它是中學代數、高等代數、解析幾何的延拓和提高。結合《普通高中數學課程標準（2017年版）》[2]和《義務教育數學課程標準（2011 版）》[3]中強調的數學學科核心素養，在近世代數教學中融入中學內容與實際應用，有利于學生正確認識特殊與一般、認識事物的本質，是數學教師這一職業特點的必然要求，為以后成為一名合格的中小學教師打下基礎。

近世代數主要的知識點群、環、域極其抽象，又廣泛地應用于數學其他方向中，如代數幾何、代數拓撲等。針對近世代數課程的教學改革和實踐案例，近年來有桑彩麗[4]從教學方法與內容進行的教學改革，鄭華等[5]從Galois 理論切入近世代數教學的改革，胡紅梅[6]從思政方向入手進行近世代數的改革，賈浩強等[7]從反例的觀點研究近世代數。本文從教學進程逐步探索近世代數的教學，符合師范專業的教學理念，也是教學過程中迫切需要探索的重要方法之一。

1 近世代數教學改革的實施路徑

1.1 開篇注重歷史導入

大部分數學的中心問題是圍繞著解方程而展開的，近世代數如此抽象的一門課，也是圍繞著代數方程的求解而展開，從而創立了群、環、域。

其進程為：一元二次的求根公式（①學生熟悉，②聯系中學教學內容）→三次、四次方程的求根公式（①數學故事導入：塔塔利亞求根的比賽等故事，②類比數學方法）→更高次的一般方程的求根公式（Lagrange試圖用類比的方法將三、四次方程根的根式解法推廣到更高次，但沒有解決）→五次及五次以上方程不能用根式求解的問題（1824年，Abel 嚴格證明）→多項式方程求根公式的存在性問題（1832年，Galois 解決了多項式方程求根公式的存在性問題）→近世代數：法國數學家Galois 運用群（置換群）的思想解決了多項式方程求根公式的存在性問題，從而創立了群、環、域，使代數學成了研究代數運算結構的科學，進而把代數學推向了抽象代數時期（也稱為近世代數）[8]。

1.2 課程進程注重抓主線

群、環沿著“定義→內部性質→子結構、商結構→兩個代數系統的聯系”這個主線展開，在這個主線過程中會展現出許多典型的例子。

最后一章的域是特殊的一類環，有許多的應用，也是“多項式方程求根公式的解決方法”。這與開篇形成閉環，因此自成一章，主線是擴域。

（1）群是近世代數中代數結構的基礎，其主線展開為：群的定義→群的內部性質：交換性、有限性、階等→群的子結構、商結構：子群（格）、正規子群與商群→兩個群的聯系：群同態與同構。

（2）環這個代數系統是在“加法”交換群的基礎上，再引入滿足封閉、結合且與“加法”分配的“乘法”代數運算。其主線展開為：環的定義→環的內部性質→環的子結構、商結構：子環、理想與剩余類（商）環→兩個環的聯系：環同態與同構。由于環對于“加法”已經是交換群，所以內部的元素性質以考查“乘法”為主，即關于“乘法”：是否有單位元、滿足交換性、有零因子、有逆元，也就是考慮非零元素關于“乘法”是否構成一個群和構成一個什么樣的群？從而形成各種不同的特殊環，如有單位元環、無單位元環、交換環、無零因子環、整環、唯一分解環、主理想環等。

（3）域關于“加法”是交換群，而其中非零元素關于“乘法”構成交換群，因此域以群和環為基礎，以單代數擴域、單超越擴域開始，逐步擴張。

1.3 課程內容注重實例，解釋抽象

利用從小學就熟悉的“數”與先修課程的實際例子，在課程的主線上逐步解釋近世代數中的抽象概念，讓學生感受升華的概念與落地的例子，從而消除學習抽象概念的畏懼心理。

接下來記：整數Z，有理數Q，實數R，復數C，非零整數Z*，非零有理數Q*，非零實數R*，模n 的剩余類Zn。

（1）群根據定義再結合內部性質，從構不成群的例子出發到各種特殊群：交換（有限、非有限）群、非交換（有限、非有限）群、循環群、非循環群等，逐一給予實例說明。例如不是群的例子：{Z,-}不是群（不滿足結合率）；{Z*,×}不是群（沒有逆元）等。交換有限群的例子：{Zn，+}、xn=1 的根關于乘法所構成的群；交換非有限群的例子有：{Z，+}、{Q，+}、{R，+}、{C，+}、{Q*，×}、{R*，×}、解析幾何中的旋轉所構成的群、高等代數中m ×n 矩陣關于“加法”所構成的群、高等代數中n 維向量關于“加法”所構成的群、高等代數或數學分析中的多項式關于“加法”所構成的群。非交換有限群的例子：置換群Sn；非交換非有限群的例子有：解析幾何中的平移與旋轉所構成的群、高等代數中n 級可逆矩陣關于“乘法”所構成的群、高等代數中n 級行列式為1 的矩陣關于“乘法”所構成的群。進一步結合主線“群的子結構、商結構→兩個群的聯系”給出相應說明。例如群的子結構例子：{Z,+}的子群有0、{nZ,+}、本身的子群結構。群的商結構例子：{Z,+}的商群{Zn,+}。群同態與同構的例子：高等代數中n 維線性空間的同態保持兩個運算，其實是群同態中的保持“加法”運算。利用線性空間同態把零元映射到零元，自然聯系到群的同態的性質把單位元映射到單位元；進而拓展到同態的核與同態基本定理。

（2）“加法”交換群“增加”一個“乘法”運算的代數系統為環，因此它的例子是在上一章交換群的基礎上形成的。例如{Z，+，×}、{Q，+，×}、{R，+，×}、{C，+，×}為無零因子有單位元的交換環；{Zn，+，×}中，當n 為合數時為有零因子的環，當n 為素數時為無零因子環；高等代數中的多項式環為有單位元交換環；{2Z，+，×}為無單位元交換環；高等代數中n 級矩陣關于“加法”與“乘法”所構成的非交換環；數學分析中的冪級數關于“加法”與“乘法”所構成的交換環等。

類比于群的主線，得出環的子結構、商結構、同態等的例子與性質，其中各種“數”構成的環、多項式環與矩陣環同樣起到非常重要的作用。

近世代數中有{歐式環}∈{主理想環}∈{唯一分解環}∈{整環}，可以從各種“數”構成的環與多項式環給出其反例。例如是整數}是整環但不是唯一分解環[9]，其中4 不能唯一分解；Z[x]是唯一分解環但不是主理想環，其中（2，x）不是主理想環[9]；是整數}是主理想環但不是歐式環[10]；F為一個域，多項式環F[x]是歐式環[9]，F[x，y]是唯一分解環但不是主理想環[9]。

（3）域的典型例子為有理數域、實數域、復數域、Zp（p 為素數）有限域等，由域根據多項式等方法進行擴域。

1.4 注重課程中數學思想方法的傳承

1.4.1 等價分類思想方法

近世代數的基本概念中一定會有等價關系與集合分類的定義與之間的對應關系，并指出每一類代表元的選取是任意的，即等價分類思想方法。在中學處理問題時，根據余數的不同分類討論是等價分類；高等代數中：m ×n 矩陣的等價關系、m ×n 矩陣的相似關系、n ×n 矩陣的正交相似關系、n ×n 對稱矩陣的合同關系等也是等價分類。近世代數中群G 是利用其子群H 進行等價分類，可以分成左陪集或右陪集。一個子群H 的左陪集和右陪集可能不同，但是“一個子群H 的左陪集的個數和右陪集的個數相等”[9]。有了這樣的分類，在近世代數中自然地聯想到陪集什么時候也構成一個代數系統，這就形成商結構的基礎。

1.4.2 聯想類比思想方法

在近世代數的概念與定理證明中，經常采用類比聯想的思維方式。例如：群、環、域是通過集合中的運算組織的代數系統，從課程主線可以觀察到，根據群可以聯想類比出環、域的結構、分類、性質和規律；而從群同態基本定理，可以聯想到環同態基本定理。根據高等代數的線性變換聯想到同態運算的性質、同態運算的核、同態運算的象等。根據整數得到有理數域的方法，聯想類比出從一個整環得到商域的方法。而在定理證明時，聯想類比也是重要工具，如Lagrange 定理和Sylow 定理的證明[11]。根據有理數域擴充為實數域，實數域擴充為復數域，聯想類比近世代數的代數擴域方法；根據環擴充為多項式環，聯想類比近世代數的超越擴域方法。

1.5 注重課程的優雅應用

近世代數道出數學的目的——將不同事物之間共性的東西挖掘出來，從而產生新的數學概念和理論[6]。近世代數內容雖然抽象，但其在數學其他問題、物理、化學、計算機、編碼、信息安全等領域都有應用價值。例如，在認識群論時，要了解其重要意義——度量事物有對稱性[6]，從而展現群論在物理上的應用；在擺出重要有限群例子Zn 時，借助視頻引入RSA 公鑰密碼系統[1]，并給出簡單的基于Zn 使用RSA 公鑰密碼系統加密解密的例子[12]；在群的結構中，把子群與三階魔方相聯系；在特殊群中，利用對稱群的觀點解釋剛體運動[13]；利用群在集合上的作用，討論開關線路問題：由n 個開關可以組成多少種本質上不同的開關路線[4,14]？在環論中不可交換且每個非零元都有逆元的除環典型例子：四元數除環，討論：四元數除環在圖像處理中的應用[15]；在講到域、分裂域的概念與相關性質時，討論優雅解決的古希臘三大尺規作圖問題。介紹有限域時，介紹有限域上的糾錯碼理論在信息傳輸與信息編碼中扮演的重要角色，并推廣到環上的編碼理論的應用[16,17]。

2 結語

從近世代數本質出發，在近世代數的觀點下，在中小學中的“數”與實際應用中把近世代數的內容落到實地，把握數學課程標準，培養學生的數學核心素養，使學生不僅學習了近世代數，還能應用到將來的教育工作中。