含孔隙金屬陶瓷功能梯度圓柱殼的模態頻率研究

劉 超，劉文光

（南昌航空大學航空制造工程學院，南昌 330063）

0 引 言

功能梯度材料（Functionally Graded Materials，簡稱FGMs）作為一種新型復合材料，由于其物理屬性沿著空間位置梯度分布，具有耐高溫、高強度、低質量、有效緩解熱應力集中等諸多優點[1-3]，在航空航天和機械工程等領域具有廣闊的應用前景。

因為圓柱殼大量應用于客機的機身、輪船推進系統等領域，而且這些結構通常服役于復雜的多場耦合環境中，所以FGMs 圓柱殼的設計得到研究者的關注[4-5]。FGMs 作為一種先進材料，受其制造技術的限制，材料內部可能存在諸如氣孔等缺陷[6-7]。氣孔的存在不僅影響材料的聲學特性和傳熱性能，而且還影響材料的力學行為。近年來，越來越多的研究者開始分析材料孔隙率對功能梯度殼力學行為的影響。利用一種新的半解析法，Li等[8]研究了任意邊界條件下含孔隙FGMs殼的自由振動行為；基于正弦剪切理論和Rayleigh-Ritz 法，Wang 等[9]研究了不同孔隙分布形式下FGMs 殼的自由振動特性；基于一階剪切變形理論和修正的偶應力理論，Ghadiri等[10]研究了熱環境下含多孔FGMs殼的自由振動問題。

由于FGMs 的性質受體積分數定律的支配，調整FGMs的體積分數指數即可改變結構的力學性能和熱傳導性能，所以研究者通過提出不同體積分數模型來設計FGMs以滿足工程結構在特定環境下的功能需求。現行研究中，基于冪律分布體積分數模型的FGMs 應用最為廣泛[11]。以此為基礎，研究者陸續提出了新的FGMs模型。Arshad等[12]將冪律分布體積分數模型修改為底數為e的指數函數分布模型；進一步地，Shah 等[13]把指數體積分數模型修改為廣義的指數體積分數模型。但是，由于基于冪律分布或指數分布體積分數模型設計的FGMs結構可能在連續但快速變化的材料界面上出現應力集中，所以Chi 等[14]提出了一種Sigmoid 型分段體積分數模型，該模型結構可以在一定程度上降低應力集中的影響。以Sigmoid 型FGMs（S-FGM）圓柱殼為對象，Nguyen 等[15]采用三階剪切變形理論研究了含孔隙S-FGMs圓柱殼的非線性動力響應；Wang等[16]采用伽遼金法及諧波平衡法研究了縱向運動S-FGMs板的非線性受迫振動特性。

工程實際應用中，因為FGMs圓柱殼經常與一些彈性介質接觸，比如航天飛機推進劑罐、裝滿固體推進劑的彈道導彈外殼、地上和地下的儲液罐、地下管道以及換熱器/冷凝器等，在影響FGMs 圓柱殼振動特性的諸多因素中，彈性基礎是其中之一。因此，有必要了解FGMs 圓柱殼與彈性地基間的相互作用，分析彈性基礎作用下FGMs 圓柱殼的振動特性[17-18]。盡管如此，很少有研究者探討彈性介質作用下含孔隙S-FGMs圓柱殼的自由振動行為。本文利用Sanders殼體理論和Rayleigh-Ritz 法研究含孔隙S-FGMs圓柱殼在熱載荷和軸向荷載作用下的模態頻率，并分析非線性溫升、孔隙率、S型體積分數指數和彈性基礎參數等對S-FGMs圓柱殼模態頻率的影響。

1 功能梯度圓柱殼的幾何模型

如圖1 所示，假設FGMs 圓柱殼環向均勻分布Winkler 型彈簧，彈性系數為Rw，且圓柱殼內部存在均勻分布的孔隙I模型或者非均勻分布的孔隙II模型。圓柱殼的幾何參數包括：長度L、厚度h和中面半徑R。分析時，圓柱殼的材料屬性只沿厚度方向連續變化，圓柱殼的外表面為純金屬，內表面為純陶瓷。取圓柱殼的中面建立如圖1所示的正交曲面坐標系（x,θ,z），坐標系x、θ、z方向的位移分量分別用u、v、w表示。

圖1 含孔隙FGMs圓柱殼Fig.1 FGMs cylindrical shell with porosity

2 功能梯度材料的熱物理屬性

式中，N是體積分數指數，取值0≤N＜∞，V1m和V2m分別表示不同區間段的體積分數，該體積分數沿厚度方向的變化趨勢如圖2所示。

圖2 S-FGMs殼分段體積分數沿厚度方向變化趨勢Fig.2 Piecewise volume fraction of S-FGMs shell along the thickness direction

結合Sigmoid 型分段體積分數，S-FGMs 的有效物性參數表達式為

熱環境下，假設S-FGMs 圓柱殼內沿厚度方向非線性分布溫升，殼內表面（z=-h/2）的溫度為Tc、外表面（z=h/2）的溫度為Tm。取環境溫度Tm=300 K，圓柱殼內部無熱應力。由穩態熱傳導方程以及熱邊界條件得到沿厚度方向分布的溫升T（z）為

式中，kcm=kc-km，且kc和km分別表示陶瓷和金屬的熱傳導系數。

通過式（9）和式（10）可計算S-FGMs圓柱殼沿厚度方向的溫差ΔT=T（z）-Tm。鑒于彈性模量相對于熱傳導系數、密度等參數對S-FGMs 殼剛度的影響更大，下面只探討非線性溫升Tcm=200 K 下S-FGMs殼彈性模量與空間位置和孔隙率之間的關系。如圖3所示，無孔隙S-FGMs的彈性模量總是大于含孔隙的S-FGMs，而非均勻分布孔隙S-FGMs的彈性模量基本大于均勻分布孔隙的S-FGMs。

圖3 含孔隙S-FGMs有效彈性模量變化趨勢Fig.3 Effective elastic modulus of S-FGMs with porousity

3 S-FGMS圓柱殼的自由振動

式中，gi（i=1，…，4）為方程系數。

假設S-FGMs 殼由不銹鋼和氧化鋯組成，材料參數見表1。忽略環向彈性基礎、溫度載荷以及軸向荷載的作用，取N=1，L/R=20，h/R=0.05。基于溫度控制的線性離散分層建模方法，利用Abaqus 建立S-FGMs殼的有限元模型。表2顯示了無孔隙S-FGMs殼在自由邊界條件下模態頻率和環向波數的關系，結果表明，采用式（25）求解的模態頻率與有限元求解的模態頻率基本吻合，誤差在一定范圍內，即S-FGMs 殼模態頻率方程可行。進一步地，假設FGMs 殼由不銹鋼和鎳組成，體積分數采用Vm=（z/h+0.5）N。取N=0.5，h/R=0.002，L/R=20，n=1，λ=mπ/L，Rw=1.5×107N/m2，圖4 顯示了FGMs 殼在環向彈性基礎下模態頻率與軸向參數λ之間的關系。結果表明，本文模型分析結果與文獻[20]結果十分吻合，驗證了模型的合理性。

表1 ZrO2-SUS304溫敏特性系數[2,4]Tab.1 Temperature-dependent coefficients for ZrO2-SUS304[2,4]

圖4 環向彈性基礎下FGMs殼模態頻率比較Fig.4 Comparison of the modal frequencies of an FGMs shell surrounded by elastic foundation

表2 S-FGMs殼模態頻率對比分析Tab.2 Comparison of the modal frequencies for an S-FGMs shell

4 結果與討論

本章以含孔隙S-FGMs圓柱殼為對象，圓柱殼由不銹鋼和氧化鋯組成，分析熱荷載、彈性荷載以及軸向載荷作用下圓柱殼的模態頻率。

數值計算時，除特別說明外，圓柱殼的幾何參數均取L=10 m，h=0.01 m，R=1 m，體積分數指數N=1，溫度梯度Tcm=700 K，（m，n）=（1，1）。

圖5顯示了不同孔隙率體積分數時，溫度梯度對S-FGMs殼模態頻率的影響。分析發現：

（1）χ一定時，增大Tcm會減小S-FGMs 圓柱殼的模態頻率；增大振動波數（m，n）會減小Tcm對SFGMs 圓柱殼模態頻率的影響；振動波數（m，n）=（4，4）時Tcm對模態頻率的影響非常小，但是χ對模態頻率的影響隨振動波數(m,n)的增大而增大。

（2）Tcm一定時，S-FGMs 的模態頻率會隨著χ的增大而增大；χ為零時，I型孔隙圓柱殼的模態頻率等于II 型孔隙圓柱殼的模態頻率；χ不為零時，I 型孔隙的模態頻率總是大于II 型孔隙的模態頻率，同時I型孔隙模態頻率的增長率也比II型孔隙模態頻率的增長率高。究其原因，孔隙的出現對圓柱殼剛度的影響主要體現在材料的有效彈性模量和有效密度上；其中，II型孔隙模型的有效彈性模量總是大于I型孔隙模型的有效彈性模量，而I型孔隙模型的有效質量密度總是小于II型孔隙模型的有效質量密度。換而言之，I型孔隙對圓柱殼質量削減造成結構整體剛度上升的貢獻大于II型孔隙彈性模量對圓柱殼剛度提升的貢獻。

（3）由圖3 已知含II 型孔隙S-FGMs 的彈性模量大于含I 型孔隙S-FGMs 的彈性模量，結合圖5 可以說明I 型孔隙對S-FGMs 圓柱殼剛度的影響更大。分析認為，這主要是由于S-FGMs 殼內孔洞的出現類似于一種桁架結構，一定程度上孔隙率的出現不僅減少了S-FGMs 殼結構的重量，而且提高了圓柱殼的剛度。因此，設計I型孔隙圓柱殼，可為工程應用中如何降低自重和提高結構剛度提供重要的參考依據。

圖5 不同孔隙率體積分數時溫度梯度對S-FGMs殼模態頻率的影響Fig.5 Effects of temperature gradient on modal frequencies of an S-FGMs shell under different porous volume fractions

圖6顯示了不同體積分數指數時，溫度梯度對含孔隙S-FGMs殼模態頻率的影響。分析表明：

圖6 不同體積分數指數下溫度梯度對S-FGMs殼模態頻率的影響Fig.6 Effects of temperature gradient on modal frequencies of an S-FGMs shell under different volume fraction indexes

（1）N對I型和II型孔隙圓柱殼模態頻率的影響規律相似，只是在數值上有差異。

（2）Tcm較小時，N對模態頻率的影響很小，N對模態頻率的影響隨著Tcm的增大越來越顯著，且Tcm對N較小時的模態頻率的影響更大。

（3）N等于0 時，垂直于厚度方向所有平面的組分含量由50%的金屬和50%的陶瓷組成，對應的圓柱殼模態頻率比N等于0.2時大，而比N等于1時小；隨著N的增大，S-FGMs殼的模態頻率也越來越大。這是因為較小的Tcm對材料內部總體剛度影響不大，模態頻率基本無差異；Tcm較大時，隨著N的增大，圓柱殼內表面陶瓷的含量越來越多，外表面金屬的含量也越來越多；由于陶瓷的隔熱性、耐熱性較好，與金屬比較，受熱的影響更小。因此，當FGMs 應用到高溫領域，采用S 型分段體積分數并增大N，不僅結構的剛度不會隨著溫度的升高而減小，而且組分含量中有一定量的金屬具備足夠的強度，能夠抵抗一定的破壞。

假設軸向荷載受壓為正，受拉為負，圖7顯示了不同軸向載荷下，溫度梯度對S-FGMs殼模態頻率的影響。分析表明：

圖7 不同軸向荷載時溫度梯度對S-FGMs殼模態頻率的影響Fig.7 Effects of temperature gradient on the modal frequencies of an S-FGMs shell under different axial loads

（1）無論是I型還是II型孔隙，軸向壓力Na都會讓S-FGMs圓柱殼模態頻率升高。

（2）當Na小于S-FGMs 圓柱殼屈曲載荷Ncr時，模態頻率的變化非常小。究其原因，Na遠小于圓柱殼的自身剛度，因此對模態頻率的影響很小；當Na大于S-FGMs殼的Ncr且逐漸增大時，S-FGMs殼的模態頻率會產生較為顯著的變化，主要在于Na對S-FGMs圓柱殼剛度的影響逐漸增大并趨近于S-FGMs殼的自身剛度。

（3）I 型和II 型孔隙S-FGMs 殼的剛度隨著溫度的升高逐漸減小，導致模態頻率逐漸減小，并呈現非線性的變化規律。

圖8顯示了不同彈性基礎時，溫度梯度S-FGMs圓柱殼模態頻率的影響。分析表明：

圖8 不同彈性基礎下溫度梯度對S-FGMs殼模態頻率的影響Fig.8 Effects of temperature gradient on the modal frequencies of an S-FGMs shell under different elastic foundations

（1）I型孔隙總是大于II型孔隙的模態頻率。

（2）溫度梯度對不同彈性基礎S-FGMs殼模態頻率的影響較小。

（3）含彈性基礎S-FGMs 圓柱殼的模態頻率是無彈性基礎殼模態頻率的8～10 倍。應用中，當SFGMs 殼的幾何尺寸、邊界條件等不便改變時，可施加彈性基礎提高S-FGMs 殼剛度，防止低頻共振等危害。但隨著彈性基礎參數的不斷增大，S-FGMs殼的模態頻率呈現收斂的趨勢。

由于I型和II型孔隙對S-FGMs殼模態頻率的影響規律相似，下文只考慮I型孔隙對S-FGMs殼模態頻率的影響。圖9 顯示了不同孔隙率、軸向荷載及彈性基礎等參數時，體積分數指數對S-FGMs 殼模態頻率的影響。分析表明：

圖9 不同參數下體積分數指數對S-FGMs殼模態頻率的影響Fig.9 Effects of volume fraction index on modal frequencies of an S-FGMs shell under different parameters

（1）不同孔隙率和軸向荷載下，隨著N的逐漸增大，圓柱殼模態頻率均呈現先下降后上升的趨勢，并且在N等于0.5左右時出現頻率最低值。

（2）不同彈性基礎參數下，N對S-FGMs圓柱殼模態頻率基本無影響。

（3）調控N不僅可以提高圓柱殼的剛度和耐熱性，而且S-FGMs殼模態頻率的變化率很小，這說明采用S型分段體積分數材料更容易使圓柱殼結構處于穩定服役的狀態。

圖10分別顯示了不同長徑比下孔隙率、軸向荷載和彈性參數對圓柱殼模態頻率的影響。分析表明：

圖10 不同參數下長徑比對S-FGMs殼模態頻率的影響Fig.10 Effects of L/R on modal frequencies of an S-FGMs shell under different parameters

（1）隨著圓柱殼長徑比的逐漸增大，模態頻率逐漸減小且最終呈現收斂性。

（2）長徑比較小時，孔隙率體積分數和軸向荷載對圓柱殼模態頻率的影響更為顯著。隨著彈性參數逐漸增大至0.5左右，模態頻率呈現快速增大后趨于穩定的規律。

5 結 論

本文基于Sanders 薄殼殼體理論和Rayleigh-Ritz 法推導了含孔隙金屬陶瓷功能梯度圓柱殼的自由振動方程，探討了熱荷載、彈性基礎以及軸向荷載作用下模態頻率的變化趨勢。主要結論如下：

（1）在同一孔隙率體積分數下，I型孔隙模型相較II型孔隙模型對剛度更為敏感，提高結構模態頻率更為明顯，工程應用中可注重采用I型孔隙模型。

（2）S-FGMs 殼在低振動波數下，溫度梯度相較孔隙率體積分數對結構模態頻率的影響更大，而在高振動波數下，孔隙率對結構模態頻率的影響起主導地位；采用S 型分段體積分數，并增大該體積分數指數不僅能夠削弱圓柱殼剛度受溫度梯度的影響，而且組分含量中有一定量的金屬而具備足夠的強度，有利于結構長時間服役于復雜的熱環境，但應避免體積分數指數等于0.5 時出現的模態頻率最低值現象。

（3）對S-FGMs殼施加彈性基礎，不僅溫度梯度對含彈性基礎S-FGMs殼模態頻率的影響較小，而且含彈性基礎殼的模態頻率是無彈性基礎殼模態頻率的8～10倍，添加彈性基礎有利于提高結構剛度避免低頻共振，但當無量綱彈性基礎增大至0.5，模態頻率將逐漸趨于穩定。