巧借幾何直觀，發(fā)展數(shù)學(xué)思維

孟慶敏

幾何直觀是指借助幾何圖形來(lái)描述和分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，增強(qiáng)對(duì)問(wèn)題的直觀理解，以符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展特征，幫助學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識(shí)，實(shí)現(xiàn)解決問(wèn)題的目的。采用幾何直觀的方式解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以將復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單、形象，從而幫助學(xué)生理解題意和梳理關(guān)系，直觀發(fā)現(xiàn)結(jié)論。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了體現(xiàn)幾何直觀在教學(xué)上的獨(dú)特價(jià)值，教師可以采用以下途徑來(lái)實(shí)現(xiàn)其教學(xué)目的。

一、依托幾何直觀，呈現(xiàn)教學(xué)素材

在教學(xué)過(guò)程中，教師要直觀地呈現(xiàn)學(xué)習(xí)素材，讓學(xué)生經(jīng)歷操作過(guò)程，這樣，學(xué)生的探究將會(huì)變得更加合理和有意義。

在教學(xué)“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”時(shí)，教師需要幾組相等的分?jǐn)?shù)作為學(xué)生探究、觀察、發(fā)現(xiàn)的素材，但這個(gè)素材如何出現(xiàn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)之前又如何得到，是教師必須要思考和解決的問(wèn)題。在教學(xué)中，有些教師只會(huì)簡(jiǎn)單而直接地出示“[12]=[24]=[48]”

“[13]=[26]=[39]”這樣的研究素材，雖然也有觀察、探究、總結(jié)規(guī)律的環(huán)節(jié)，但這樣的兩組數(shù)據(jù)是怎樣得到的？它們的呈現(xiàn)有沒(méi)有根據(jù)？很顯然，缺乏根據(jù)，不利于學(xué)生規(guī)律的獲得和過(guò)程的體驗(yàn)。

作為規(guī)律發(fā)現(xiàn)的起點(diǎn)，這組數(shù)據(jù)都是相等的這一事實(shí)，就可以通過(guò)幾何直觀予以呈現(xiàn)。教學(xué)時(shí)，教師可以要求學(xué)生用三張相同的正方形紙，通過(guò)折和涂的方式，表示它的[12、][24、][48。]學(xué)生在活動(dòng)后對(duì)比涂色部分，因?yàn)檫@些分?jǐn)?shù)所表示的涂色部分都是一樣大的，所以，它們的大小是相等的。而[13、][26、][39]這三個(gè)分?jǐn)?shù)，教師如果借助多媒體課件，分別在同樣大的三個(gè)圓內(nèi)表示出這三個(gè)分?jǐn)?shù)，再通過(guò)對(duì)比，發(fā)現(xiàn)三個(gè)分?jǐn)?shù)所表示的涂色部分也是同樣大的，得到三個(gè)分?jǐn)?shù)相等的結(jié)論。當(dāng)然，教師也可以再次呈現(xiàn)[12，]讓學(xué)生看到[12]與另外的三個(gè)分?jǐn)?shù)相比，所表示的涂色部分大小是不一樣的。因此，分?jǐn)?shù)的大小也就不相等。

巧用幾何直觀，學(xué)生找到了兩組大小相等的分?jǐn)?shù)，如果想得到更多相等的分?jǐn)?shù)，還可以繼續(xù)用這樣的方式去獲得，有助于進(jìn)一步探究知識(shí)。學(xué)生觀察這些分?jǐn)?shù)，發(fā)現(xiàn)分子和分母變化的規(guī)律，歸納出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，經(jīng)歷了知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程。依托幾何直觀得到的幾組大小相等的分?jǐn)?shù)，是學(xué)生動(dòng)手做出來(lái)的，是看得見(jiàn)的事實(shí)，經(jīng)過(guò)了一個(gè)嚴(yán)格的推理過(guò)程。

二、借助幾何直觀，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律

在教學(xué)中，對(duì)于一些抽象和復(fù)雜的問(wèn)題，畫(huà)出直觀的圖形，更加有利于學(xué)生深入分析問(wèn)題，找到問(wèn)題的規(guī)律和結(jié)論。因此，教師要培養(yǎng)學(xué)生借助幾何直觀解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的意識(shí)。

在教學(xué)“年、月、日”時(shí)，同樣可以用到幾何直觀，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)大、小月的規(guī)律，而且通過(guò)有效的探究材料，有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律。教學(xué)中，教師可以安排學(xué)生進(jìn)行操作活動(dòng)，從年歷卡中找到各月天數(shù)，然后按照月份填寫(xiě)天數(shù)統(tǒng)計(jì)表。有了這樣的表格，怎樣才能更好地發(fā)現(xiàn)大、小月的排列規(guī)律呢？為了讓表格變得更加直觀，教師再次組織學(xué)生將31天的月份涂上紅色，將30天的月份涂上綠色。學(xué)生涂好了顏色，就得到了一個(gè)色彩斑斕的表格，或者可以看成一個(gè)個(gè)色彩不同的長(zhǎng)方形。觀察這些顏色不同的長(zhǎng)方形，規(guī)律就都有了：1.兩種顏色的長(zhǎng)方形間隔排列——天數(shù)分別為31天、30天的月份是間隔排列的。2.有兩個(gè)長(zhǎng)方形緊密相連、顏色相同——7、8月份是連續(xù)的兩個(gè)31天的月。3.以顏色相同的兩個(gè)長(zhǎng)方形為界，前后的規(guī)律不同——7月和7月以前，單月大，8月和8月以后，雙月大。4.有一個(gè)月份的天數(shù)與眾不同——2月的天數(shù)很特殊，只有28天（當(dāng)然，有的年份2月有29天）。

依靠一張簡(jiǎn)單的表格和表格中的數(shù)據(jù)，年、月、日的相關(guān)知識(shí)就全部包含在其中，這既為學(xué)生提供了可供探究的學(xué)習(xí)素材，又方便學(xué)生從中直觀地發(fā)現(xiàn)年、月、日的規(guī)律。在表格中，規(guī)律與不同顏色的長(zhǎng)方形嚴(yán)格統(tǒng)一，是學(xué)生可以從有顏色區(qū)別的長(zhǎng)方形中直接得到的，教師只需要引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察表格，就能獲得本節(jié)課教學(xué)的知識(shí)要點(diǎn)。如此開(kāi)展教學(xué)，必然在學(xué)生的頭腦中留下極其深刻的印象，實(shí)現(xiàn)借助幾何直觀發(fā)現(xiàn)、總結(jié)規(guī)律的重要價(jià)值。

三、利用幾何直觀，展現(xiàn)思維過(guò)程

利用形象直觀的圖形，可以展現(xiàn)思維的過(guò)程，它能夠幫助學(xué)生打開(kāi)思路，突破知識(shí)上的難點(diǎn)，找到解決問(wèn)題的路徑。這在很大程度上體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的思想，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的深刻理解。

在學(xué)習(xí)“用假設(shè)的策略解決問(wèn)題”時(shí)，學(xué)生學(xué)起來(lái)感覺(jué)困難。這個(gè)時(shí)候，利用幾何直觀解決問(wèn)題，就可以發(fā)揮重要的作用。教師不妨讓學(xué)生畫(huà)圖，用直觀圖形弄清題目的條件和問(wèn)題，在充分理解中快速找到解決問(wèn)題的方法。

在進(jìn)行綜合練習(xí)時(shí)，教師安排這樣一道習(xí)題：現(xiàn)有80名同學(xué)去劃船，共租了12只船，每只大船可坐8人，每只小船可坐6人，如果每只船都坐滿，租的大船有多少只？小船有多少只？解決問(wèn)題時(shí)，可以通過(guò)畫(huà)示意圖的方式來(lái)找出答案。學(xué)生只要能畫(huà)出圖，看著圖形，就可以在圖上輕易地看出船該調(diào)多還是調(diào)少，從而讓租船方法清晰可見(jiàn)。

在示意圖上，每只大船坐8人，12只大船就坐了96人，但總?cè)藬?shù)只有80人，就要去掉多余的16人，在每只大船上依次去掉2個(gè)人，這樣，小船就需要8只，大船則需要4只。學(xué)生借助畫(huà)圖，能直觀地看到人數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。更重要的是，可以憑借圖形很清楚地看到人員是該去掉還是該加上。幾何直觀掃清了學(xué)生思維上的障礙，讓學(xué)生思考問(wèn)題的過(guò)程充分外顯，為他們輕易找到答案指明了方向。

四、結(jié)合幾何直觀，分析數(shù)量關(guān)系

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，分析數(shù)量關(guān)系是解決實(shí)際問(wèn)題無(wú)法避免的環(huán)節(jié)。在解決問(wèn)題時(shí)，如果對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解混沌不清時(shí)，結(jié)合幾何直觀畫(huà)出示意圖，就能幫助學(xué)生清晰地把握問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系。

在教學(xué)“相遇的路程問(wèn)題”時(shí)，在拓展練習(xí)環(huán)節(jié)中，教師出示了一道實(shí)際問(wèn)題：現(xiàn)有甲、乙兩車(chē)，同時(shí)從相距680千米的兩地開(kāi)出，甲車(chē)每小時(shí)行85千米，乙車(chē)每小時(shí)行75千米，經(jīng)過(guò)3小時(shí)，兩車(chē)相距多少千米？學(xué)生根據(jù)剛剛學(xué)習(xí)的相遇問(wèn)題數(shù)量之間的關(guān)系，很快列出了算式：680-（85+75）×3=200（千米）。問(wèn)題似乎順利解決了，此時(shí)教師提示學(xué)生反復(fù)細(xì)讀題目的條件，找出暗藏的條件。有個(gè)學(xué)生發(fā)現(xiàn)條件中沒(méi)有說(shuō)明兩輛車(chē)究竟是怎樣開(kāi)出的。教師進(jìn)一步追問(wèn)：“你認(rèn)為會(huì)有幾種情況呢？能不能畫(huà)出線段圖來(lái)表示呢？”在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生畫(huà)圖展開(kāi)思考，交流自己的解題思路。

在學(xué)生的交流中，兩車(chē)從兩地開(kāi)出的方向需要分兩種情況來(lái)考慮。第一種情況：從兩地相向開(kāi)出，列式是：680-（85+75）×3。第二種情況：從兩地相背開(kāi)出，列式是：680+（85+75）×3。在教學(xué)中，教師借助線段圖的直觀展示，從不同方面分析數(shù)量關(guān)系，很快幫助學(xué)生解決了題目中遇到的障礙。看似難以說(shuō)清楚的問(wèn)題，結(jié)合直觀的線段圖，就變得容易理解了。在線段圖上，已知條件、要求問(wèn)題和數(shù)量關(guān)系一一清晰地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生在認(rèn)知難點(diǎn)上的自然突破。

由此可見(jiàn)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，借助幾何直觀可以有效地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。在抽象的問(wèn)題和形象的圖形轉(zhuǎn)換之間，原本隱晦的數(shù)學(xué)素材、規(guī)律現(xiàn)象、數(shù)量關(guān)系都具體地展示在學(xué)生面前，讓學(xué)生能夠摸得到、看得見(jiàn)、聽(tīng)得懂，真正實(shí)現(xiàn)了抽象的數(shù)學(xué)形象化教學(xué)的追求。然而，學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，如果想讓這種思維的方式深深植根在學(xué)生的心里，就需要教師經(jīng)常訓(xùn)練學(xué)生自覺(jué)運(yùn)用幾何直觀的意識(shí)和能力。

（作者單位：江蘇省徐州市銅山區(qū)新區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)）

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