考慮沖擊力的球軸承復合缺陷動力學建模

李志農， 周澤文， 胡蔦慶， 程 哲， 胡 蛟

(1. 南昌航空大學 無損檢測技術教育部重點實驗室， 南昌 330063； 2. 國防科技大學 裝備綜合保障技術重點實驗室， 長沙 410072)

以上研究聚焦于軸承的單一缺陷，而滾動體通過缺陷產生的沖擊和磨損會誘發多點缺陷，造成內外圈均存在缺陷的情況，復合缺陷問題得到了學者們的關注.李志農等[9]將VMD算法與平行因子分析相結合，對軸承復合故障信號實現了更為有效的盲源分離；Patel等[10]提出了深溝球軸承動力學模型，研究了軸承內圈和外圈存在單點和多點缺陷時的振動響應；朱永生等[11]建立了6自由度動力學模型，研究復合缺陷下的動力學響應，涉及外圈和基座的振動傳遞，并引入Lempel-Ziv指標進行量化評價；王凱等[12]提出了4自由度復合缺陷深溝球軸承動力學模型，并對工況和尺寸參數的影響進行了分析；胡愛軍等[13]針對軸承外圈上多處剝落產生的復雜振動響應，分析總結了軸承故障特征隨故障數量、間隔的變化規律，對軸承多點故障的診斷提供了理論依據.目前考慮沖擊力的復合缺陷模型還較為罕見，模型精度需要進一步提高.

本文考慮軸承內圈和外圈各兩個自由度，基于赫茲接觸理論建立了4自由度的軸承模型；通過將剝落缺陷簡化為滾道中的矩形坑，在模型中嵌入缺陷參數；針對滾動體通過剝落缺陷的過程，考慮所引起的時變位移激勵，引入了離開缺陷區域時，滾動體撞擊剝落后邊沿所產生的沖擊力，并分析其作用角度；分別模擬了軸承外圈、內圈單一缺陷和內外圈各有一剝落缺陷時的振動響應，通過與實驗數據的對比驗證了模型的有效性，并探究負載、缺陷尺寸對系統振動特性的影響，分析結果對于研究球軸承復合缺陷下振動機理具有一定的理論價值.

1 復合缺陷軸承動力學建模

圖1 球軸承彈簧質量模型

1.1 運動分析及接觸力計算

滾動體和滾道之間的等效接觸剛度為

(1)

式中，ki和ko分別為滾動體與內外滾道的接觸剛度.對于深溝球軸承，n取1.5.

所建立的深溝球軸承模型主要承受徑向負載，由于滾動體與內外滾道之間游隙的存在，以及滾動體承載數目的周期性變化，軸承會產生變剛度振動，引起水平x、豎直y方向上的位移，x、y正方向如圖1所示，并規定角度方向由y軸正向開始，逆時針為正.保持架的速度為

(2)

式中：Db和Dp分別為滾動體直徑和軸承節圓直徑；α為接觸角；ω為內圈和轉軸的角頻率.忽略滾珠的自轉，滾動體在保持架的帶動下間隔相等角度轉動，第j個滾動體在t時刻轉動的角度為

分析： 綜合以上分析，為避免水稻品種抗病性喪失過快，一方面可以豐富水稻的抗病品質，即具有R1R2R3，以應對擁有不同A基因的MP；另一方面，可以在同一區域分別種植抗病和感病水稻，以弱化對MP的選擇作用，避免A基因頻率的過快變化。

(3)

式中，N為球軸承滾動體個數.進而可以得到第j個滾動體在θj處的徑向變形量為

δj=Xsinθj+Ycosθj-0.5Cr

(4)

式中：X和Y分別為軸承在水平和豎直方向的位移量；Cr為軸承的徑向游隙.根據赫茲接觸理論，可將接觸力分解到x和y方向上，即

(5)

式中，γj為定義的赫茲接觸開關函數，表示只有當滾珠與滾道之間存在彈性變形時才會產生赫茲接觸力，其表達式為

(6)

1.2 缺陷引起的時變位移激勵

首先考慮內滾道或外滾道上單一缺陷的情形，當滾珠通過滾道上的剝落缺陷時，會產生隨時間變化的徑向偏移，使滾動體與滾道的接觸變形量發生變化，導致接觸力的變化，激發周期性振動.假設滾動體直徑大于缺陷寬度，且缺陷深度足夠大，使得滾動體不與缺陷底部接觸，即4Dbh≥4h2+L2，式中，h和L分別為缺陷的深度和寬度.缺陷區域引起的額外位移δd在滾珠越過剝落前邊沿之后產生，而后逐漸增大，滾動體與滾道的接觸形變隨之減少，接觸力減小，在滾動體運動到缺陷中心位置時，額外位移達到最大值δdmax，而后隨著滾動體接觸剝落后邊沿，額外位移開始減小，彈性變形隨之增大，赫茲接觸力也逐漸恢復正常接觸水平.因此，可采用半正弦函數來模擬δd隨時間的變化，以外滾道缺陷為例，如圖2所示，可以得出缺陷導致的最大額外變形量為

圖2 滾動體與外圈缺陷接觸示意圖

(7)

定義缺陷區域開關函數βo，以判斷滾珠是否處于外圈缺陷區域，其表達式為

(8)

式中：φo為外圈缺陷中心所對應的角度(本文角度值定義為轉角對2π求余所得)；φd為缺陷寬度對應的圓心角的一半，其表達式為

(9)

可得滾珠通過外圈缺陷所產生的額外位移量為

(10)

δj=Xsinθj+Ycosθj-0.5Cr-δdo

(11)

當內圈存在剝落缺陷時，最大變形量計算與外圈情況相似，但需要注意內圈隨軸轉動，缺陷位置是時變的，可表示為

φi=φi0+ωt

(12)

式中，φi0為內圈缺陷的初位置.類比外圈缺陷的情況，可以定義相對應的內圈開關函數βi，并得出內圈缺陷引起的額外變形量，即

(13)

進一步修正接觸變形量的計算公式為

δj=Xsinθj+Ycosθj-0.5Cr-δdo-δdi

(14)

1.3 考慮沖擊力的時變接觸力激勵

在研究滾動體通過剝落缺陷區域導致的時變接觸力時，除了考慮上述的額外位移量對赫茲接觸力的影響，還應將滾動體碰撞剝落后邊沿的沖擊力計入其中.結合上文對滾動體在缺陷區域的運動描述，在滾動體質心到達缺陷中心線的瞬時時刻，額外位移達到最大，而同一瞬時滾動體也在保持架的帶動下撞擊剝落后邊沿，產生脈沖響應，誘發軸承各部件的高頻振動，因而在動力學模型中考慮沖擊力的影響是非常必要的.

在滾動體經過缺陷區域時，滾道與滾動體的接觸力先減小，當滾動體與前后邊沿均接觸的瞬時達到最小，同時碰撞剝落后邊沿，產生附加的撞擊力fimp，隨后滾動體逐漸退出剝落區，沖擊引起的額外接觸力又逐漸減小，在滾動體完全離開剝落后，接觸力恢復正常，短暫間隔后下一個滾動體到達剝落前沿，循環往復上述過程.以內圈為例，采用分段函數的形式表示時變接觸力，其表達式為

(15)

式中，fmin和fmax分別為接觸力變化的最小、最大絕對值，兩者之和即為沖擊力fimp.文獻[8]對其大小進行了計算，即

(16)

式中：fr為徑向載荷；C為與沖擊材料有關的常量.圖3為滾動體撞擊剝落后邊沿示意圖.根據圖3所示的幾何關系，可將沖擊力分解到x、y方向上，即

圖3 滾動體撞擊剝落后邊沿示意圖

(17)

式中：fdix和fdiy分別為內滾道存在缺陷時的沖擊接觸力在水平和豎直方向的分量；φimp為沖擊角，φimp=arcsin(L/Db).

當外圈存在剝落缺陷時，類比內圈缺陷的情況，可以定義相對應的時變接觸力fdo，同樣將其分解到x、y方向上，需要注意其沖擊力的作用角度與內圈存在缺陷時不同，即

(18)

式中，fdox和fdoy分別為外滾道存在缺陷時的沖擊接觸力在水平和豎直方向的分量.

1.4 內外圈復合缺陷模型

針對軸承的多個部件上出現缺陷的情況，基于圖1模型的假設，結合以上對單一缺陷模式的分析計算，設定內外圈分別具有一處剝落缺陷，且缺陷寬度相同，并模擬軸承制造或與軸的配合安裝誤差等因素所產生的離心力，建立考慮沖擊力的內外圈復合缺陷動力學微分方程組，即

(19)

式中：mi、ci、mo、co分別為內圈與軸的總質量、內圈與軸間的連接阻尼、外圈與軸承座的總質量、外圈和軸承基座固定的連接阻尼；e、g分別為偏心距和重力加速度.

2 模型求解驗證及對比分析

2.1 條件設定

仿真軸承選用MB ER-10K型號，幾何參數及轉速為1 498 r/min(轉頻為24.85 Hz)時的故障特征頻率如表1所示.將x、y方向上的初始位移設定為10-9m，初速度設定為0，步長設定為10-6s，仿真時長t=5 s，內圈與軸的阻尼ci和外圈與軸承座的連接阻尼co分別為2 276 N·s/m和1 210 N·s/m，徑向載荷fr=70 N，安裝偏心距e=10-6m，缺陷寬度L=1 mm.

表1 實驗軸承參數

2.2 內圈和外圈單一缺陷模型

基于以上參數設定，對于僅內圈滾道存在一剝落缺陷時，解得的仿真時域波形和包絡譜如圖4所示.

圖4 內圈含單一缺陷球軸承的仿真時域波形和包絡譜

內圈上的剝落缺陷位置會隨軸一起轉動，造成每個沖擊的幅值具有一定差異，反映在時域波形中為一系列幅值大小不等的沖擊振動，包絡譜圖中的轉頻(24.85 Hz)和內圈故障頻率(BPFI=122.95 Hz)及其倍頻(49.7、245.88、368.82 Hz)處皆有明顯峰值，并且以內圈故障頻率為中心，帶寬為轉頻的邊頻帶清晰可見，說明了該模型的正確性.在相同轉速下，外圈滾道單一缺陷情況的仿真時域波形及包絡譜如圖5所示.為驗證模型的正確性，以同型號軸承外圈剝落缺陷為例，在SpectraQuest機械故障仿真實驗臺上進行實驗探究，拾取到的加速度時域波形及其包絡譜如圖6所示.

圖5 外圈含單一缺陷球軸承的仿真時域波形和包絡譜

圖6 外圈含單一缺陷球軸承的實測時域波形和包絡譜

將仿真數據與實驗數據進行對比發現，外圈缺陷的包絡譜圖形均表現為一系列以外圈故障特征頻率為間隔的隨頻率增大、幅值逐漸減小的離散譜線，并且外圈故障頻率(BPFO=75.85 Hz)及其倍頻(151.7 Hz、227.55 Hz等)處皆有明顯峰值，和轉頻調制生成的邊頻帶清晰可見，幅值差異在誤差允許范圍內，故所建立模型可以較好地模擬單一缺陷下的振動響應.

2.3 內外圈復合缺陷模型

同樣設定條件下，對內外圈各含有一單點剝落缺陷的復合缺陷模型進行求解.仿真時域波形和包絡譜如圖7～8所示，相比于單一缺陷情形，由于多缺陷的耦合作用，復合缺陷下時域波形中沖擊幅值相對增大，而且更加不易看出周期性特征，從剛度損失的角度可以解釋為復合缺陷導致軸承接觸剛度發生更大變化，使得動力學性能改變，同時包絡譜中的主要頻率成分和調制產生的邊頻帶也變得更為復雜.

圖7 復合缺陷球軸承的仿真時域波形

圖8 復合缺陷球軸承的仿真包絡譜

圖9～10為實測復合缺陷軸承的時域波形及包絡譜.由于條件限制，實驗所用軸承還存在滾動體缺陷.將實測數據和仿真數據對比可以發現，仿真數據的時域波形較好地模擬了復合缺陷下的振動沖擊特征，在包絡譜中可以觀察到內、外圈故障頻率及其倍頻處有明顯尖峰，在其周圍可發現以轉頻為帶寬的邊頻帶，以及與實測信號相似的豐富邊頻帶信息，說明了內外圈復合缺陷模型的合理性.計算結果表明，滾動軸承的復合缺陷具有相互耦合、抑制、強度不平衡的特點，還表明從包絡譜中提取的倍頻分量可以作為識別復合缺陷的有效依據.

圖9 復合缺陷球軸承的實測時域波形

圖10 復合缺陷球軸承的實測包絡譜

2.4 負載和缺陷尺寸影響

針對復合缺陷軸承承受60、70、80 N徑向負載的情況，分別進行仿真求解和包絡譜分析，取轉頻及其二倍頻、BPFO、2×BPFO、BPFI、2×BPFI等典型頻率處對應的包絡譜幅值來說明負載大小對其振動特征的影響，如圖11所示.可以發現，總體上振動幅值隨徑向負載的增加而增大，在BPFO及2×BPFO處幅值有明顯增加，負載的變化對外圈故障頻率的影響相較于轉頻及內圈故障頻率處更為顯著.

圖11 徑向負載對球軸承振動幅值的影響

對復合缺陷軸承在0.8、1.0、1.2 mm三種不同缺陷寬度下的振動響應進行仿真，不同缺陷寬度下的頻譜幅值變化如圖12所示.根據前一節對沖擊力的描述可知，沖擊力會隨著故障寬度加長而增大，從圖12中可以發現，隨著L的增大，轉頻及其二倍頻、BPFI處的幅值都有明顯增加，符合滾動軸承損傷演化的規律.

圖12 缺陷寬度對球軸承振動幅值的影響

3 結 論

本文基于赫茲理論，考慮滾動體在缺陷區時變位移激勵，描述并分析了滾動體退出剝落時撞擊后邊沿所致的沖擊力作用機理，采用半正弦函數模擬了滾動體在缺陷區域的動力學行為，并考慮安裝偏心距，建立了4自由度的內外圈復合缺陷球軸承動力學模型.分別對內圈、外圈單一缺陷和復合缺陷的情況進行數值求解，對得到的仿真信號進行包絡譜分析，其包絡譜中相應的故障特征頻率及邊頻帶清晰可見，與實測數據基本吻合.結果表明，該動力學模型能夠有效反映復合缺陷下軸承的振動特征.對不同負載和缺陷寬度的振動響應進行了仿真分析，徑向負載的增加和缺陷尺寸增大都會使軸承振動幅值增大，加重軸承的損傷.