時滯非線性T-S模糊馬爾科夫跳變系統的滑模控制

李 媛， 張如霞， 于忠鑫

(沈陽工業大學 理學院， 沈陽 110870)

模糊控制一直被認為是解決復雜非線性系統建模和控制問題的一種行之有效的方法.模糊控制中最為常見的是T-S模糊控制，T-S模糊控制研究非線性系統的穩定性與控制器設計是近些年研究的熱點問題.Tanaka等[1]對T-S模糊控制系統穩定性問題進行了研究，給出了穩定的充分條件，但是要求找到一個正定矩陣P同時滿足r個矩陣不等式，在實現的過程中是非常困難的；Ho等[2]利用T-S模糊模型研究了含有不確定參數的系統，但是忽略了時滯性對系統造成的影響；Wu等[3-4]研究了不確定T-S模糊系統的魯棒控制問題.但是針對時滯非線性T-S模糊系統的研究成果相對較少.

MJSs是用來描述系統結構和參數隨時間變化的一類隨機混合系統.Wang等[5-7]研究了MJSs的濾波問題；Samidurai等[8-9]針對MJSs的魯棒鎮定性問題進行了研究；Ji等[10]研究了MJSs的可控性和可觀測性問題.但是目前對于T-S模糊MJSs的研究成果并不多.

滑模控制是通過設計不連續的SMC律，在有限的時間內將系統的軌跡驅動到預先設計的、具有穩定性等理想特性的滑動面中，并且最終保持穩定.SMC問題已廣泛應用到電力系統[11]、生物系統[12]等復雜系統中，SMC的研究引起越來越多學者的關注.Jiang等[13]研究了非線性隨機系統的自適應SMC問題；Li等[14-16]基于自適應或耗散的積分型滑模控制方法進行了深入研究；Zohrabi等[17]研究了具有部分未知轉移概率MJSs的隨機SMC問題，利用自由加權矩陣法和線性矩陣不等式方法，給出了滑動模態漸近穩定的充分條件，但是文中沒有考慮非線性和時滯.關于時滯非線性T-S模糊MJSs的SMC問題的研究成果仍較少，而大多實際系統多為非線性的，并存在時滯現象，因此對于時滯非線性T-S模糊MJSs的SMC問題研究具有重要意義.

本文主要研究了一類時滯非線性T-S模糊MJSs的SMC問題.主要貢獻有兩點：1)提出一個新的積分型滑模面函數，得到帶有狀態時滯和非線性項的等效控制律，可以消除系統中的非線性項；2)通過設計恰當的滑模控制律，保證系統的狀態軌跡在有限的時間內驅動到指定的滑動面.在本文中，對于實數矩陣，X>0表示矩陣X是正定的，E表示弱無窮小算子，*表示矩陣的對稱項，‖·‖表示矩陣的歐幾里得范數.

1 系統描述

T-S模糊模型描述如下：

Mode Rulei：Z1(t) isMi1and … andZp(t) isMip

(1)

式中：x(t)∈Rn為系統的狀態向量；u(t)∈Rm為系統的控制輸入；Mij(i=1，2，…，r，j=1，2，…，p)為模糊集合，r為模糊規則數；Z1(t)，Z2(t)，…，Zp(t)為前件變量；p為前件變量的個數；Ai(rt)∈Rn×n；Adi(rt)∈Rn×n；Bi(rt)為已知具有恰當維數的常數矩陣；φ(t)為初始函數；τ(t)為時滯，滿足

(2)

f(x(t)，x(t-τ))∈Rm為非線性項，滿足

(3)

(4)

經過模糊化推理[18]，得到時滯非線性系統的全局T-S模糊系統為

(5)

z(t)=[z1(t)，z2(t)，…，zp(t)]T.

定義1如果對于任意初始條件x0、r0，滿足

則下列系統

是漸近穩定的[19].

引理1(Schur補引理[20])對于如下LMI：

通常滑模控制設計分兩步完成：

1) 設計一個恰當的滑模面函數，使得系統具有漸近穩定的理想性質；

2) 設計一個滑模控制律，保證狀態軌跡在有限時間內到達滑模面.

2 滑模面設計和穩定性分析

針對系統(5)設計如下積分型滑模面函數：

(Aw，i+Bw，iKw，j)x(β)dβ-

Aw，dix(β-τ(t))dβ

(6)

對s(t)求導，得到

Bw，i(u(t)+f(x(t)，x(t-τ(t))))]

(7)

f(x(t)，x(t-τ(t)))

(8)

將式(8)代入式(5)得到滑動模態方程，即

(9)

下面分析滑動模態(9)的漸近穩定性.

(10)

其中，

證明：考慮如下Lyapnuov函數

V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)

(11)

V1(t)=xT(t)Px(t)

對于?i∈S則有

(12)

EV2(x(t)，w，t)=

(13)

(14)

根據式(2)可得

(15)

(16)

令

對于任意矩陣Fij，i，j∈S，則有

(17)

(18)

其中，

結合式(12)～(18)可得

EV(x(t)，w，t)≤

(19)

其中，

根據引理1和式(10)可得

(20)

由式(19)可得，存在標量λ>0，使得下式成立，即

(21)

即證.

3 滑模控制律的設計

本文設計恰當的滑模控制律，保證狀態軌跡在有限時間內能夠到達預先設計的具有較理想特性的滑動面.

定理2對于滑模動態系統(9)，若滑模控制律設計如式(22)所示，則能夠保證系統狀態軌跡在有限時間內到達滑動面，其表達式為

(22)

其中，

證明：選取Lyapnuov函數

(23)

對V(t)進行求導計算，即

[-Bw，iKw，jx(t)+Bw，i(u(t)+f(x(t)，

x(t-τ(t))))]≤

sT(t)GaBau(t)-sT(t)GaBau(t)·

(24)

將式(22)代入式(24)可得

對上式從0到t進行積分，可得

4 仿真實例

考慮單連桿機械臂模型，其微分方程[21]可描述為

x1(t)=μx2(t)+(1-μ)x2(t-τ(t))

(25)

式中：x1(t)和x2(t)分別為單連桿機械臂的角度和角速度；μ∈[0，1]為延遲系數；Mp為有效載荷的質量；Jp為慣性矩；g為重力加速度；l為手臂長度；D(t)為不確定的粘滯系數.參數可選取為：g=9.81，L=0.5，D(t)∈[1.8，2.2]，因為有效載荷的質量和慣性矩存在三個跳變，令M1=J1=1，M2=J2=5，M3=J3=10，轉移速率矩陣為

考慮存在2個模糊子系統，得到T-S模糊MJSs，即

Bpu(t)]

式中，

隸屬度函數選擇如下：

利用定理1和定理2，可得

K11=[4.807 8，-5.842 7]，

K12=[-0.368 2，-4.571 1]，

K21=[-0.884 3，-9.727 8]，

K22=[-2.958 2，-51.757 4]，

K31=[-3.758 3，-4.805 9]，

K32=[-5.145 4，-44.817 1].

圖1為本文設計的滑模面函數圖像，可以看出滑動面收斂時間短，但振幅在開始時間有所波動.圖2為模型的控制輸入，從圖2可以看出，控制輸入具有良好的性能.圖3為閉環滑動模態系統的狀態響應，可以看出，本文提出的方法是有效的，所設計的滑模控制律可以使系統達到穩定狀態.

圖1 滑模面函數

圖2 控制輸入

圖3 系統狀態響應

5 結 論

本文提出了一個新的積分型滑模函數，消除了系統中的非線性項，得到閉環系統漸近穩定性的充分條件，設計恰當的滑模控制律，使得系統的狀態軌跡在有限時間內快速達到滑動面.下一步可以針對含時滯的廣義馬爾科夫跳變系統進行研究.