巧用矢量法的定比分點公式解三角形重心類問題

武桂梅

矢量法在數學中的應用非常廣泛，在幾何學某些問題的證明中引入矢量法及其運算的有關規律的理論，可使證明過程大大簡化。那么，什么是矢量法呢？矢量法，其實質是在平面上選取兩不共線的矢量作為坐標矢量，再將其它矢量分解為兩坐標矢量的線性組合，當然，在證明過程中也并不是所有的矢量都要進行分解，然后再用矢量的運算及相關幾何意義加以證明，這種方法其實是將幾何問題轉化成了矢量代數運算。初等幾何問題的證明，若用傳統的純幾何的方法，常常要通過添加輔助線或建立坐標系進行轉換，這是眾所周知的難點，然而以向量為工具，既可使證明過程變得簡潔明了，又可靈活運用幾何學和代數學的知識。用向量的方法處理幾何問題，既能反應幾何對象間的數量關系，又能體現其位置關系，從而能數形相輔地用代數方法研究幾何問題。用向量工具處理幾何問題，兼有凡何的直觀性，表述的簡潔性和方法的一般性。

那么，什么是三角形的重心類問題呢？所謂三角形的重心類問題，指的是圖形中的主要部分為三角形，要證明的是幾線共點的問題，而此點恰好是這幾條直線的公共分點。由于這些線段常與三角形的重心有關，故將這類問題稱為三角形的重心類問題。

通過本文，我們可以明顯地看到，運用向量法的定比分點公式證明有關三角形的重心類問題時，可先把己知和結論表示成向量的形式，再靈活運用定比分點公式、向量加減法法則等，通過向量運算，就能夠較容易地證明幾何命題。總之，用向量法中的定比分點公式解有關三角形重心類的問題，關鍵就是正確區分圖形中顯性和隱性的點、線位置關系，結合法中的共點以及相等等條件，用代數的方法來研究幾何問題。