矩陣秩的定義教學設計新探

張鳳霞，宋穎

（聊城大學 數學科學學院，山東聊城 252000）

矩陣的秩是線性代數中的一個基本概念，在線性代數中起著重要的作用。可以說矩陣的秩與線性代數中的所有內容有關，如：矩陣的秩可以刻畫行列式是否為零，可以刻畫矩陣的可逆性，可以刻畫向量組的線性相關性，可以判斷線性方程組是否有解以及有解時解的個數，可以決定二次型的標準形中非零項的項數，它也與矩陣的特征值有關聯，并且在其他學科也有廣泛的應用[1-2]。鑒于矩陣的秩在線性代數中的重要性以及概念本身的抽象性，因此如何在課堂上引入這個概念，這是值得任課教師認真思考的。正是基于這樣的一種考慮，我們討論如何以一種順其自然、水到渠成的方式引入矩陣秩的概念，從而使學生更容易地理解這一抽象的概念，提高教學效果。

縱觀對矩陣秩的概念的引入[3-6]，基本上是采用英國的數學家Sylvester 于1851年給出的定義，即矩陣的秩為矩陣中非零子式的最高階數。該定義形式上非常簡單，但是很難理解為什么這樣定義，矩陣的非零子式的最高階數到底具有什么樣的特征，為什么要單單給它命名？ 下面我們給出一種引入矩陣秩的定義的新的教學設計，教學設計的前提是學習了矩陣的初等變換、矩陣的等價標準形，介紹了矩陣的k 階子式的概念。

1 教學設計

1.1 提出問題，引出概念

1.1.1 提出問題

每一個矩陣作初等變換，都可以化為標準形

但是在化標準形的過程中，初等變換的過程卻不盡相同。由此，提出問題：不同的變換形式下，所得的標準形唯一嗎？

1.1.2 分析問題

標準形的形式取決于標準形中單位矩陣的階數r，所以考慮r 有什么樣的特征。k 階子式是我們剛剛學習的內容，因此就從k 階子式的角度考查r 的特征。經過分析，r 是標準形中非零子式的最高階數，而標準形是矩陣A 作初等變換得到的。啟發學生探討r 與A 之間的關系：r 是否也是矩陣A 的非零子式的最高階數？ A作初等變換化為標準形，如果初等變換不改變矩陣非零子式的最高階數，那么就能保證r 是A 的非零子式的最高階數，同時也能保證標準形由A 唯一確定，即如圖1的關系。

圖1 初等變換與標準形唯一性的關系圖

當初等變換不改變矩陣非零子式的最高階數時，r是A 的非零子式的最高階數是顯然的。為了使學生更好地理解標準形由A 唯一確定，下面做出分析，見圖2。

圖2 矩陣非零子式的最高階數與標準形唯一性的關系圖

1.1.3 問題轉化

由上面的分析，所以標準形唯一性的問題，就轉化為考查“初等變換是否改變矩陣非零子式的最高階數”的問題。接下來針對該問題進行分析。

分析 初等變換分為初等行變換與初等列變換，先看行變換的情形。設矩陣A 經過一次初等行變換變為B，設A，B 的非零子式的最高階數分別為hA與hB，下證hA=hB。

由于A 的非零子式的最高階數為hA，所以A 中存在某個h 階子式D≠0。

當A 對換i，j 兩行得到B 或者A 的第i 行乘以k得到B 時，總能在B 中找到與D 對應的hA階子式D1，并且D1=D 或D1=-D 或D1=kD，因此D1≠0，從而hA≤hB。

當A 的第J 行乘以l 加到第i 行得到B 時，因為對換i，j 兩行時，hA≤hB成立，所以不妨考慮A 的第2 行乘以l 加到第1 行得到B 時這一特殊情形。下面分兩種情況討論：

（1）若A 的hA階子式D 不包括A 的第1 行或者既包括第1 行也包括第2 行，此時B 中與D 對應的hA階子式D1與D 相等，故hA≤hB。

（2）若A 的hA階子式D 包含A 的第1 行不包含第2 行，此時把B 中與D 對應的hA階子式D1，記作

D1==D+lD2，rk表示D 的第k 個行向量，此時D2也是B 的hA階子式，由于D1-lD2=D≠0，所以D1與D2不同時為0，因此B 中存在hA階非零子式D1或D2，故hA≤hB。

以上分析說明了，A 施行一次初等行變換變為B，有hA≤hB。由于B 亦可經過一次初等行變換變為A，所以，hB≤hA，因此hA≤hB。

經過一次初等行變換，非零子式的最高階數不變，所以經過有限次初等變換非零子式的最高階數也不變。

再看列變換的情形。設A 經過初等列變換變為B，則AT經過初等行變換為BT，由以上分析知hAT=hBT。而矩陣與其轉置矩陣有相同的各階子式，所以它們的非零子式的最高階數相等，因此hA=hAT，hB=hBT，所以hA=hB。

綜上分析，可以得到如下結論：

定理1 初等變換不改變非零子式的最高階數。

因此，前面提出的轉化后的問題解決了。

1.1.4 解決問題

根據前面的分析，由于初等變換不改變矩陣非零子式的最高階數，所以標準形就是由矩陣A 唯一確定的，并且標準形中單位矩陣的階數就是非零子式的最高階數，問題解決。

設計意圖 矩陣秩的定義為矩陣的非零子式的最高階數，這一點在課本上看上去是非常突然的，為什么要這樣定義？ 非零子式的最高階數到底具有什么樣的一個特征？我們通過探究標準形唯一性的問題，發現了非零子式的最高階數是初等變換過程中的不變量，這種不變量，在數學上是非常重要、也是非常有意義的一個量，從而才會給它命名。

1.2 總結歸納，形成概念

初等變換不改變矩陣非零子式的最高階數，也即非零子式的最高階數是矩陣初等變換過程中的不變量。這種變換過程中的不變量，在數學上是很重要的，是數學中非常重要的研究對象，我們就可以給它命名，從而引出概念。

定義1 矩陣A 的非零子式的最高階數，稱為矩陣A 的秩，記為R(A)。

強調矩陣的秩關注的是矩陣非零子式的階數，而且是階數中最高的一個。也就是若R(A)=r，則A 至少有一個r 階子式不為零(R(A)≥r)，而A 所有的高于r 階的子式(如果存在的話)全為零（R(A)≤r)。

上面的秩的概念是由英國數學家西爾維斯特在1851年給出的，但是當時并沒有“秩”這樣的一種表述，一直到20 多年后的1879年，“秩”的表述由德國的數學家弗羅貝尼烏斯在他的一篇文章《On linear substitions and bilinear forms》中首次引入[7]。

設計意圖 追尋秩的產生足跡，讓學生了解數學史。

圖3 西爾維斯特與弗羅貝尼烏斯

分析 按照定義，要計算矩陣的秩，就是要找矩陣非零子式的最高階數。層層分析，求出矩陣A 的秩。解 由于

所以A 中存在2 階非零子式。注意到A 的第3 行元素為前兩行對應元素的和，根據行列式的性質，所以A 的3 階子式全為零，因此R（A）=2。

設計意圖 鞏固對矩陣秩的概念的理解，同時也可以引申出按照定義來計算階數較高的矩陣的秩往往是比較繁瑣的，這在數學中是不可取的，從而提出問題：有沒有簡單的計算矩陣秩的方法？

在例1 中，我們看到用定義計算矩陣的秩，尤其是階數較高的矩陣往往是比較繁瑣的。這在數學上是不可取的，有沒有簡單的計算矩陣秩的方法？聯系前面結論：初等變換不改變非零子式的最高階數，矩陣的非零子式的最高階數定義為矩陣的秩，所以初等變換不改變矩陣的秩，而每一個矩陣都可以化為標準形。

因此A 的標準形的秩就是A 的秩，即標準形含有1 的個數，就是A 的秩。因此求一個矩陣的秩就可以轉化為求矩陣的標準形，從標準形中獲得矩陣的秩。再回到例1，用初等變換的方法，求A 的秩。

解 對A 作初等變換得

所以R（A）=2。

設計意圖 呼應例題1，給出求矩陣秩的另一方法，這通常是較簡單的一種方法。同時引出矩陣的秩也可以從標準形的角度來定義。

既然標準形中1 的個數就為矩陣的秩，所以我們也可以從標準形的角度定義矩陣的秩。

定義2 矩陣A 的標準形中所含1 的個數，稱為矩陣A 的秩。

設計意圖 照應前面的結論：初等變換不改變非零子式的最高階數，并且又從標準形的角度給出了矩陣秩的另一定義，也解決了矩陣秩的求解問題。

1.3 拓展延伸，回顧總結

矩陣的秩是刻畫矩陣的一個數字特征，看上去比較簡單，但卻是線性代數中一個非常重要的概念，有諸多應用。比如后面的線性方程組理論中、向量組的線性相關性方面、矩陣的特征值方面以及二次型的理論中，秩的應用實際上早已超出了數學的范圍，它在控制論、圖像處理中都有應用。

前述，我們從解決矩陣的標準形唯一性的問題出發，給出了Sylvester 定義的矩陣的秩，之后，為了問題的需要與前后呼應，又從標準形的角度定義了矩陣的秩。除此之外，矩陣秩還有其他的定義方式，我們會在后面的學習中繼續介紹。

2 教學總結

該教學設計以解決標準形唯一性問題為起點，通過對問題的分析、轉化與解決，獲得了初等變換過程中的不變量，同時也完成了矩陣秩的概念的建構，這種教學設計符合學生的認知規律，能夠讓學生更好地理解這個知識點，也能夠培養學生提出問題、分析問題、解決問題的能力。在引出矩陣秩的概念后，在計算矩陣的秩的問題中，又回到了前面在分析問題中所得到的結論——初等變換不改變矩陣非零子式的最高階數，也就是初等變換不改變矩陣的秩。通過每個矩陣都可以化為標準形，再重新認識矩陣的秩，從而利用標準形又定義了矩陣的秩。這樣的教學設計順其自然、 水到渠成，更有助于學生理解矩陣的秩這一抽象概念。