提高解題運算　先行結構分析

宋予林　劉鑫鈞

[摘? 要] 眾所周知，數(shù)學運算能力是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng). 因此，文章從高三一輪復習中一節(jié)常態(tài)課的例題入手，通過對數(shù)學對象的代數(shù)結構、幾何結構的觀察、分析，讓學生掌握轉化與化歸、數(shù)形結合等重要的數(shù)學思想方法，提升高三學生的數(shù)學解題運算能力，滲透數(shù)學核心素養(yǎng).

[關鍵詞] 數(shù)學解題運算;結構分析;數(shù)學運算;轉化與化歸

龐卡萊曾說過：“所有的數(shù)學家時時體驗著數(shù)學的美感.”蘇霍姆林斯基說過：“沒有審美教育，就沒有任何教育.”在修訂的《普通高中數(shù)學課程標準》中明確指出數(shù)學教育承載著落實立德樹人的根本任務、發(fā)展素質教育的功能.數(shù)學教育幫助學生掌握現(xiàn)代生活和進一步學習必需的數(shù)學知識、技能、思想和方法，提升數(shù)學核心素養(yǎng)，引導學生會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界，會用數(shù)學語言表達世界，促進學生思維能力、實踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展.

那么，什么是數(shù)學知識？什么是數(shù)學素養(yǎng)？什么是數(shù)學能力？張奠宙先生認為：“數(shù)學核心素養(yǎng)包括真善美三個維度.”具體地說，所謂“真”即理解數(shù)學文明的文化價值，體會數(shù)學真理的嚴謹性、精確性;所謂“善”指的是用數(shù)學的思想方法分析和解決實際問題的基本能力;所謂“美”則是說能夠欣賞數(shù)學智慧之美，喜歡數(shù)學、熱愛數(shù)學. 王尚志先生在他的文章中明確指出：“數(shù)學的核心素養(yǎng)包含六個方面，即數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據分析.”這一觀點被貫徹在高中新課程標準的修訂中.

理論是美好的，但事實上，筆者通過高三一輪的復習教學發(fā)現(xiàn)，學生在學習數(shù)學的過程中無法真正體會數(shù)學的“真善美”，無法運用數(shù)學的“真善美”分析、解決數(shù)學問題，提升數(shù)學素養(yǎng)！下面，筆者結合最近在高三一輪復習中出現(xiàn)的一些問題與解決策略，淺談如何通過對數(shù)學式子的結構進行觀察、分析，提升高三學生解題的運算能力.

點評 通過對數(shù)式的觀察，結合直觀想象可見，把數(shù)式轉化到式①的結構，顯然大大地減少了解題運算的煩瑣. 因此，在高三一輪復習過程中，想要提高學生的解題運算能力，首先就要引導學生學會用數(shù)學的眼光觀察世界.

[?] 運用數(shù)式的幾何結構，培養(yǎng)學生的運算轉化能力

華羅庚先生曾說道：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛. 數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.”因此，對于例題1的解法，筆者又在課堂中不斷地引導學生繼續(xù)觀察數(shù)式的幾何結構，培養(yǎng)學生的運算轉化能力. 下面給出兩種不同的數(shù)形結合的解法.

解法4 （建構“幾何圖形”詮釋數(shù)式的幾何意義）在△ABC中，不妨設AC=b，BC=a，由點C作邊AB的垂線，垂足為D，如圖1所示. 在△ACD和△CDB中，由勾股定理可知b2-a2=AD2-BD2=（AD+BD）·（AD-BD）. 又AD+DB=c，故AD-BD=a. 作點B關于點D的對稱點E，則BD=ED，即∠CAE=∠ACE，AE=CE=a.易知∠CAE+∠ACE=∠BEC，即B=2A，故ED=BD=. 于是由圖形的幾何表征可見-=-====.又==，以下略.

解法5 （建構三角形相似）通過對數(shù)式的觀察，我們可以改變結構，得到b2=a2+ac=a（a+c），由此啟發(fā)學生產生聯(lián)想，可以轉化為“等比中項”. 那么，再次通過對數(shù)式的觀察，可以繼續(xù)將其變形，得=②. 數(shù)形結合是數(shù)學解題最重要的思想，因此延長AB至點D處，使得BD=a，AD=a+c，如圖2所示. 此時由式②可以得出△DCB與△DAC相似，故∠CAB=∠CDB，則CA=CD=b. 由此可轉化到等腰三角形ACD中繼續(xù)研究……

點評 通過對數(shù)式的代數(shù)結構、幾何結構的觀察，指引學生從不同角度、運用不同方法進行思考、聯(lián)想，體現(xiàn)出數(shù)學思維的靈活性與敏捷性;有目的地訓練學生的發(fā)散思維，培養(yǎng)學生養(yǎng)成“大膽猜想，小心論證”的好習慣，提升數(shù)學解題運算能力. 由此可見，只有通過對數(shù)式的代數(shù)結構、幾何結構的觀察，才能在數(shù)學解題中實現(xiàn)“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色”的美好畫面.

[?] 基于轉化數(shù)式的代數(shù)結構，培養(yǎng)學生的運算創(chuàng)新能力

波利亞在《怎樣解題》中指出：“困難的問題需要有一種神奇的、不尋常的、嶄新的組合. 而解題者的才能就在于組合的獨創(chuàng)性.” 因此，再好的方法，都需要學生獨立完成，教師只是學生學習的引導者，起著主導作用，而學生才是學習的主體. 因此，在高三一輪復習過程中，不要一味地追求每節(jié)課的大量題目，更重要的是要把每道題目講得細、講得透，體現(xiàn)思維的靈活性與創(chuàng)造性！下面以例題2的復習教學為例，基于轉化數(shù)式的代數(shù)結構，培養(yǎng)學生的運算創(chuàng)新能力.

例題2 （2020年全國高考Ⅰ卷第21題）已知函數(shù)f（x）=ex+ax2-x.

（1）當a=1時，討論f（x）的單調性;

（2）當x≥0時，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.

分析 對于函數(shù)單調性問題的考查，在我校高三一輪復習過程中，很多學生只要看到函數(shù)解析式就開始求導，其次就是令f′（x）=0，然后就不知道怎么下筆了！為什么會出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象？歸根到底仍是我校學生對于數(shù)式缺乏觀察能力，不能通過對數(shù)式結構的觀察，發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決數(shù)學問題. 因此，筆者在本題第（2）問的解答過程中對學生做了如下的啟發(fā)教學，通過對數(shù)式結構的觀察，培養(yǎng)學生運算創(chuàng)新能力：

師：我們看到不等式f（x）≥x3+1，如何用數(shù)學思維理解呢？又能產生哪些方法的聯(lián)想呢？

生：通過題目中的符號表達，它是想告訴我們：對任意的x≥0，y=f（x）的數(shù)值都比y=x3+1的數(shù)值大.

師：很好！那么對于兩個數(shù)值大小比較問題，我們在哪個章節(jié)里遇到過呢？

生：在基本不等式的證明中，我們遇到過兩個數(shù)值的大小比較.

師：那么我們還記得課本介紹了哪些方法證明嗎？

生：有作差法（作差，和0比較大小），還有分析法（執(zhí)果索因）和綜合法（由因到果）.

師：太棒了！那么我們先來嘗試作差法？

于是，課堂中給了五分鐘時間，讓學生通過建構h（x）=ex+ax2-x-x3-1，將問題轉化到y(tǒng)=h（x）的最小值與0的大小比較問題;經過五分鐘時間的努力，學生都發(fā)現(xiàn)了要求y=h（x）的最小值，就要求函數(shù)y=h（x）的單調性，但是發(fā)現(xiàn)ex以及參數(shù)a讓求導無從下筆.

師：那么，經過五分鐘時間的探究，請大家告訴老師，能不能解決y=h（x）的最小值呢？

生：不能，ex以及參數(shù)a使得求導過程煩瑣.

師：你們太棒了！發(fā)現(xiàn)問題比解決問題更重要！你們這么快就發(fā)現(xiàn)了本題的主要矛盾了，那么，接下來我們如何解決呢？

生：我們可以嘗試分離參數(shù)a！

接下來，又一個五分鐘過去了，學生發(fā)現(xiàn)分離參數(shù)后又可以得到一個新的函數(shù)g（x）=，而求這個函數(shù)的導函數(shù)更加復雜，也不好處理.

師：在這五分鐘里，請你們告訴老師，ex與參數(shù)a，誰讓你們更頭疼？顯然，ex在這個問題中才是處理本題的難點，你們有什么好方法解決這個大麻煩嗎？

經過小組討論，學生覺得可以利用不等式ex≥x+1將ex去掉，于是經過放縮化簡得到了a≥x要恒成立，但又發(fā)現(xiàn)右邊的函數(shù)

當x≥0時沒有最大值. 顯然，想通過放縮使得問題簡化也走不通了！

通過不同的嘗試，學生都有想放棄的沖動了！但是學習需要毅力，需要堅持，需要我們持之以恒的信心！因此，筆者又繼續(xù)啟發(fā)追問：當ex在什么位置就不會影響導函數(shù)的結構呢？

顯然，當ex在分母或者與整個結構相乘時就不會影響導函數(shù)的結構了！（一語驚醒夢中人）于是，就得到了結構≤1，因此建構h（x）=，問題就簡化了.

點評 高三數(shù)學復習課的目標在于通過解決數(shù)學問題鞏固和加深學生原有知識概念以及數(shù)學思想方法和模型應用能力，促進學生建構完整的知識網絡;在平時教學過程中需要有目的地引導學生通過觀察數(shù)式結構發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題，從而提升學生的解題運算能力.

[?] 通過數(shù)學運算能力的提升，培養(yǎng)學生的思維辨析能力

眾所周知，數(shù)學運算能力是數(shù)學核心素養(yǎng)的重要內容，通過運算促進數(shù)學思維發(fā)展，而思維的基本形式有概念、判斷、推理，思維的一般過程包括分析與綜合、比較與分類、抽象與概括、系統(tǒng)化與具體化，其中分析與綜合是思維的基本過程. 那么，要提升學生的數(shù)學解題運算能力，首先就應該訓練學生的思維辨析能力，即分析與綜合能力. 所以，筆者最后通過例題3的解決教學，通過數(shù)學運算能力的提升，培養(yǎng)學生的思維辨析能力.

點評 例題4的解決過程中通過對數(shù)式結構的觀察，從定義、幾何表征、代數(shù)以及極化恒等式（重要命題）等多個角度讓學生體驗解題的愉悅感與成就感.體會從數(shù)式結構的改變去理解數(shù)學的轉化與化歸思想，提升學生的數(shù)學解題運算能力，培養(yǎng)學生的思維辨析.

總而言之，從上面的例題解決策略與筆者多年的一線教學經驗以及對江蘇新高考的理解，筆者認為，任何一個數(shù)學問題的解決過程都可以看成是一個審美賞美的過程，教師要善于引導學生去觀察數(shù)式結構中的“美”，如解析幾何中的“設而不求”、不等式中常用的輪換對稱式、三角函數(shù)中的對偶式、圓錐曲線的統(tǒng)一定義、向量中的極化恒等式……讓學生發(fā)現(xiàn)題目中所體現(xiàn)的數(shù)式的簡潔美（抽象美、符號美、統(tǒng)一美）、和諧美（對稱美、形式美）、奇異美（有限美、神秘美）等，培養(yǎng)學生的觀察能力，學會用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維思考世界，用數(shù)學的語言表達世界;加深學生對數(shù)式結構的理解，感染他們熱愛數(shù)學、熱愛科學、熱愛生活、敬畏生命！讓學生在數(shù)學解題過程中得到愉悅的體驗，充實自己的認知、完善自己的知識結構、形成觀察數(shù)式結構的習慣，提升學生的運算能力，最終達到提升學生數(shù)學素養(yǎng)的目的.

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