對一類二次函數應用問題的錯誤成因的思考

劉曉蘭

[摘 ?要] 文章通過對幾個典型的中考二次函數應用問題的錯誤成因的分析，發現運用二次函數的相關知識解決實際問題，要把二次函數所有的基礎知識掌握透徹. 在實際應用中，要注意考慮自變量的取值范圍等各種因素.在解決二次函數應用題時要根據題意，靈活應用函數的有關性質及數形結合思想求解，避免取值范圍方面的誤區所導致的問題產生.

[關鍵詞] 二次函數;應用問題;錯誤成因

二次函數是初中數學重要內容之一，《義務教育數學課程標準（2011年版）》中明確要求“學生能用二次函數解決簡單的實際問題”.為此，筆者查閱了部分中考試卷后注意到二次函數應用題中存在一類與二次函數單調性相關的題目，如果對二次函數圖像的對稱軸的認識不充分，非常容易走入陷阱，誤將其當作二次函數應用題中的“最值問題”來處理. 文章對該類問題的錯誤成因及解決策略進行了一些剖析和探究.

機械套用公式導致錯誤

問題1 ?（2017年湖北省荊州市）荊州市某水產養殖戶進行小龍蝦養殖.已知每千克小龍蝦養殖成本為6元，在整個銷售旺季的80天里，銷售單價p（元/千克）與時間第t（天）之間的函數關系為p=t+16（1≤t≤40，t為整數），-t+46（41≤t≤80，t為整數），日銷售量y（千克）與時間第t（天）之間的函數關系如圖1所示.

在實際銷售的前40天中，該養殖戶決定每銷售1千克小龍蝦，就捐贈m（m<7）元給村里的特困戶.在這前40天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t的增大而增大，求m的取值范圍.

錯解 ?設日銷售利潤為w元，由題意得w=t+16-6-m（-2t+200）=-t2+（2m+30）t+2000-200m，其函數圖像的對稱軸為t=2m+30.

因為w隨t的增大而增大，且1≤t≤40，所以由二次函數的圖像及其性質可知2m+30≥40，解得m≥5.又m<7，所以m的取值范圍是5≤m<7.

分析 ?錯解忽略了本題中的t為整數、實際的函數圖像是拋物線上的一些散點這個事實.簡單地根據1≤t≤40且日銷售利潤隨時間t的增大而增大，錯誤地認為在t=40時取得最大值，從而簡單判斷了函數圖像的對稱軸與直線t=40的位置關系，最終得出了錯誤的結論.實際上，對于自變量取值范圍內最后兩個函數值的比較，應正確判斷對稱軸的位置，結合二次函數的性質得到答案.下面再看一題更為典型：

問題2 ?（2016年江蘇省揚州市）某電商銷售一款夏季時裝，進價40元/件，售價110元/件，每天銷售20件，每銷售1件需繳納電商平臺推廣費用a元（a>0）.未來30天，這款時裝將開展“每天降價1元”的夏令促銷活動，即從第1天起，每天的單價均比前一天降1元.通過市場調研發現，該時裝單價每降1元，每天銷售量增加4件.在這30天內，要使每天繳納電商平臺推廣費用后所得利潤隨天數t（t為正整數）的增大而增大，則a的取值范圍應為______.

錯解 ?設未來30天每天獲得的利潤為y，由題意得y=（110-40-a-t）（20+4t），化簡后得y=-4t2+（260-4a）t+1400-20a.

因為每天繳納電商平臺推廣費用后所得利潤隨天數t（t為正整數）的增大而增大，所以y隨t的增大而增大，且1≤t≤30，所以由二次函數的圖像及其性質可知-=≥30，解得a≤5. 又a>0，所以a的取值范圍是0

分析 ?本題的錯解原因在于忽略了題中的t為整數、實際的函數圖像是拋物線上的一些散點這個事實，簡單判斷了函數圖像的對稱軸與直線t=30的位置關系，最終得出了錯誤的結論.可見，以上兩題的錯誤原因非常相似.

回顧解題全程，思考其本質

運用二次函數的相關知識解決實際問題，要把二次函數所有的基礎知識掌握透徹. 在實際應用中，要注意考慮自變量的取值范圍等各種因素.在解決二次函數應用題時要根據題意，靈活應用函數的有關性質及數形結合思想求解.本文章的例題，由于自變量取的是整數，使得圖像為拋物線上的一些散點，就不能盲目套用“開口向下的拋物線，圖像在對稱軸左側單調遞增”這一結論.“離散”與“連續”是數量關系中一對極為深刻的矛盾，它們之間的對立與統一是數學發展的重要原動力之一.

需要指出的是，通過幾何直觀更能準確地把握問題的本質.幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題.借助于幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索問題解決的思路，預測結果.幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用. 所以在教學中，要注意培養學生借助于幾何直觀解決實際問題的思維能力，切實發揮數學在培養人思維能力和創新能力等方面不可替代的作用.

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