解構(gòu)中點問題提升數(shù)學(xué)理解

范建兵

[摘 ?要] 作為中考的高頻考點，中點問題具有基礎(chǔ)性、靈活性、模型化的表征. 教學(xué)時應(yīng)關(guān)注學(xué)生讀圖、識圖、解圖、構(gòu)圖的能力，解讀問題的本質(zhì)，解構(gòu)基本圖形，挖掘問題模型，提煉解題策略，以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

[關(guān)鍵詞] 中點;中位線;問題意識;數(shù)學(xué)理解能力

線段中點是幾何圖形中的一個特殊點，在研究中考數(shù)學(xué)試題時發(fā)現(xiàn)，關(guān)于中點問題的考查比較突出，雖題多面廣但指向明確，其一般有三類考查視角：①考查中點的定義，利用定義來表示兩條線段相等或倍半關(guān)系;考查三角形中線的性質(zhì)，利用等腰三角形或直角三角形的中線性質(zhì)來解決實際問題;②考查三角形的中位線，利于三角形中位線的性質(zhì)來呈現(xiàn)線段的位置或數(shù)量關(guān)系;③考查中點問題與其他知識點的融合，如垂直平分線、垂徑定理等. 中點問題是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重點內(nèi)容，常常會有不同層次的考題出現(xiàn)，其中大部分題目都被教師貼上了“基礎(chǔ)題”的標(biāo)簽，學(xué)生練得多但想得少. 教學(xué)時，一些教師基本上就題論題，偶爾有少許研究但相對零亂、不成體系. 這就導(dǎo)致此類問題成了學(xué)生的學(xué)習(xí)弊端，對知識背景、來龍去脈關(guān)注不夠，重結(jié)果而輕過程，缺乏問題意識，不利于創(chuàng)新精神和實踐能力的培養(yǎng).

案例分析

案例 ?（2018年四川省達州市中考數(shù)學(xué)第8題）如圖1所示，△ABC的周長為19，∠ABC的平分線垂直于AE，垂足為N，∠ACB的平分線垂直于AD，垂足為M，若BC=7，則MN的長為______.

1. 問題解構(gòu)

一道幾何綜合題，往往考查的是較多知識的融合，以及較難的圖形識別和較高的能力要求. 這道中考題的內(nèi)容豐富，如果沒有教師的幫助，大部分學(xué)生很難理解題意并突破難點. 在此，我們可以將圖形進行分解，從尋找基本圖形、剖析知識要點等方面對問題進行深度解構(gòu)，幫助學(xué)生尋找解題方向，引導(dǎo)學(xué)生合理建構(gòu)知識體系，以促進知識結(jié)構(gòu)的完善和能力的提升.

（1）圖形分解.

圖形語言是一種重要的數(shù)學(xué)語言，蘊含著豐富的信息. 結(jié)合文字語言、符號語言實現(xiàn)三者之間靈活轉(zhuǎn)換是解決幾何綜合題的關(guān)鍵. 從一個復(fù)雜的圖形中剖析出一些簡單的、基本的圖形，有利于發(fā)現(xiàn)其中蘊含的知識點. 因此，可以從本題的原圖（圖1）中分解出圖2、圖3、圖4三個簡單的圖形.

（2）圖形解析.

章建躍老師在“三個理解”中指出：理解數(shù)學(xué)是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的前提，理解數(shù)學(xué)其中一個方面就是從表面到本質(zhì)——把握問題的深層結(jié)構(gòu). 追根溯源，圖2、圖3、圖4在平時的教學(xué)中是否出現(xiàn)過？分別應(yīng)用了什么知識點？結(jié)合上面的圖形與文字，我們?nèi)菀钻P(guān)聯(lián)思考到下面兩個基本圖形（圖5和圖6）.

圖5是單中點基本圖形，點D為BC的中點，線段AD為△ABC的中線;圖6是雙中點基本圖形，點E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，線段EF為△ABC的中位線. 這兩個知識點是初中幾何的重要內(nèi)容，融合性強，考查率高.

2. 問題解決

課程改革以來，我們一直在呼吁“要加強問題意識的培養(yǎng)，不僅要教會學(xué)生解決問題，更要教會學(xué)生提出問題、分析問題”. 對于教師而言，本案例的解決可能并不難實現(xiàn);但對于學(xué)生而言，肯定是非常困難的挑戰(zhàn). 學(xué)生難在何處？本案例的本源在哪里？如何講解本案例更有利于學(xué)生理解和掌握知識點？

細細讀題并分析，我們可以發(fā)現(xiàn)本案例的內(nèi)涵非常豐富. 表象上涉及了角平分線、垂線等顯性知識，實質(zhì)上卻考查了全等三角形、等腰三角形及三角形中位線等知識. 通過圖形解構(gòu)，我們將圖1轉(zhuǎn)化為了幾個基本圖形，指向了兩個重要的知識點. 因此，解決本案例需要我們引導(dǎo)學(xué)生將圖形與知識關(guān)聯(lián)思考：求線段長的常用方法有哪些？圖中的角平分線和垂線該如何應(yīng)用？所求線段MN與誰有關(guān)？與題中的已知線段BC和△ABC的周長有什么關(guān)系？通過“問題串”讓學(xué)生尋找圖1所隱含的基本圖形，思考問題解決的常用策略.

通過對圖2的思考，可以證明△ABN≌△EBN，從而得到點N是線段AE的中點;通過對圖3的思考，可以證明△ACM≌△DCM，從而得到點M是線段AD的中點;通過對圖4的思考，可以發(fā)現(xiàn)MN是△ADE的中位線. 因此，求線段MN的長就轉(zhuǎn)化為求線段DE的長，而DE=BE+CD-BC=AB+AC-BC=AB+AC+BC-2BC=19-14=5，所以MN=2.5.

3. 知識重構(gòu)

皮亞杰認為：認知不是直觀的描摹，不是主體被動地接受，而是主體主動地用已有的認知結(jié)構(gòu)去同化外部事物，在頭腦中對外部事物進行加工、改組、轉(zhuǎn)換、比較、分析、綜合，以此來形成認識[1].

（1）圖形比較.

圖5是單中點問題的一般圖形，圖2（或圖3）是特殊三角形，這兩個圖形之間是否有聯(lián)系？通過思考、改組、加工發(fā)現(xiàn)：對于一般狀態(tài)下的△ABC（圖5），如果△ABC的邊AB=AC，那么△ABC就是等腰三角形，可以得到等腰三角形“三線合一”的性質(zhì);如果△ABC中的∠BAC=90°，那么△ABC就是直角三角形，可以得到直角三角形“斜邊上的中線等于斜邊的一半”的性質(zhì). 這樣的融合與比較，蘊含了“從一般到特殊”的數(shù)學(xué)思想方法，也展現(xiàn)了幾何圖形之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)（如圖7所示）.

圖6是雙中點問題的一般圖形，EF是△ABC的中位線. 如果將三角形轉(zhuǎn)換成四邊形（如圖8所示），可以得到中點四邊形EFGH是平行四邊形;如果將四邊形改為矩形、菱形、正方形，那么中點四邊形也會相應(yīng)改變. 這個中點四邊形的判定結(jié)果依據(jù)的就是基本圖形（圖6），運用了三角形中位線的性質(zhì)，體現(xiàn)了問題解決的轉(zhuǎn)化與綜合. 此處需要說明的是，在解決四邊形問題時，我們常常將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題進行解決，此處對中點四邊形的判定就是一個典型的應(yīng)用案例.

（2）模型提煉.

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該在已有認知結(jié)構(gòu)上不斷關(guān)聯(lián)和引申，從中提煉問題模型，可以使學(xué)生豐富認知結(jié)構(gòu)，完善知識體系[2]. 圖2（或圖3）就蘊含了一個重要的數(shù)學(xué)模型：“平分”加“垂直”構(gòu)造了“等腰三角形”. 這個命題可以詳細地表述為：如圖9所示，BD平分∠ABC，點E是射線BD上一點，過點E作MN⊥BD，則△BMN是等腰三角形.

在數(shù)學(xué)課本上還有一個類似的模型：“平分”加“平行”構(gòu)造了“等腰三角形”. 這個命題也可以詳細地表述為：如圖10所示，BD平分∠ABC，點E是射線BD上一點，過點E作EF∥BC，則△BEF是等腰三角形.

可以說，這兩個模型在練習(xí)中考查的頻率還是很高的. 平時教學(xué)中，教師應(yīng)該有意識地指導(dǎo)學(xué)生從問題中提煉一些解題模型，歸納一些常用方法. 這既能豐富學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，又能提升學(xué)生分析問題與解決問題的能力，有助于學(xué)生綜合能力的提升與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展.

（3）圖形重構(gòu).

除了圖形的識別與模型的提煉，我們還需要有圖形重構(gòu)的意識，讓學(xué)生能多角度進行理解，以更好地掌握問題的本質(zhì). 比如，圖11表示的是直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，圖12表示的是三角形的中位線，如果將這兩個圖形組合、重構(gòu)，形成一個新的圖形，就是一個具有基礎(chǔ)性、代表性的題目：如圖13所示，△ABC中，∠ACB=90°，點D，E，F(xiàn)分別為三邊的中點，證明CD=EF.

（4）經(jīng)驗再生.

為了讓學(xué)生在問題探究和問題解決中加深對模型的認識，實現(xiàn)知識及時鞏固、經(jīng)驗再生的教學(xué)功能，筆者選擇了以下幾個練習(xí)題（均為常見題），指向了不同中點問題以鞏固和提升知識結(jié)構(gòu). 通過自我思考、練習(xí)、反思，學(xué)生可以從問題的解決、類型的識別、模型的應(yīng)用等不同層次上抽象出屬于自己的解題經(jīng)驗，這符合學(xué)生的認識規(guī)律，能促進學(xué)生全面、可持續(xù)發(fā)展.

練習(xí)題1：如圖14所示，已知△ABC中，BD平分外角∠ABF，AD⊥BD于D，CE平分外角∠ACG，AE⊥CE于E，連接DE. 若AB=7，AC=6，BC=5，則DE的長為_____.

練習(xí)題2：如圖15所示，已知△ABC中，D是BC邊上的中點，AE平分∠BAC，CE⊥AE于E. 若AB=7，AC=4，則DE的長為______.

練習(xí)題3：如圖16所示，在四邊形ABCD中，AB=CD，AC，BD是對角線，E，F(xiàn)，G，H分別是AD，BD，BC，AC的中點，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，則四邊形EFGH的形狀是（ ? ? ?）

A. 平行四邊形 ? ? ? B. 矩形

C. 菱形 ? ? ? ? ? ? ? ? ? D. 正方形

練習(xí)題4：如圖17所示，已知△ABC中，BE，CF分別是邊AC，AB上的中線，BE與CF相交于點O，則BO與OE的長度有什么關(guān)系？

教學(xué)思考

作為一個中考的高頻考點，中點問題的知識點本身并不困難，難在知識綜合和圖形分解. 這就需要教師在講解典型例題時講明問題的本質(zhì)，講清基本圖形，引導(dǎo)學(xué)生理解其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，掌握一般的解題策略，再次遇到類似問題時才能引發(fā)關(guān)聯(lián)思考并解決問題.

1. 高頻考查的緣由

為什么中點問題能夠成為高頻考點呢？挖掘中點問題背后的特征，探尋命題中的能力與素養(yǎng)的立意，可以讓教學(xué)的站位更高一些，目光更遠一些.

（1）基礎(chǔ)性：知識點相對單一，結(jié)論不多且通俗易懂，大部分學(xué)生都能夠理解并掌握.

（2）靈活性：知識點的關(guān)聯(lián)性、融合性強，可與初中學(xué)段的大部分知識點聯(lián)合起來命題.

（3）模型化：中點問題的本源是兩個基本概念和兩個基本圖形，分別對應(yīng)的是中線和中位線，學(xué)生易于辨認，模型解決的策略也相對明確.

2. 滲透常用思想方法

上述案例的解決，涉及了多種數(shù)學(xué)思想方法，如轉(zhuǎn)化思想、分類思想、建模思想等. 比較突出的是轉(zhuǎn)化思想，在解題中將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，將未知問題轉(zhuǎn)化為已知模型，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，等等. 數(shù)學(xué)思想滲透在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括. 在解題教學(xué)中，只講邏輯而不講思想，會使題目之間缺乏聯(lián)系的紐帶，導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)不完整或缺乏整體性.

3. 掌握一般解題策略

教學(xué)中我們習(xí)慣于給予學(xué)生方向性的指導(dǎo)，比如單中點問題常用倍長中線法，多中點問題常構(gòu)造中位線，等等. 其實學(xué)生解題的最大困難并非不知道方向，而是沒有讀懂題意，不知道從哪里下手，或者缺少模型化意識，沒有找到基本的、普遍適合的解題方法.

對于上述案例這樣的幾何問題，可以借助于圖18的思考路徑，指導(dǎo)學(xué)生從讀題和識圖兩個方面入手. 讀題不僅是讀懂已知和未知，還要讀出已知與未知的關(guān)聯(lián)，需要仔細思考：題目的已知條件有什么用處？與學(xué)過的什么知識點有關(guān)？有沒有做過類似的題目？引導(dǎo)學(xué)生用較短的時間去回憶和想象，尋找自己已有的解題體驗. 同樣，識圖不僅僅是識別圖形，還包括分解圖形（尋找熟悉的基本圖形）、圖形重構(gòu)（在原圖形之外重新畫出一個新的圖形進行局部分析）. 這樣的分析、尋找、思考的過程對典型題目的講解很有必要，教師要舍得花時間，讓學(xué)生去試一試、想一想，這是一個豐富的、有意義的過程. 此外，在解題教學(xué)中，應(yīng)該全面關(guān)注學(xué)生的認知能力和理性精神，不能一味地講技能、技巧. 只有教師教學(xué)時注重對基本圖形的提煉，學(xué)生才會從復(fù)雜的圖形中抽象出基本圖形;只有教師教學(xué)時注重對基本方法、普適性方法的概括和總結(jié)，學(xué)生才能從更好的、更合理的解題視角去分析問題. 學(xué)生解題不是機械模仿，而是自主思考和獨立思考，這樣數(shù)學(xué)思維層次才能更高，學(xué)習(xí)效果才能更好.

參考文獻：

[1]韓立福. 當(dāng)代國際教育理論基礎(chǔ)導(dǎo)讀[M]. 北京：首都師范大學(xué)出版社，2006.

[2]張躍飛. 深度解構(gòu)析錯因，合理建構(gòu)育素養(yǎng)[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（14）：34-36.

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