小學數學五類探究性作業的設計與實施策略

尹元洪

（仙游縣教師進修學校，福建 仙游 351200）

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》指出：習題的設計要關注數學的本質，關注通性通法。探究性作業指的是在教師預設的探究性問題的引領下，學生在已有知識、經驗及思維方式的基礎上，親歷創意思考、動手探索、解決問題的學習過程的一種作業形式。探究性作業以滿足學習的鞏固、復習、應用、拓展需要為目標，從知識的本源出發，關注數學的本質。它依托的基礎是“探究性問題”，作業完成的標志回歸到學生是否解決了問題，是否經歷了探究的過程，并且將已有的知識和方法運用到探究問題的過程中。

探究性作業當在課堂內外應然而生，供學生自主選擇，與傳統數學作業相比較，其呈現方式多樣，解決問題的方法更具靈活性、針對性和開放性，更能滿足學生個性化學習的需要。同時，減少傳統數學作業機械重復、千人一面、思維含量低等問題。在學習探究新知之后，讓作業任務盡可能再次成為學習的探究之旅，從而解決問題，提高素養，提升思維品質。［1］本文試從以下五個方面，探討如何設計小學數學探究性作業。

一、把握概念內涵探究，設計概念表征性作業

數學概念是在大量分析判斷、提煉概括的基礎上總結出來的數學成果。它借助符號化表達與文字表述，將復雜的知識抽象為簡單的文字或符號說明，讓人能夠清晰理解其深刻內涵。對于小學生而言，數學概念相對抽象，不易理解，導致其概念不清，越學越糊涂。因此，在數學概念學習后，為了發展學生的歸納推理、提煉概括、辨析判斷能力，以及良好的數學概念理解能力，讓學生把握數學知識的內涵，正確理解與運用概念，可以設計概念表征型探究性作業，引導學生運用圖像、文字或語言來表征概念，表達自己對概念的理解。

例如，學習“簡易方程”時，教師設計以下開放性的探究性作業，“3ⅹ+（ ）=20 是方程嗎？3+（ ）=10 是方程嗎？請用20+ⅹ=30 描述生活中的一件事。”學生站在“方程的定義”角度完成作業，嘗試填寫不同的答案，發現3+（ ）=10，若（ ）中寫的是7，就不是方程，因為沒有未知數；而3ⅹ+（ ）=20 則是方程，因為它符合“等式”“含有未知數”的要求。然后要求運用20+ⅹ=30 來描述生活中的事情，意在激發學生的創新思維，引導學生用自己的語言來表征概念，從而更加深刻地理解概念。

在對數的意義、運算定律、圖形與幾何及統計與概率的名稱、概念等進行理解闡述時，亦可設計此類概念表征性作業。教師應著力啟發引導學生，洞悉概念要義，準確地以自己的方法理解、說明概念，將自己對概念理解的思路、對問題思考的過程，以語言描述、算式表達、圖形表示、思維導圖、文字符號等方式可視化地表征出來，從而加深對概念的理解，靈活運用知識、內化知識。

二、關注整體結構探究，設計知識綜合性作業

數學知識縱橫交錯，是一個有聯系的整體。作業是學習的拓展與延伸，是數學知識的意志和呈現，知識的整體性、連貫性和系統性，在數學作業中應予以充分體現。［2］在教學中，需要遵循學生的認知規律，引導學生在已有知識和經驗的基礎上進行探究學習。同時，設計一些知識綜合探究性作業，讓學生整體地感知數學知識的脈絡，更系統地建構數學知識體系。因此教師要啟發和鼓勵學生，幫助學生以舊引新、新舊類比，發現知識間的區別和聯系，逐步建構知識網絡，促進知識的綜合分析與運用，培養學生良好的學習能力。

例如，在學習“小數除法”知識時，教師設計以下探究性作業：

①小明有24 張動畫卡，小明的張數是小青的3倍，請問小青有多少張動畫卡？

②小明有24 張動畫卡，小青的張數是小明的1/3，請問小青有多少張動畫卡？

③小明有24 張動畫卡，小青與小明張數的比為1∶3，請問小青有多少張動畫卡？

問：如果都用“24÷3=8（張）”來解答，你認為正確嗎？為什么？

學生先分析除法、分數、比例的概念，再分析問題的本質，發現站在除法、分數、比例的核心本質的角度來看“24÷3=8（張）”，這個答案是正確的。但是從概念的角度分析，這三道題是不同的概念，若要體現問題的區別與除法、分數、比例概念的不同，就需要分別用：“①24÷3=8（張）；②24×（1/3）=8（張）；③解方程：ⅹ∶24=1∶3，ⅹ=8”來解題。其關鍵點在于三者概念不同，但是回歸到本質又相似。學生在完成這類知識綜合探究性作業的過程中，不僅學會類比分析、區分異同點，提升辨析思維，而且強化對知識的區別與聯系的認識，從而構建知識網絡。

三、滲透思想方法探究，設計建構模型性作業

數學思想是人們經過長期的數學研究后形成的本質性的統一認識，是“四基”之一，是數學學科的本質與核心，能夠幫助人們科學地思考問題、探索規律、獲得解題的策略。數學學習重在數學思想與方法的掌握，重在以數學思想和方法引領學習。如果學生能夠真正理解領悟隱含在數學知識體系中的思想和方法，將更加全面、深入地學習數學，更加得心應手地應用數學。小學階段是數學思維形成的重要時期，是抽象邏輯思維的進階階段，可借助探究性作業對學生進行數學思想和方法的熏陶與滲透，培養學生的高階思維。

數學模型建構強調對真實問題情境的抽象與概括、解釋和應用，教師可通過設計這類探究性作業，理清數學邏輯體系，助力學生模型性、系統性地學習理解數學學科的本質內涵，切實提高數學的應用性。如人教版小學數學教材中的“數學廣角”學習單元，以生活中常見的數學活動為依托，通過感受數學現象、積累數學經驗，讓學生親歷數學探究過程，從而滲透數學方法、感悟數學思想、建立數學模型。因此，教師在“數學廣角”的教學中，要巧妙滲透數學思想方法，設計建構模型性作業，從而啟迪、喚醒學生，幫助學生學以致用、舉一反三地應用數學。［2］

例如，在學習“植樹問題”后，教師設計探究性作業：“為什么路燈問題、樓層問題、鋸木問題都可以稱之為植樹問題？請舉例說明。”在該作業任務下，學生意識到這些實際生活中的現實問題，都可以劃歸到“植樹問題”這一類別中。學生舉例說明：“樓層問題”中，第1 層不需要爬，到第2 層要爬1 層樓梯，相當于有1 個間隔；到第3 層要爬2 層樓梯，相當于有2 個間隔。這與“植樹問題”的2 個空格，每隔5 米，兩端都種樹，10 米需要種多少棵樹類似；與“鋸木問題”中，1 刀鋸開2 段的情況也類似；“路燈問題”中，需要幾盞燈與需要種幾棵樹，也是一樣的情況。通過舉例和畫圖分析，學生建立“植樹問題”的模型，模型的關鍵是“間隔長度、間隔數、端點個數”，把握不同實際情況的不同點、關鍵點，即可解決這一類問題。該探究性作業任務給予學生解決問題的啟示，運用數形結合的形式加以說明，進一步發展學生的創新思維。學生經過這樣有思想深度、有系統方法的數學課堂學習，獲得持久的數學思維及終生受用的解決問題的數學思想方法，更加深刻地感受到數學的價值與魅力。

四、強化動手操作探究，設計生活實踐性作業

數學知識來源于實際生活，也來源于動手操作和實踐。數學知識與生活實際相結合，是數學學習的本質需要，也是提高學習趣味性、深刻性、應用性的重要手段。學生對自己身邊的事物最感興趣，如果生活中的問題能運用課堂所學的知識來解決，有助于調動學生學習與探究的積極性。小學數學教學應注重實踐性和生活性，在生活化的情境中，創設實踐性練習，通過動手操作、使用紙筆工具等，促使學生掌握分析問題、解決問題的方法。通過這類探究性作業，加深學生對數學知識的認知與吸納，使知識內化為學生自己的實踐技能，提高實踐應用能力。在操作實踐、主動探究問題的活動過程中，學生不僅獲得與實際生活緊密關聯的數學知識，而且增加動手操作的技能，提升解決復雜問題的能力。

例如，教學“可能性”知識時，教師設計探究性作業“制作贏的可能性為八分之一的游戲”。學生模仿生活中常見的游戲類型，動手制作“轉盤”游戲。并結合贏的可能性進行分析，發現要將圓形轉盤平均分成8 份，即將360°除以8，得出每份為45°。這類探索制作活動須在教師的正確引導下開展，通過準備硬紙板，剪切、畫圖、設計，安裝轉動的指針等相關環節，動手操作完成游戲工具的制作。在探究性作業完成的過程中，學生感受到數學學習的趣味性，動手動腦，學以致用。同時，體會到數學的實用價值，提升動手實踐操作的能力。

人教版教材中，一系列“綜合與實踐”學習打破了課堂內外的隔閡，意在培養學生的動手能力，促進其思維力與創造力的發展。教師在設計與“綜合與實踐”相關的動手操作探究、生活實踐性作業時，應圍繞探究性問題展開綜合分析，在實踐練習中讓學生積累數學經驗，在調查分析中讓學生內化知識，進而應用知識、掌握技能，解決現實生活問題。

五、聚焦假設驗證探究，設計合作嘗試性作業

合作學習不僅使師生、生生之間的關系和諧、順暢，還能促進課堂教學提質增效。為了引發學生對問題的探究欲，教師要把握時機，適時創造條件，指導學生進行小組合作探究性學習。讓學生積極地提出問題、思考問題，認真分析，分工合作，大膽嘗試，試著使用假設、驗證的方法來解決問題，同時在自主探究、解決問題的過程中，尋找解決問題的辦法和正確的答案，增強思辨能力和分工合作交流的意識。［3］

例如，“某地遭遇暴雨，水庫水位已經超過警戒線，急需泄洪。這個水庫有兩個泄洪口，只打開A 口，8 小時可以完成任務；只打開B 口，6 小時可以完成任務。如果兩個泄洪口同時打開，幾小時可以完成任務？”這是一個可以利用的假設驗證類探究性作業素材。解題過程中，一部分學生困惑不解，他們認為，已知條件中沒有說明“這個水庫總水量有多少”，如何求出“兩個泄洪口同時打開，幾小時可以完成任務”這一問題。此時，教師可以根據題目設計的意圖，對學生進行分組，有針對性地引導學生分組解決問題：第一組，假設水庫的總水量為1800 萬立方米；第二組，假設水庫的總水量為3000 萬立方米；第三組，自由假設水庫的總水量（合理范圍內）；第四組，把水庫的總水量看作單位“1”。然后讓各小組派代表展示交流結果，發現假設的4 種水庫的總水量雖然各不相同，但是最后計算得出的答案是相同的。學生在該案例的學習中，經歷了自主探究、解決問題的過程，運用假設、驗證等策略解決問題，學會解決問題的方法，發展求知探索、解決問題的能力。［3］

諸如“工程問題”“行程問題”“雞兔同籠問題”“用比例解問題”等知識的學習時，亦可布置這類探究性作業。讓學生結合所學知識進行假設驗證，給學生以合作嘗試的機會，分工協作，共同探究驗證數學知識，合作完成學習任務，促進自主學習與探究能力的提升。

總之，探究性作業可以幫助學生掌握知識、應用知識分析和解決實際問題，發展學生的探究能力、實踐能力。探究性學習具有一定的挑戰性，在初期階段，學生難免感覺困難，通過教師積極的指導、正確的訓練后，學生的解題能力、思辨水平將逐步得到提升。故此教師要有意設計、編排一些契合學生學習、生活實際的探究性作業，鼓勵學生嘗試和探究、實踐與應用，培養學生的創新思維，發展學生的核心素養。