建立在無窮概念上的微積分

劉美玲

（上海電機學院文理學院 上海 201306）

1 微積分課程

微積分課程充滿了大量的定理，公式和計算。而這些幾乎都建立在“無窮”這個概念上。微積分是一種簡潔優(yōu)美的學科和科學，題目的計算復雜和精妙，往往能使具體的問題快速有效而簡潔的解決好。比如求最值問題，傳染病模型，幾個數(shù)學函數(shù)，幾步計算就能得到很好的結果。微積分出色的模擬了大自然，用數(shù)字和符號定義了這個世界，認識了宇宙，闡述了邏輯之美。最終利用它的神奇力量預測未來，創(chuàng)造世界。無窮是微積分中一度難以逾越的難關，因為無窮帶來了悖論，使得一向邏輯嚴謹?shù)臄?shù)學科學產(chǎn)生了哲學災難。最初數(shù)學家們從曲線、運動及其變化中尋求規(guī)律和解決之道。天文學家從宇宙中找尋萬物運轉的規(guī)律和秘密，試圖用嚴謹?shù)臄?shù)學推導使人信服，推動文明的進程[1]。天文學的研究客觀上促進了數(shù)學和物理學的發(fā)展，對人們的生活產(chǎn)生了深遠的影響。二維碼結賬，GPS導航，天文學和數(shù)學無處不在。

曲線和曲面形式豐富，隨處可見。它們不像直線和平面容易計算和想象，面積和體積的計算變得難以下手，造成了概念上的困惑。古代數(shù)學家曾花了很大力氣想要求解圓的面積，然而上千年無數(shù)數(shù)學家鍥而不舍的研究卻進展緩慢。

2 不規(guī)則量計算中的無窮應用

微積分的應用廣泛，曲線、質量、引力，時間等都可以作為分析對象。最開始的微積分學科是作為數(shù)學分析課程產(chǎn)生的。初等數(shù)學是從幾何發(fā)展來的，在規(guī)則圖形的研究已比較完備后，不規(guī)則形狀的圓形，球狀，甚至完全不規(guī)則形的物體的面積、體積及相關的其他測量阻礙了數(shù)學的發(fā)展。微積分在數(shù)百年對帶曲線形狀體的研究中誕生了。先哲們以直代曲，以不變代變，以若干線段代替曲線，用已有的方法研究未知的曲線性質。問題很快出現(xiàn)了，近似代替的精度越高，線段越接近無窮小，線段數(shù)量越接近無窮多，通過無窮求和，積分學首先誕生了。無窮的思想歷經(jīng)多個世紀，歷經(jīng)眾多最偉大的數(shù)學家的共同努力，終于于17-18世紀取得了進展。積分學誕生后，人們對以曲線為基本元的不規(guī)則體，以及以非均勻變量為基本特征的不規(guī)則量的研究達到了狂熱的程度。這些研究使微積分理論迅速豐富起來，并產(chǎn)生了相關的很多分支學科，比如概率論與數(shù)理統(tǒng)計，運籌學，矩陣理論，微分方程等，已經(jīng)被廣泛應用到了工程領域各學科，使現(xiàn)代科學進入了微積分研究時代，現(xiàn)代科學得到了突飛猛進的發(fā)展。

在幾何領域取得突破進展后，積分學自然地被用來進行運行之謎的探索。當然牛頓也是在運動規(guī)律的找尋中發(fā)現(xiàn)了微積分。這促成了微分學的誕生。它準確刻畫了不規(guī)則運動時無窮小時間和距離變化之間的關系。

牛頓和萊布尼茲把代數(shù)的符號與無窮的力量結合起來，他們把積分學甚至公式化了，任何運動都變成了無窮求和。20世紀初愛因斯坦將微積分應用于一個原子躍遷模型，從而預測了一種受激發(fā)射的奇特現(xiàn)象，基于這樣的基礎理論，最終激光器被發(fā)明了。微積分甚至用到了醫(yī)學領域，從病毒的傳播機制與人體免疫的模型入手，分析預測病毒的傳播機制，控制病毒，從而使一些絕癥變?yōu)槁约膊　?/p>

最早在公元前200多年，古希臘數(shù)學家們就執(zhí)著于研究曲線之謎。他們希望將曲線形狀和直線形狀聯(lián)系起來，然后實際計算中困難重重。如何定義“無窮”，它是數(shù)字，變量還只是一個概念？這個思想最開始被應用到了圓的面積求解中。數(shù)學家們把圓分割成曲邊三角形，首先分成了四等分，但是曲邊用直線近似顯然很粗糙。繼續(xù)分割成16等份，每一份更加接近三角形，顯然分割的份數(shù)越多，曲邊三角形的曲邊就越扁平，越接近圓面積的真值。如果能夠無窮分割，則所有曲邊三角形面積之和就是圓的面積，這是一個極限的思想。但極限太抽象了，似乎是一個無法達到的目標。一千多年里數(shù)學家一直想解決極限的問題，用數(shù)學語言描述無限接近的意思，直到微積分產(chǎn)生后，才給極限有了一個嚴格的定義。這都是因為無窮難以定義。中文中有很多關于無窮的詞匯，無窮無盡，后患無窮，回味無窮等，也許中文和數(shù)學上的無窮本來也是同一種意思，然后數(shù)學需要定量分析，無窮需要數(shù)學化，用變量描述，最好能賦值。我們小學階段就學過除不盡的分數(shù)，比如三分之一，寫成小數(shù)就是0.333……，后面有無限重復的3，這里就有了無窮，實際計算中或許我們取幾個3就行了，所以沒有啟發(fā)我們進一步考慮如果精確取值怎么處理。然而類似圓的面積這樣的用無窮近似求極限值計算的，我們還是希望能解決無窮之后的極限如何求解。把圓分割的越來越細，每一份的面積都越來越小，接近0了，分數(shù)來自分配或者分割，無窮分割似乎就是給0個做分割，大膽從除數(shù)為0引出了無窮的數(shù)學表達，除數(shù)不能為0，最開始，用了接近0的數(shù)字試探，比如0.01，0.001，0.000001，隨著除數(shù)接近0，商變得越來越大，趨于無窮了。除數(shù)為0導致了經(jīng)典數(shù)學的動蕩，無法從實際意義上理解。亞里士多德曾警告說在無窮的問題上犯錯會導致各種邏輯悖論。兩千多年的初等數(shù)學都是研究有限的理論，無窮在哲學上遭到了抵制。

芝諾悖論，阿喀琉斯的烏龜悖論都蘊含了無窮的思想。無窮思想之所以難以理解，是因為數(shù)學來自實際生活，都是有限的測量需求，無窮難以和實物聯(lián)系起來，有虛無縹緲的感覺，使得一千多年以來的哲學家數(shù)學家們難以接受，甚至拒絕接受，覺得有悖于現(xiàn)實，沒有任何價值。無窮只能存在于理想化的假想世界中，假裝一切事物可無線分割，微積分就是建立在這樣的假設基礎上，如果沒有它，無法定義極限，經(jīng)典數(shù)學、天文學、物理學都停滯不前。圓的面積的計算，無法除盡的分數(shù)的存在，無理數(shù)的客觀存在，使我們不得不面對無窮。不能只研究有限，即使包含有理數(shù)，也難以使數(shù)軸上連續(xù)充滿數(shù)，必須有無理數(shù)，用實數(shù)才能定義連續(xù)。無窮使得很多研究得以繼續(xù)，也簡單明了了。

阿基米德也曾研究過圓的面積，他將幾何學與力學結合在一起，先用六邊形代替圓，六邊形包含6個等邊三角形，每條邊長都等于圓的半徑r，圓的周長大于6r,圓周率被認為是圓的周長和直徑之比。繼而用24邊形，48邊形，96邊形近似圓，最終得到了圓周率大約在3.1408和3.1428之間，這種方法后來被稱作窮竭法。在我國的九章算術注當中亦有記錄“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”。隨著邊數(shù)增加，圓周率可以更加精確下去，直到小數(shù)點后面無窮位，既沒有可見的終點也沒有可知的極限，但它的定義和描述已經(jīng)很清晰了，它是秩序和混沌之間的平衡，為后面微積分的產(chǎn)生奠定了非常好的理論基礎[2]。阿基米德的窮竭法說明了任何想要測量曲線長度，曲面面積，不規(guī)則形體體積的方法，都必須面對無窮小部分的無窮級數(shù)和的極限問題。窮竭法和無窮在現(xiàn)代應用中無處不在，甚至被用到了動畫中，動畫師用幾千萬個多邊形創(chuàng)造出了怪物史萊克，阿凡達等，視頻用靜止的上千萬幀組成。德國應用數(shù)學家們通過CT掃描的人面部顱骨三維結構，把微積分和計算機建模結合，預測復雜的面部模型。用幾十萬個四面體形成了皮膚、肌肉等軟組織，在醫(yī)學上都很有價值。

3 微積分中的無窮應用

除了早期的數(shù)學家哲學家外，天文學家和物理學家們對數(shù)學的力量更為推崇。伽利略認為只有用數(shù)學才能認識世界。開普勒用圓錐曲線描述太陽系，哈利奧特將數(shù)學應用于光學、航海技術，笛卡爾將代數(shù)和幾何聯(lián)系起來，用于研究光，彗星等[3]。經(jīng)典物理學研究了物體運動的規(guī)律，用數(shù)學方程來描述。天體運動的規(guī)律經(jīng)過對空間和時間的無窮分割似乎也可以用普通物理學的知識研究。中世紀的學者們一直研究和探討這些問題。艾薩克牛頓無疑是其中最優(yōu)秀之一。他用“流數(shù)”定義了流體的變化率，萊布尼茲用微分表達了無窮小時間內的變化量。這就是最早的導數(shù)概念。牛頓在他的著作《自然哲學的數(shù)學原理》一書中用最初的微積分思想解釋了運動定律和太陽系運轉的秘密。伯努利兄弟也開始學習和研究微積分，許多學者以極大的熱忱參與了微積分的完善和傳播。一生勤奮的歐拉是其中最偉大的數(shù)學家之一，歐拉對數(shù)學有很高的造詣，并將之熟練應用到了天文學、工程領域甚至哲學里。他撰寫了《微積分預修》教科書，發(fā)表的論文和著作不計其數(shù)，其中《無窮小分析引論》是最著名最有影響力的數(shù)學經(jīng)典著作。這本書具有里程碑的意義，它把函數(shù)作為主要研究對象，從純代數(shù)的角度研究微積分，使無窮小分析不再依賴幾何性質。自此代數(shù)學脫離了幾何學，從初等數(shù)學躍升到了高等數(shù)學。這本書是現(xiàn)代很多微積分教科書的范本。歐拉提出了無窮級數(shù)的概念，用無窮多項式逼近無窮階可導的任意函數(shù)。他定義三角函數(shù)為無窮級數(shù)，并表述了歐拉公式，使得很多函數(shù)值可以精確計算。

然而雖然很多學者用到了無窮的思想，在計算中嚴謹或者不嚴謹?shù)氖褂昧藷o窮小量，牛頓和萊布尼茲也都提到了無窮小量，但他們都認為它是虛無的存在，只有極限狀態(tài)時用來輔助描述一下。物理學家認為無窮小不對應實物，在數(shù)軸上不存在，所以涉及的計算沒有數(shù)值解，它應該被看作是一種思維方式。在函數(shù)關系中自變量的微小變化被認為是無窮小，這個變化量一般會引起函數(shù)值的一個較小的變化量，它們都趨近于零。但是把自變量的微小變化量和函數(shù)值的微小變化量作比較，卻能得到一個相對巨大的數(shù)值。也就是說變化率并不微小。這讓數(shù)學家們理解了曲線上一點的斜率，瞬時速度，曲線長度和曲面面積等。現(xiàn)代教科書把無窮小定義為極限為零的變量。它是微分的本質，它使得計算變得簡單了，甚至程序化了。比如計算一個曲邊三角形的面積，初等數(shù)學需要分割，近似，逐個部分計算，煩瑣而復雜，而使用微積分的話，只是一個公式，兩三個步驟即可。

現(xiàn)在微積分被廣泛應用于工程學，天文學，醫(yī)學，管理學，農業(yè)科學等各領域，是大學階段必修課程，已被普遍理解和接受，關于它的理論還應用還在持續(xù)被挖掘中，它的未來還會更加大放光彩。