基于無跡卡爾曼濾波的柔性自由翻滾目標姿態估計

趙梓良，孫晟昕，李文龍，魏 承

（1.哈爾濱工業大學航天學院，哈爾濱 150001；2.上海衛星工程研究所，上海 200240）

據NASA 官網統計，截至2019 年10 月，太空中已有約19 779 個直徑超過10 cm 的航天器和空間碎片［1］。毫無疑問，這些航天器和空間碎片會對未來的航天任務產生巨大的阻礙。因此，回收、清除這類失效航天器和空間碎片成為了時下在軌服務研究的熱點。上述空間碎片多為自由翻滾的非合作目標，與空間機器人之間不能夠進行信息通訊，目標在空間中的姿態變化不能夠準確預知，因此傳統的陀螺及星敏感器的測量方法不再適用于非合作目標消旋工況，需對于空間翻滾目標進行狀態估計［2］。

當前Kalman 濾波估計作為一種最優估計方法，已被廣泛應用于軍事和民用眾多領域，包括導航制導、雷達目標跟蹤、衛星定位和組合導航、工業智能機器人和故障診斷等。常用Kalman 濾波包括擴展卡爾曼濾波、無損卡爾曼濾波、容積卡爾曼濾波以及粒子濾波等。擴展卡爾曼濾波算法對非線性函數采用Taylor 級數一階或二階展開，忽略高階項做近似化處理，但在實際應用中有些非線性方程很難獲得或者不存在Jacobi 矩陣，因此該算法一般用于計算量小、維數少的非線性方程中。無損卡爾曼濾波算法是利用采樣方法來近似非線性分布。首先利用前一時刻確定的樣本集，通過傳遞函數、量測方程進行無損變換來對目標狀態下一時刻的后驗概率密度進行近似，未對非線性方程進行線性化處理，非線性方程的高階項得以保留。因此，該算法對目標的運動狀態估計相對更加準確、CPU 計算消耗小、避免角度姿態估計奇異問題，是目前非線性系統中常用的預測估計方法之一。

文獻［3］通過建立四元數姿態運動模型和航姿傳感器測量模型提出了一種適用于小型無人機姿態估計的四元數擴展Kalman 濾波算法，提高了無人機姿態的控制精度。文獻［4］結合非線性自適應算法、最小二乘法及傳統卡爾曼濾波器，設計了改進非線性自適應卡爾曼濾波器。文獻［5］利用卡爾曼濾波預測模型，研究橋梁變形監測點的布設，基于應變和撓度監測點的監測數據，預測其他相近位置的應變和撓度監測點的實測值。文獻［6］提出一種參數化非合作目標相對位姿和慣量參數估計方法，在不同噪聲水平下高精度有效地估計出非合作目標的相對位姿和慣量參數。文獻［7］在平方根容積卡爾曼濾波的基礎上，提出一種基于修正的自適應平方根容積卡爾曼濾波算法，該算法具有在目標狀態突變和量測非線性時的良好濾波性能和數值穩定性。文獻［8］提出了一種強跟蹤容積卡爾曼濾波算法，與標準無跡卡爾漫濾波和容積卡爾曼濾波算法相比，強跟蹤容積卡爾曼濾波算法能夠適應目標特征時變的情況，明顯改善了目標跟蹤的精度和穩定度。文獻［9］在傳統無跡卡爾曼濾波算法的基礎上，結合陀螺儀漂移誤差模型，使用誤差四元數的方法構建無跡卡爾曼濾波的狀態方程，選用加速度計和磁強計的輸出作觀測量構建無跡卡爾曼濾波的量測方程，并通過自適應調整量測噪聲協方差矩陣，減小非重力加速度對姿態解算的影響。文獻［10］基于衛星姿態運動方程設計了一種線性卡爾曼濾波器，將卡爾曼濾波器與簡化觀測器思想相結合，進一步提出一種采用簡化濾波器思想的姿態敏感器故障診斷律。文獻［11］提出了基于自適應容積粒子濾波的車輛狀態估計器，該算法狀態估計精度高于傳統無跡粒子濾波。文獻［12］利用慣性導航系統信息增量來對合成孔徑雷達導航信息延遲、非等間隔以及合成孔徑雷達量測不在慣性導航系統濾波離散間隔上所帶來的誤差進行修正。文獻［13?14］將神經網絡與卡爾曼濾波融合開展研究。但是上述研究均建立在狀態方程可以準確建立的情況下，針對柔性航天器，其動力學模型不確定性很大，其狀態方程很難精確建立，因此需要針對柔性航天器的狀態預測進行研究。

本文針對帶柔性帆板的自由翻滾目標進行無跡卡爾曼濾波算法設計，首先對軸對稱航天器進行姿態動力學分析，分析柔性航天器章動運動規律，以四元數和角速度為狀態量，在剛性假設下建立其離散形式的動力學模型。然后通過無跡卡爾曼濾波算法對帶柔性帆板的航天器進行運動狀態預測。最后，使用BP 神經網絡對柔性航天器動力學模型進行補償，改進無損卡爾曼濾波算法提高預測精度。仿真結果表明：使用神經網絡可以有效逼近柔性航天器的動力學模型，補償模型中的不確定性，從而提高無損卡爾曼濾波的預測精度。

1 自由翻滾目標章動運動學模型

1.1 軸對稱航天器姿態動力學

對于自由翻滾目標，采用四元數的形式描述其姿態運動，由非合作柔性航天器姿態動力學可得非合作柔性航天器姿態與角速度的關系為

用Lx、Ly、Lz表示軸對稱非合作柔性航天器各軸的轉動慣量，有Lx=Lz。以軸對稱非合作柔性航天器質心為參考點，依據動量矩定理，作用在軸對稱非合作柔性航天器質心上的外部力矩F可以用角動量Γ在時間維度的變化率來進行如下

1.2 柔性航天器動力學模型及章動運動分析

基于軸對稱航天器章動運動規律，建立帶柔性太陽帆板的軸對稱柔性航天器動力學模型（圖1），考慮其自由翻滾狀態，對柔性航天器章動運動進行仿真，針對不同彈性模量的柔性帆板，分析柔性帆板對航天器章動運動的影響規律。圖1 中，m系為參考坐標系，其中心點的位置在航天器外形輪廓的中心；b系為質心參照系，其中心點位置在非合作柔性航天器質量中心；fi系為柔性帆板的本體坐標系，其中f1系為沿著b系正y向分布的柔性帆板本體坐標系，f2系為沿著b系負y向分布的柔性帆板本體坐標系。

圖1 帶柔性帆板的軸對稱航天器Fig.1 Axisymmetric spacecraft with flexible sails

對于含雙側柔性帆板的柔性航天器建立拉格朗日方程

式中：下標i=1，2 代表兩側帆板；X為質心在慣性系下投影；M為整星質量，M=Mb+Mf1+Mf2，其中，Mb為航天器質量，Mfi為柔性帆板質量；ωai為柔性帆板相對中心剛體的相對轉速矢量；Pi描述了柔性帆板轉動和柔性非合作航天器本體平動之間的剛性耦合關系；Ftai描述了柔性帆板振動和柔性非合作航天器本體平動之間的柔性耦合關系；Rsai描述了柔性附件轉動同基體轉動之間的剛性耦合關系；Fsai和Fai分別描述了柔性帆板振動與柔性非合作航天器本體姿態、另一側柔性帆板之間振動的柔性耦合關系；Jfui為柔性帆板初始未變形時刻相對柔性帆板本體坐標系原點的轉動慣量；Ji表示整星相于非合作柔性航天器質心的轉動慣量在非合作柔性航天器質心坐標系下的投影，有

式中：rai為質心在非合作柔性航天器質心坐標系的投影；Ci為柔性帆板本體坐標系與非合作柔性航天器質心坐標系間的坐標變換矩陣；ρci為柔性帆板i的鉸接點指向其質心的位置矢量在柔性帆板本體坐標系fi下的投影。并且由于非合作柔性航天器系統質心特性，非合作柔性航天器本體平動和轉動之間的耦合抵消。

將式（8）展開寫成如下分量形式

表1 為柔性航天器的主要狀態參數。非合作柔性航天器以Y軸為主自旋軸，自旋軸角速度為1 rad/s，章動角為0.528°。

表1 柔性航天器狀態參數

Z軸方向的自旋角速度為慣性主軸角速度，當柔性帆板的彈性模量取值為0.5×108Pa 時，帆板振動頻率曲線如圖2 所示，柔性太陽帆板的振動收斂速度隨彈性模量的增大而變快，而柔性航天器的主自旋軸角速度隨著彈性模量的增加衰變程度變小，章動運動狀態下柔性太陽帆板的自旋軸角速度在運動初期由于柔性帆板的影響會出現振動現象，運動一段時間后航天器的質量特性不再發生變化，繼續按照上文推導的軸對稱航天器姿態動力學規律進行運動。

圖2 章動各軸角速度變化Fig.2 Change in angular velocity of each axis of chapter motion

2 基于UKF 的柔性航天器狀態預測

對章動狀態的柔性非合作航天器分別進行無跡卡爾曼濾波估計，采用相同的初始參數，對比兩種方法對處于章動狀態的柔性航天器的預測效果，驗證UKF 對柔性航天器狀態預測的精確度。進一步，構建BP 神經網絡補償柔性航天器動力學模型提高預測精度。

2.1 狀態方程與量測方程

狀態方程和量測方程為

2.2 無跡卡爾曼濾波算法

Sigma 點生成和權重系數計算方法為

式中：隨機變量的分布影響β取值，而β用于調整協方差的近似精度，隨機變量分布為高斯正態分布時，β=2。

UKF 算法的基本流程圖如圖3 所示。

圖3 無跡卡爾曼濾波算法流程Fig.3 Traceless Kalman filtering algorithm flow

2.3 基于神經網絡補償柔性航天器動力學模型

在實際應用中，針對含柔性帆板航天器動力學模型中存在的質量特性變化的問題，提出基于BP神經網絡的對狀態方程進行逼近的方法。引入BP神經網絡在線更新來對建模誤差、柔性振動問題等不確定項逼近，補償不確定項對狀態方程的干擾，提升濾波器的預測效果。

3 仿真分析

前文已經完成了模型和算法的建立，本節對章動柔性非合作航天器的運動狀態進行無跡卡爾曼濾波方法預測，首先對柔性非合作航天器的章動運動狀態和濾波器進行初始參數設計，如表2 所示。

表2 初始參數設計Table 2 Initial parameter design

根據上文設定的初始參數對柔性航天器的姿態四元數和角速度進行無跡卡爾曼濾波預測，仿真步長設定為0.1 s。由無跡卡爾曼濾波得到的四元數和角速度誤差如圖4 所示。

由圖4 可知，無跡卡爾曼濾波算法對柔性航天器的姿態四元數預測誤差值在10-3范圍內，在對角速度的預測上誤差較大，其中自旋軸的誤差最大，誤差值在運動初始階段達到了0.08 rad/s，運動穩定后誤差在10-2范圍內。

圖4 無跡卡爾曼濾波算法誤差Fig.4 Traceless Kalman filtering algorithm error

由于太陽帆板的柔性特性，運動初期航天器的轉動慣量會持續變化，導致濾波器在動力學模型不精確的情況下得到的預測誤差極大。采用神經網絡對帶有柔性帆板的航天器進行動力學模型逼近以減小預測誤差。使用基于大量訓練樣本學習后的神經網絡代替式（8）中的狀態函數，其余步驟不變，得到四元數、角速度誤差如圖5 所示。采用神經網絡補償不確定的動力學模型后，UKF 的四元數誤差穩定在9×10-4范圍內，角速度誤差穩定在1.5×10-3范圍內。根據上文分析可知，狀態傳播矩陣中對四元數的動力學模型描述很精確，而角速度對應的動力學模型由于轉動慣量的變化其精度很差。因此，采用神經網絡補償動力學模型后濾波器對角速度的預測精度提高了很多，而四元數的預測誤差并未有大幅度的下降。

圖5 基于神經網絡動力學模型補償的無跡卡爾曼濾波Fig.5 Traceless Kalman filtering based on neural network dynamics model compensation

4 結論

本文研究了基于無跡卡爾曼濾波算法的帶柔性帆板的自由翻滾目標姿態預測方法。以四元數和角速度為狀態量建立其離散形式的動力學模型，使用BP 神經網絡對柔性航天器動力學模型進行補償。使用在剛性假設條件下的動力學模型作為狀態方程時，姿態四元數預測誤差值在10-3范圍內，角速度預測誤差值最大達到了0.08 rad/s，使用神經網絡補償動力學模型的不確定項后，四元數誤差穩定在9×10-4范圍內，角速度誤差穩定在1.5×10-3范圍內。可以得出結論，使用神經網絡可以有效逼近柔性航天器的動力學模型，補償模型中的不確定性，大幅度地提高UKF 的預測精度。