內齒輪傳動嚙合齒面穩態溫度場分析

張躍明，張 皓，紀姝婷，周天宇

（北京工業大學先進制造技術北京市重點實驗室，北京 100124）

2K?V 行星傳動裝置采用兩級減速傳動組成，第一級減速為普通的外嚙合齒輪傳動，第二級減速采用內嚙合少齒差行星齒輪傳動。機構運動簡圖如圖1 所示。2K?V 行星減速器作為一種高精密減速器對傳動精度有很高的要求，此種情況下由熱變形引起的傳動誤差不可忽略，因此對輪齒進行熱分析有重要的意義。Mao［1］用解析法對齒輪進行熱分析。Domnita Fratila 和Adrian Radu［2］用有限元方法對齒輪加工過程中的穩態溫度進行仿真研究。薛建華等［3］精確計算了對流換熱系數，并利用限元和熱彈流結合的方法得到了齒輪本體溫度場的分布。羅彪等［4］引進混合介質特性參數的比例因子以修正系數得到了齒輪穩態溫度場和熱變形。龔憲生等［5］分析了齒廓修形參數對溫度場的影響。任敏強等［6］分析了不同工況下機車驅動系統用齒輪穩態溫度場的分布。Handschuh 等［7］對螺旋錐齒輪進行熱分析得到穩態溫度場以及隨時間和位置變化的溫度場。

圖1 機構運動簡圖Fig.1 Kinematic diagram of mechanism

本文取減速器中單個齒輪來進行分析。計算了不同嚙合位置處摩擦熱流量的數值以及各個表面的對流換熱系數；并通過將嚙合齒面劃分成若干條形區域，來實現摩擦熱流量的加載；采用有限元的方法，得到單齒的穩態溫度場分布。

1 齒輪穩態溫度場的理論基礎

齒輪系統在傳動過程中存在摩擦生熱和齒輪接觸面之間對流換熱這兩種狀態。當生熱和換熱趨于平衡時，達到穩定狀態，此時齒輪的溫度基本不變。處于穩定狀態之后的同一個齒輪上所有的齒，齒輪旋轉一周的時間內所經歷的過程是相同的［5］。所以取單個輪齒進行穩態溫度場研究。單齒模型如圖2 所示。

圖2 單齒模型Fig.2 Single gear model

式中：hn為輪齒端面與周圍潤滑油表面傳熱系數；hd為輪齒齒頂面與周圍潤滑油表面傳熱系數；hg為齒根面與周圍潤滑油表面傳熱系數。

2 輪齒工作面摩擦熱流量的計算

內齒輪和外齒輪在嚙合過程中，為了保證齒輪正常傳動，沿嚙合線方向上的速度是相等的。而在與嚙合線垂直方向上的速度是不相等的，產生相對滑動，齒輪間的摩擦熱由此產生。內外齒輪在不同嚙合點處的摩擦熱流量由齒輪間的平均接觸應力σk、相對滑動速度vk、摩擦因數f和熱能轉化系數γ共同決定的［3，8?9］。計算公式如下

2.1 摩擦因數

齒輪副在嚙合過程中主要存在以下幾個潤滑狀態：完全彈流潤滑、混合潤滑、邊界潤滑和干摩擦。

在實際傳動過程中，齒輪的大部分區域處于完全彈流潤滑狀態。但是當條件達不到時，會出現不能形成的完整的潤滑油膜，此時會發生由液體摩擦過度到干摩擦的情況，也就是邊界潤滑的情況的。綜上所述，混合潤滑是普遍存在的潤滑狀態。此時的摩擦因數可為［10］

2.2 嚙合點相對滑動速度

由于2K?V 型行星減速器的內齒輪一般是固定的，在傳動過程中外齒輪既有自轉運動又圍繞內齒輪中心進行公轉，此種情況下直接計算相對速度比較困難。根據相對運動原理，將第一級和第二級減速機構轉化為定軸傳動，各個輪齒之間的相對運動關系并沒有改變［11］。轉換輪系中，內齒輪和外齒輪的角速度分別為

如圖3 所示，B1B2為實際嚙合線長度，內外齒輪在K點接觸嚙合。N1、N2分別為外齒輪和內齒輪的曲率中心。ra1、ra2分別為外齒輪和內齒輪的齒頂高半徑；vK1、vK2分別為外齒輪和內齒輪嚙合點處的速度。嚙合點K到節點P的距離為

圖3 齒輪嚙合示意圖Fig.3 Schematic diagram of gear meshing

由于每一個不同的rk值都對應著漸開線上的一個嚙合點，所以由式（14）就可以得到任意嚙合位置處內外齒輪的相對滑動速度。如圖4 所示，當嚙合點在外齒輪的齒根和齒頂附近時，相對滑動速度比較大，節點處的相對滑動速度為零。

圖4 嚙合點處的相對速度Fig.4 Relative velocity at different meshing positions

2.3 齒面間的平均接觸應力

根據赫茲理論，內齒輪和外齒輪嚙合時可以等效為兩個圓柱體接觸，圓柱體的半徑為嚙合點處的等效曲率半徑［12］。齒輪的參數如表1 所示。

表1 齒輪基本參數Table 1 Basic parameter of gear

式中：T為外齒輪上的輸入轉矩；αK為接觸點處的壓力角；K為載荷分布系數，取0.5。

齒面平均接觸壓力為

2.4 嚙合周期內平均熱流量的計算

由式（7）所確定的摩擦熱流量在內外齒輪上不是均勻分布的。此時需要引入摩擦熱流量的分配系數β來確定內外齒輪上的熱流量。

式中ω2為行星輪角速度。

當齒輪系統達到穩態熱平衡狀態時，把內、外齒輪在嚙合面上實際接觸時間內產生的熱流量等效為一個嚙合周期內的平均值。內、外齒輪上的平均熱流量為

利用MATLAB 繪制外齒輪摩擦熱流量分布曲線，如圖5 所示?？傮w來看，在齒根附近的摩擦熱流量比較大。

圖5 外齒輪摩擦熱流量的分布Fig.5 Distribution of frictional heat flux at external gear

3 輪齒表面對流邊界的分析

當齒輪系統達到穩態溫度時，潤滑油的溫度為70°時潤滑油的性能參數如表2 所示。

表2 潤滑油參數Table 2 Parameter of lubricant oil

根據表面在輪齒的部位不同，對流換熱系數的計算分為以下3 種情況［5，13］。這里不再過多贅述。

3.1 端面對流換熱

經計算此種工況下端面的雷諾數Re=2 673.1，潤滑油在端面的流動屬于層流，輪齒端面的對流換熱系數hn可以表示為

3.2 齒廓面對流換熱

由于內外齒輪嚙合的時間非常短，大部分時間齒廓的工作面和非工作面的散熱情況是相同的，故認為兩個面的對流換熱系數相等。齒面的對流換熱系數為

式中d為外齒輪節圓直徑。

3.3 齒根面和齒頂端面對流換熱

齒根面和齒頂端面均可以等效成細長平板，故它們的對流換熱系數可以認為是相等的。

4 齒輪溫度場有限元分析

利用Creo 軟件繪制齒輪的三維模型，并切下單獨一個輪齒導入Workbench，并將工作齒面沿齒寬方向劃分成若干長條形區域，如圖6 所示。

圖6 條形區域的劃分Fig.6 Division of the strip area

4.1 摩擦熱流量的加載

經過上面分析可知，摩擦熱流量的值隨嚙合點位置的不同沿著漸開線方向變化，而沿齒寬方向是不變的。所以，在加載熱流量的時候可以取每個長條區域的兩個端點處的摩擦熱流量的平均值，將此平均值作為這個條形區域的熱流量來加載［14］。

4.2 有限元結果分析

當條形區域的數量分別為15、30、40、60 時，輪齒的穩態溫度場如圖7 所示。由仿真結果可知，齒輪的穩態溫度場沿齒寬方向是對稱分布的，沿齒寬方向上中間位置溫度高，兩側溫度比較低。這是由于齒輪兩側的散熱情況比較好且中間位置摩擦生熱量比較大。

圖7 齒輪穩態溫度場Fig.7 Steady-state temperature field of gear

4.3 條形區域的數量對結果的影響

分別取條形區域的數量為10、15、30、40、50、60 時齒輪的最高溫度和最低溫度，如圖8 所示。分析可知，隨著條形區域數量的增多齒輪穩態溫度場的分布大致不變，當劃分的條形區域數量大于50份時，最低溫度和最高溫度變化幅度越來越小，基本趨于穩定。所以，以劃分份數為60 的情況作為輪齒的穩態溫度場。

圖8 不同劃分份數的溫度變化Fig.8 Temperature variation of different divisions

取條形區域數量為60 的輪齒進行分析，在嚙合面上沿漸開線方向選取3 條路徑線，如圖9 所示，每條路徑上點的溫度分布如圖10 所示。

圖9 齒面上的3 條路徑Fig.9 Three paths on tooth surface

圖10 沿漸開線方向的溫度分布Fig.10 Temperature distribution alone involute

由圖10 可知，3 條曲線的走勢一致。說明沿著漸開線方向，不同位置的溫度變化趨勢是一樣的且最高溫度出現在齒根靠近節圓的部分。

5 結論

（1）摩擦熱流量的值和嚙合點的位置有關，并不是恒定不變的值。當齒輪處于熱平衡狀態時，溫度沿著齒寬方向是對稱分布的，兩側溫度低，中間溫度高。

（2）劃分的條形區域數量越多，結果越精確。當數量達到50 時，繼續增加劃分的數量，齒輪的溫度場基本不變。

（3）在齒寬方向上的不同位置，溫度沿著漸開線方向的變化趨勢是一致的，最高溫度出現在齒根附近。