在比較中促進學生數學理解

袁綺蓉

一、利用數學比較，啟發學生數學理解

鄭毓信教授在其著作《數學教師的三項基本功》中指出的基本功之一就是“善于比較與優化”。數學學習的過程就是學生數學理解的過程，而數學理解思維的啟動，也需要觸發點，數學比較可以引發學生的思考，吸引學生的注意力，使他們產生強烈的求知欲，成為學生數學理解思維啟動的“開關”。

（一）新舊連接處比較，促進遷移

很多新知都是在已有的知識經驗基礎上遷移、類比而來。所以可以從復習舊知自然引出新知，引導學生在新舊聯系處進行比較，讓學生在分析、比較、判斷、推理中構建新知，促進知識的遷移。

例如，在教學“認識一個整體的幾分之一”時，教師先出示一個桃子，讓學生指出它的；再出示一盤桃，也讓學生指出它的。然后引導學生比較兩個有什么聯系和區別。通過比較，學生打開了理解幾分之一意義的大門。

（二）變與不變間比較，突顯本質

例如，為了讓學生頭腦中形成對分數意義的理解，在教學設計時可以設計比較的過程。教師出示三幅圖，提出問題：“平均分成四份的每份物體的個數并不相同，為什么都用四分之一來表示呢？”然后引導學生比較：“為什么將同樣數量的8 個正方體表示為某一組圖形的各自其中的一份，表示的分數卻不相同？”這樣經過兩次比較，學生在變與不變中，領悟了分數的意義，讓學生在比較中把握了知識的本質。

（三）簡與繁比較，明確方法

例如，在教學“末尾有0 的兩位數乘以兩位數的乘法”時，教師找兩位學生板演（一繁一簡），引導學生比較他們的做法。

在比較中，學生發現兩種方法的結果相同，但其中一種明顯更簡單。再通過比較兩種方法的算理，對于末尾有0 的兩位數相乘的方法就清晰了。對本來簡單的筆算題，經過比較，學生不僅明白了“怎樣做”，對“為什么這樣做”也理解透了。

二、利用數學比較，激發學生數學理解

比較，簡單地說就是辨別異同，同時也是確定對象之間相同和不同的邏輯數學理解方法。教師可以用比較的方法，揭示事物的本質，理清聯系和區別，從而打開學生的視野和思路，找到解決問題的方法，讓學生的數學理解在比較中點燃，不斷發展。

（一）同中比異，追根究底

在小學數學教學中，經常有一些看似相同的題目，但實際卻完全不同。學生往往忽略或弄不清，把它們當作相同的情況來處理。這個時候，最好的方法就是把這些情況放在一起比較，在比較的過程中，于相同情況下發現不同之處，從而辨清知識的根源，把握關鍵。例如， “一根繩子長6 米，用去米，還剩多少米？”和 “一根繩子長6 米，用去，還剩多少米？”這樣有針對性地對比，幫助學生同中找異、溯本追源，清楚地看到知識的生長點。

（二）異中比同，深化理解

數學概念、結論的獲取往往需要從眾多表象中抽取，運用比較，能幫助學生透過各種形色各異的外表，直窺問題的核心。在比較中，問題的外層屬性逐漸剝落，知識的共性逐漸顯現，學生對于問題的理解也更加深入。

例如，在教學工程問題時，先出示“運120 噸水泥，甲車要運10 小時，乙車要用15 小時，兩車合運要幾小時？”再替換條件。在這個過程中，學生通過比較，更加直觀地發現，雖然情境變了，但隱含的數量關系卻相似，解題的思路更是相同。在比較中，學生在異中找到了同，對于工程問題的核心特征和解題思路、方法逐漸明晰，自主建立解決這類問題的策略。

（三）同中比優，促進優化

面對相同的問題，不同的學生會產生不同的數學理解活動，從而產生不同的解決問題的方法和策略。在這些不同的方法中，數學理解的層次也是不同的。此時讓學生進行比較，不僅能再次剖析自己的方法，更能從別人的方法中得到啟發，不斷優化自己的方法。例如，二年級下學期教學“統計”知識點時，剛開始學生收集數據的方法很多，在比較中，學生實現了對數學理解的突破，達到了對方法的優化選擇。

三、利用數學比較，放飛學生數學理解

數學理解能力是各種能力的核心，學生的數學理解能力與數學理解水平的提高，往往要借助數學理解的精確性、深刻性與靈活變通性等數學理解品質來實現。比較是一切數學理解的基礎，引導學生充分地運用比較的方法去認識、分析和處理問題，有意識地培養良好的數學理解品質，是提高數學教學效果的重要途徑。在比較中，學生的數學理解經歷了從啟動到開闊，到靈活，到深入，到提升的過程。數學理解放飛了，就有了真正翱翔的天空。

（一）混淆處比較，讓數學理解精確

學生多次解決某種思想或問題，會留下深刻的印象，形成一定的模式。當再次遇見相同問題時，首先考慮的就是用這種模式解題。但其實多數時候問題已發生改變，而學生渾然不知。知識的差異性會被它的相似性和相關性所掩蓋，所以學生經常發生混淆。因此，教師引導學生在知識的混淆處進行比較，不僅有利于區別各自的內涵，也有利于通過建立知識之間的聯系，提高數學理解的精確性。例如，學生學習了長度單位以后，在應用這些長度單位的時候，特別是毫米、厘米和分米這幾個比較接近的單位，常常出現混淆。針對這樣的情況，通過不斷地比較，可以讓學生對這些長度單位形成準確認知并有效運用。在不同維度的比較中，學生的數學理解更加精確。

（二）探究處比較，讓數學理解周密

數學實踐證明，學生解決數學問題時出現困難或錯誤，原因往往是理解不到位，而理解的不到位就是因為學生對于知識的體驗和感悟不到位。在學生探究活動的時候，讓學生對照比較，能促使學生真正把握知識要點，數學理解也會在逐層的抽絲剝繭中變得周密。例如，在教學“一一列舉”時，讓學生感受用“列舉”的策略解決問題，而不是雜亂地找，要突出“有序”，進行有條理的思考。層層的比較，有效實現了對“列舉策略”的意義建構，數學理解也愈加周密了。

（三）聯系處比較，讓數學理解開闊

小學數學中，許多知識是相通的。當遇到問題時，教師要引導學生多角度、多方位進行思考、比較，找出它們的微妙變化，構建知識間的聯系并融會貫通，擴大知識面。通過這樣的比較，學生的數學理解也會不斷地開闊起來。例如，數學中最常見的一題多解，就可以在不同解法的比較中培養學生數學理解的靈活性和開放性，使學生的數學理解不斷開闊。

（四）爭議處比較，讓數學理解深刻

在教學中，學生對知識的獲取是逐步深入的，甚至是在不斷的爭議中，愈加迫近概念的核心和本質。設計具有思考性的問題情境，讓學生進行觀察和比較，學生在比較中能點燃數學理解的火花，激發對知識的探究欲望，提高數學理解的層次。例如，在讓學生探究三角形三邊關系時，對于用小棒沒有圍成三角形的小組，教師指導他們從現象中找原因：“什么樣的情況下三根小棒圍不成三角形？”在這個探究活動的過程中學生在爭議中比較。學生的數學理解從具體形象數學理解引向抽象邏輯數學理解，進而更在小組交流匯報中，通過比較發現來填補自己認知的空隙，提升數學理解的能力和品質。在整個過程中，在爭議比較中，學生親歷了數學知識的探究與發現，更重要的是接受了一次嚴密的邏輯和數學理解的訓練，數學理解走向深入。

總之，“比較”是學生數學理解的頓悟、辨別、飛躍，數學需要比較，學生需要學會運用比較，并在比較中發現異同、揭示規律、構建知識體系，促進自身數學理解能力的發展，讓學生的數學理解閃耀數學素養的光芒。