申海東

(北京市北京中學 100028)

日常教學中，我們經常會碰到一些用常規方法求解難度較大的問題.這時，如果構造適當的圖形來給予輔助，往往能促使問題轉簡，使問題中原來隱晦不清的關系和性質在新構造的環境中清晰地展現出來，從而簡捷地解決問題.這就是我們常說的數形結合，我國著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事非.”從這句話中也可以品出數形結合是非常重要的一種數學思想.在數形結合中，圓是我們經常構造的圖形.圓是中學數學中一種簡單卻又重要的曲線，也是近幾年考試的熱點內容，“圓”與“數”能非常美妙的結合.我們構造圓進行解題的關鍵是要善于發現隱含于題中與圓有關的信息,抓住目的特征圖形，拓寬解題思路.本文從一些典型的實例出發，介紹構造圓解題的幾種常見情形，供大家參考.

在學習過程中，有一類幾何問題，表面上是直線型問題，但利用直線型的有關知識解答很復雜，甚至有的找不到解決問題的思路.如果對題設進行認真分析，挖掘題中蘊含的與圓相關聯的條件，構造圓，利用圓有關的性質，化繁為簡，化難為易.下面舉例說明構造圓的基本模型.

1 含有2倍角關系或特殊角45°

如果題目的條件中，有一個角是另一個角的2倍或者有一個銳角是45°時，在直接求解不好解決的時候，可以構造輔助圓，借助圓的相關性質嘗試解決問題，其依據是在同圓或等圓中，圓心角是圓周角的2倍.

問題1如圖1，在△ABC中，AD⊥BC于點D，∠BAC=45°，BD=3，CD=2.求△ABC的面積.

圖1

分析只要求出△ABC的高AD即可求解本題，而常規的方法不是很好求解，故利用∠BAC=45°這個條件構造輔助圓.∠BAC為圓周角，那么圓心角∠BOC=90°，這時△BOC為等腰直角三角形.

2 含有定長和定角

如果題目中有固定線段AB以及AB所對的∠C大小固定，可以將線段看成圓的弦，定角可以看做弦所對的圓周角，利用同弧所對的圓周角相等，可知點C并不是唯一固定的點，點C是動點，構造輔助圓解決有關問題，如圖2.

圖2 圖3

問題1如圖3，點A與點B的坐標分別是(1,0)，(5,0)，點P是該直角坐標系內的一個動點.

(1)使∠APB=30°的點P有無數個.

(2)若點P在y軸上，且∠APB=30°，求滿足條件的點P的坐標.

分析(1)動點P，定線段AB，定角∠APB=30°，只需點P在過點A、點B的圓上，且弧AB所對的圓心角為60°即可，顯然符合條件的點P有無數個.

3 含有共頂點的三條等線段

如果題目中的條件中有“OA=OB=OC”這樣的條件時，說明A、B、C三點共圓，可構造以O為圓心，OA為半徑的圓，依據：圓的定義，到定點距離等于定長的點的集合是圓.

問題3如圖4，在△ABC內有一點D，使得DA=DB=DC，若∠DAB=20°，則∠ACB=0°.

圖4

分析因為DA=DB=DC，故A、B、C三點在⊙D上，構造輔助圓.

由題知：∠DAB=∠DBA=20°，所以∠ADB=140°，

故∠ACB=70°.

問題5如圖5，在正方形ABCD中，連接BD，點E為CB邊的延長線上一點，點F是線段AE的中點，過點F作AE的垂線交BD于點M，連接ME、MC.

圖5

(1)根據題意補全圖形，猜想∠MEC與∠MCE的數量關系并證明；

(2)連接FB，判斷FB、FM之間的數量關系并證明.

分析這是一道幾何綜合題，以正方形為背景探究角與角、線段和線段之間的數量關系，綜合性比較強，需要學生應用題目中所有的信息，利用前面的結論，并能夠將題目中的條件轉化成相關的知識再解決.

(1)由正方形的對稱性可知：AM=CM；由線段垂直平分線的判定定理可知：AM=EM，所以AM=EM=CM.

(2)構造⊙M，連接AC，∠AME=2∠ACE=90°，可知△AME是等腰直角三角形，再結合等腰三角形的性質和直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，易證FB=FM.題目中雖然沒有直接給出定點定線段，但是我們可以利用題中的信息得到相應的結論，在中考的綜合題中，經常利用輔助圓的思想找到角之間的關系，可以簡化證明過程.

4 四點共圓

如果題目中涉及到四邊形ABCD，且四邊形ABCD中一組對角互補或者四邊形的外角等于內對角，或者如圖6，已知∠1=∠2，∠3=∠4，我們就說A、B、C、D四點共圓，可以利用圓的性質定理解決相關問題.

圖6

問題5如圖7，等邊△ABC中，AB=6，P是AB上一動點，PD⊥BC，PE⊥AC，則DE的最小值為多少？

圖7

由此可見題中的條件滿足上述要求，構造輔助圓，會收到事半功倍的效果.利用圓將動態問題靜態化，將復雜問題簡單化，將直線形問題曲線化，借助圓的相關性質解決問題.