巧用“圓”解題

申海東

(北京市北京中學(xué) 100028)

日常教學(xué)中，我們經(jīng)常會(huì)碰到一些用常規(guī)方法求解難度較大的問(wèn)題.這時(shí)，如果構(gòu)造適當(dāng)?shù)膱D形來(lái)給予輔助，往往能促使問(wèn)題轉(zhuǎn)簡(jiǎn)，使問(wèn)題中原來(lái)隱晦不清的關(guān)系和性質(zhì)在新構(gòu)造的環(huán)境中清晰地展現(xiàn)出來(lái)，從而簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題.這就是我們常說(shuō)的數(shù)形結(jié)合，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非.”從這句話(huà)中也可以品出數(shù)形結(jié)合是非常重要的一種數(shù)學(xué)思想.在數(shù)形結(jié)合中，圓是我們經(jīng)常構(gòu)造的圖形.圓是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種簡(jiǎn)單卻又重要的曲線(xiàn)，也是近幾年考試的熱點(diǎn)內(nèi)容，“圓”與“數(shù)”能非常美妙的結(jié)合.我們構(gòu)造圓進(jìn)行解題的關(guān)鍵是要善于發(fā)現(xiàn)隱含于題中與圓有關(guān)的信息,抓住目的特征圖形，拓寬解題思路.本文從一些典型的實(shí)例出發(fā)，介紹構(gòu)造圓解題的幾種常見(jiàn)情形，供大家參考.

在學(xué)習(xí)過(guò)程中，有一類(lèi)幾何問(wèn)題，表面上是直線(xiàn)型問(wèn)題，但利用直線(xiàn)型的有關(guān)知識(shí)解答很復(fù)雜，甚至有的找不到解決問(wèn)題的思路.如果對(duì)題設(shè)進(jìn)行認(rèn)真分析，挖掘題中蘊(yùn)含的與圓相關(guān)聯(lián)的條件，構(gòu)造圓，利用圓有關(guān)的性質(zhì)，化繁為簡(jiǎn)，化難為易.下面舉例說(shuō)明構(gòu)造圓的基本模型.

1 含有2倍角關(guān)系或特殊角45°

如果題目的條件中，有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍或者有一個(gè)銳角是45°時(shí)，在直接求解不好解決的時(shí)候，可以構(gòu)造輔助圓，借助圓的相關(guān)性質(zhì)嘗試解決問(wèn)題，其依據(jù)是在同圓或等圓中，圓心角是圓周角的2倍.

問(wèn)題1如圖1，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠BAC=45°，BD=3，CD=2.求△ABC的面積.

圖1

分析只要求出△ABC的高AD即可求解本題，而常規(guī)的方法不是很好求解，故利用∠BAC=45°這個(gè)條件構(gòu)造輔助圓.∠BAC為圓周角，那么圓心角∠BOC=90°，這時(shí)△BOC為等腰直角三角形.

2 含有定長(zhǎng)和定角

如果題目中有固定線(xiàn)段AB以及AB所對(duì)的∠C大小固定，可以將線(xiàn)段看成圓的弦，定角可以看做弦所對(duì)的圓周角，利用同弧所對(duì)的圓周角相等，可知點(diǎn)C并不是唯一固定的點(diǎn)，點(diǎn)C是動(dòng)點(diǎn)，構(gòu)造輔助圓解決有關(guān)問(wèn)題，如圖2.

圖2 圖3

問(wèn)題1如圖3，點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是(1,0)，(5,0)，點(diǎn)P是該直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)使∠APB=30°的點(diǎn)P有無(wú)數(shù)個(gè).

(2)若點(diǎn)P在y軸上，且∠APB=30°，求滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

分析(1)動(dòng)點(diǎn)P，定線(xiàn)段AB，定角∠APB=30°，只需點(diǎn)P在過(guò)點(diǎn)A、點(diǎn)B的圓上，且弧AB所對(duì)的圓心角為60°即可，顯然符合條件的點(diǎn)P有無(wú)數(shù)個(gè).

3 含有共頂點(diǎn)的三條等線(xiàn)段

如果題目中的條件中有“OA=OB=OC”這樣的條件時(shí)，說(shuō)明A、B、C三點(diǎn)共圓，可構(gòu)造以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓，依據(jù)：圓的定義，到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是圓.

問(wèn)題3如圖4，在△ABC內(nèi)有一點(diǎn)D，使得DA=DB=DC，若∠DAB=20°，則∠ACB=0°.

圖4

分析因?yàn)镈A=DB=DC，故A、B、C三點(diǎn)在⊙D上，構(gòu)造輔助圓.

由題知：∠DAB=∠DBA=20°，所以∠ADB=140°，

故∠ACB=70°.

問(wèn)題5如圖5，在正方形ABCD中，連接BD，點(diǎn)E為CB邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)F是線(xiàn)段AE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作AE的垂線(xiàn)交BD于點(diǎn)M，連接ME、MC.

圖5

(1)根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，猜想∠MEC與∠MCE的數(shù)量關(guān)系并證明；

(2)連接FB，判斷FB、FM之間的數(shù)量關(guān)系并證明.

分析這是一道幾何綜合題，以正方形為背景探究角與角、線(xiàn)段和線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系，綜合性比較強(qiáng)，需要學(xué)生應(yīng)用題目中所有的信息，利用前面的結(jié)論，并能夠?qū)㈩}目中的條件轉(zhuǎn)化成相關(guān)的知識(shí)再解決.

(1)由正方形的對(duì)稱(chēng)性可知：AM=CM；由線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定定理可知：AM=EM，所以AM=EM=CM.

(2)構(gòu)造⊙M，連接AC，∠AME=2∠ACE=90°，可知△AME是等腰直角三角形，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊中線(xiàn)等于斜邊一半，易證FB=FM.題目中雖然沒(méi)有直接給出定點(diǎn)定線(xiàn)段，但是我們可以利用題中的信息得到相應(yīng)的結(jié)論，在中考的綜合題中，經(jīng)常利用輔助圓的思想找到角之間的關(guān)系，可以簡(jiǎn)化證明過(guò)程.

4 四點(diǎn)共圓

如果題目中涉及到四邊形ABCD，且四邊形ABCD中一組對(duì)角互補(bǔ)或者四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角，或者如圖6，已知∠1=∠2，∠3=∠4，我們就說(shuō)A、B、C、D四點(diǎn)共圓，可以利用圓的性質(zhì)定理解決相關(guān)問(wèn)題.

圖6

問(wèn)題5如圖7，等邊△ABC中，AB=6，P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，PD⊥BC，PE⊥AC，則DE的最小值為多少？

圖7

由此可見(jiàn)題中的條件滿(mǎn)足上述要求，構(gòu)造輔助圓，會(huì)收到事半功倍的效果.利用圓將動(dòng)態(tài)問(wèn)題靜態(tài)化，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，將直線(xiàn)形問(wèn)題曲線(xiàn)化，借助圓的相關(guān)性質(zhì)解決問(wèn)題.