相似三角形中的求值問(wèn)題

王東東

(山東省新泰市泉溝鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 271207)

相似三角形是在初中平面幾何中一個(gè)非常重要的內(nèi)容，包括相似三角形的定義、判定、性質(zhì)等，涉及特殊的直角三角形相似的判定及直角三角形的射影定理，是平面幾何的重要知識(shí)點(diǎn)與考點(diǎn)之一.在破解一些相關(guān)的平面幾何求解問(wèn)題中，巧妙借助相似三角形的相關(guān)知識(shí)來(lái)處理，經(jīng)常可以合理轉(zhuǎn)化，化難為易，出奇制勝.下面就結(jié)合幾類常見(jiàn)的相似三角形中的求值問(wèn)題，緒如計(jì)數(shù)、長(zhǎng)度、比值、面積以及綜合應(yīng)用等相關(guān)的求值加以實(shí)例剖析.

1 計(jì)數(shù)問(wèn)題

例1如圖所示，在△ABC中，ED∥AB，F(xiàn)G∥AC，PH∥BC，相應(yīng)的交點(diǎn)分別為A1、B1、C1，則圖中與△ABC相似的三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)___個(gè).

圖1

分析根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，要判斷圖中與△ABC相似的三角形，可以從平行的條件出發(fā)，找到對(duì)應(yīng)的角相等，從而得以確定兩三角形相似.

解析由于PH∥BC，那么∠APH=∠B，而∠A是公共角，則△APH∽△ABC，同理可以判斷△BGF∽△ABC，△CED∽△ABC，進(jìn)一步，F(xiàn)G∥AC，那么∠PFC1=∠A，又∠FPC1=∠B，△FPC1∽△ABC，同理可以判斷△DGA1∽△ABC，△HEB1∽△ABC，而ED∥AB，那么∠FPC1=∠A1B1C1，而∠FPC1=∠B，則∠A1B1C1=∠B，同理可得∠A1C1B1=∠C，則△A1B1C1∽△ABC，所以圖中與△ABC相似的三角形的個(gè)數(shù)共有7個(gè)，故填答案：7.

點(diǎn)評(píng)三角形相似的判定關(guān)鍵是結(jié)合三角形相似的性質(zhì)加以分析，在求解三角形相似的問(wèn)題的過(guò)程中，往往是在熟練掌握相應(yīng)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，結(jié)合直觀圖形加以正確分析.

2 長(zhǎng)度問(wèn)題

例2如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，BE=CE，MN=1，線段MN的兩端在CD、AD上滑動(dòng)，當(dāng)DM=____時(shí)，△ABE與△DMN相似.

圖2

分析因?yàn)閮蓚€(gè)三角形都是直角三角形，故它們相似當(dāng)且僅當(dāng)兩直角邊之比相等，據(jù)此可列一個(gè)方程，再結(jié)合MN=1列方程組，解此方程組得DM的值.

點(diǎn)評(píng)本題是探求兩個(gè)三角形相似的條件問(wèn)題，實(shí)質(zhì)是以三角形相似為條件，求線段長(zhǎng)度問(wèn)題，關(guān)鍵是找到相應(yīng)的比值并結(jié)合相關(guān)條件加以求解.特別在實(shí)際求解時(shí)，要考慮全面.比如本例中就容易忽視其中的一種情形.

3 比值問(wèn)題

圖3 圖4

分析通過(guò)作出輔助線OD，根據(jù)兩直角三角形△ADO與△ACB相似來(lái)建立關(guān)系式，結(jié)合題目條件來(lái)證明對(duì)應(yīng)的等式成立.

證明：連接OD，因?yàn)锳B和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D，C，

所以∠ADO=∠ACB=90°，

又因?yàn)椤螦=∠A，所以Rt△ADO∽R(shí)t△ACB，

又BC=2OC=2OD，故AC=2AD，

故填答案：2.

點(diǎn)評(píng)結(jié)合輔助線的構(gòu)造，利用直角三角形的相似以及相關(guān)條件加以確定相關(guān)的求值問(wèn)題.對(duì)于平面幾何中的求值問(wèn)題，關(guān)鍵是正確通過(guò)相關(guān)的輔助線引入，加以相應(yīng)條件的變換與轉(zhuǎn)移，從而達(dá)到求值的目的.

4 面積問(wèn)題

例4如圖所示，在四邊形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，EC∥AD，DE∥BC，若S△BEC=1，S△ADE=3，則S△CDE的值為_(kāi)___.

圖5

分析根據(jù)平行線的性質(zhì)轉(zhuǎn)化三角形的面積比為對(duì)應(yīng)的線段比，結(jié)合平行線所確定的角的關(guān)系證明△BEC∽△EAD，結(jié)合比例性質(zhì)轉(zhuǎn)化為面積之間的比值即可求解S△CDE的值.

解析由于EC∥AD，

可得S△DCE∶S△ADE=EC∶AD，

而DE∥BC，則有S△BCE∶S△CDE=BC∶ED，

又因?yàn)椤螮CB=∠DEC=∠ADE，∠BEC=∠EAD，

所以△BEC∽△EAD，

可得EC∶AD=BC∶ED，

即S△DCE∶S△ADE=S△BCE∶S△CDE，

點(diǎn)評(píng)通過(guò)平行線的性質(zhì)，結(jié)合相似三角形中的對(duì)應(yīng)邊的比例關(guān)系與相應(yīng)的三角形的面積的比例關(guān)系的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用來(lái)分析與處理問(wèn)題.

5 綜合應(yīng)用問(wèn)題

例5如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E是BC上的點(diǎn)，EF⊥AE交CD于F.試猜想：點(diǎn)E在什么位置時(shí)，△ADF的面積最小？最小面積是多少？并證明你的結(jié)論.

圖6

分析要猜想對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置，關(guān)鍵是結(jié)合相應(yīng)的幾何圖形與關(guān)系式加以分析判斷，巧妙引入未知數(shù)，通過(guò)建立有關(guān)面積的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)判斷對(duì)應(yīng)的幾何問(wèn)題.

解析當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，△ADF的面積最小，最小面積是6.

下面證明以上猜想的結(jié)論：

設(shè)BE=x，那么EC=4-x

由于四邊形ABCD是正方形，∠AEF=90°，

故當(dāng)x=2時(shí)，即E是BC的中點(diǎn)時(shí)，△ADF的面積最小，最小面積是6.

點(diǎn)評(píng)在平面幾何問(wèn)題中，往往可以有機(jī)地結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)等相關(guān)問(wèn)題，利用函數(shù)等相關(guān)問(wèn)題的性質(zhì)來(lái)處理與解決對(duì)應(yīng)的平面幾何問(wèn)題，這是一種非常巧妙與有效的辦法.關(guān)鍵是正確加以平面幾何問(wèn)題的代數(shù)化，并加以正確的分析與判斷.

相似三角形及其應(yīng)用是在初中平面幾何的基礎(chǔ)知識(shí)上的進(jìn)一步拓展與提升，特別在一些平面幾何的求值問(wèn)題中，合理借助輔助線與相似三角形的構(gòu)造，通過(guò)對(duì)應(yīng)的定義、判定、性質(zhì)等一系列的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，有效培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力、圖形直觀能力與創(chuàng)造思維能力，成為歷年中考數(shù)學(xué)命題中的一大熱點(diǎn)問(wèn)題，要引起高度重視.