從中考題探索初高中數學知識的銜接
——從2021年廣東省中考數學試題談起

陳曉嵐

(廣東省佛山市順德區龍江豐華初級中學 528000)

1 引言

2021年廣東省數學中考試題公布之后，引起了教研人員、一線教師及數學愛好者的熱議.2021年中考與高中銜接的內容非常多，筆者認為，中考數學試題撇去偏、難、題量大等問題，更重要的是給我們一個明確的方向——中考將與高中有更緊密的銜接.本文選取2021年廣東省中考題第9題、第10題、第23題，從解題思路、與高中數學知識的聯系及教學啟示等方面來進行剖析.

2 典例分析

2.1 試題分析

本題考查的是利用消元思想和二次函數知識求最值，但是因為考查的形式比較新穎，是以“海倫公式”為切入點，先入為主地給學生心理壓力，學生會因為不認熟悉這個公式而慌神，導致一下子沒有思路.再者，這道題難在沒有直接給出二次函數，需要學生代入消元才在根式中出現二次函數，所以消元與根式也給學生造成了解題阻礙.

2.2 與高中數學知識的聯系

例2 (2021年廣東省卷第10題)設O為坐標原點，點A、B為拋物線y=x2上的兩個動點，且OA⊥OB.連接點A、B，過O作OC⊥AB于點C，則點C到y軸距離的最大值( ).

2.3 試題分析

以下兩種解法是初中階段的解答方法，都是在函數背景中，利用相似三角形和隱圓的知識找到滿足條件的點C位置，從而解決本題.根據初中知識本題考查學生的作圖能力、數形結合思想，函數和幾何的綜合運用能力.

圖1 圖2

如果跳出初中知識的限制，這道題還有兩種解法，分別涉及基本不等式和對勾函數.而且這兩種方法會更加直接，不需要結合圖形，用純代數的方法即可解出.

解法3由解法1和解法2，均可以得到AB：

y=kx+1

①

②

解法4由解法1和解法2，均可以得到

AB：y=kx+1

①

②

圖3

2.4 與高中數學知識聯銜接分析

基本不等式的解法(解法三)是高中數學研究函數最值時常用的方法之一.筆者認為解答此題時利用解法三思路清晰，不過要涉及基本不等式和分類討論，對于初中生的要求較高，初中階段還沒有接觸基本不等式.另外，本解法涉及的分類討論，雖然在初中學生已經有接觸和體驗，但是學生對分類討論的掌握仍然有困難.更多的初中生未必會選擇這樣的解法來求解.相反地，在高中階段更多地使用這種接法.因此，從解法三中我們感受到初高中在思維層面銜接上還有一些差距.

例3 (2021年廣東省卷23)如圖，邊長為1的正方形ABCD中，點E為AD的中點.連接BE，將△ABE沿BE折疊得到△FBE，BF交AC于點G，求CG的長.

2.5 試題分析

解法一如圖5，延長BF交CD于H，連接EH.

本題解法一主要考查初中階段翻折變換，正方形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是求出DH，CH，利用平行線分線段成比例定理解決問題即可.

圖4 圖5 圖6

設BG=5x，BH=3x，GH=4x

2.6 與高中數學知識銜接分析

根據上述的題目分析，明顯可以看出，解法二比解法一所作的輔助線少、思維更加直接、所需的知識點少、證明過程簡潔等諸多好處，但是二倍角公式是高中數學三角函數的知識，初中只是接觸了簡單的銳角三角函數及簡單的誘導公式如cosα=sin(90°-α)，而且對于這個公式的使用也不多，僅僅處于了解的程度.所以，學生進入高中之后，一下子接觸眾多的二倍角公式、半角公式等，會明顯感到吃力.這也體現了初中和高中階段之間的知識層次及學習能力方面的的差距.