聯通與融合：理解性學習的教學策略

【摘 要】“理解性學習”是基于已有認知基礎的學習，強調從學生自身已有的知識、方法或活動經驗出發，完成對新信息意義本質的內化、聯系與建構。“等比數列前n項和”的發現路徑眾多，設計教學時可以從“理解性學習”的視角，聯通等比數列前n項和的發現史，融合人類數學發現和學生數學認知，將數學知識理解上升到數學思想方法，最終能上升到學生的數學文化。

【關鍵詞】理解性學習；數學文化；等比數列前n項和

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2022）59-0075-06

【作者簡介】陸賢彬，江蘇省靖江市教師發展中心（江蘇泰州，214599）主任，高級教師，江蘇省特級教師。

“等比數列的前n項和公式”是蘇教版選擇性必修第一冊中的內容，雖然《高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標”）中只有一段30余字的內容要求——“探索并掌握等比數列的前n項和公式，理解等比數列的通項公式與前n項和公式的關系”，但它卻是各類優課評比、專題研修課、課改觀摩課青睞的選題，研究者也圍繞它發表了許多論文。究其原因有二：其一，從認知層面看，“等比數列求和公式的發現”屬于策略性知識，而“掌握策略與方法”是思維需求的最高層次，其推導過程需要調動學生的策略意識、發揮學生的探索智慧［1］；其二，從實踐過程看，發現等比數列求和公式的路徑眾多，面對不同學習基礎的學生，教師可以選擇“錯位相減法”，搭建“Sn”與“Sn-1”的遞推關系式，構造“Sn”的等量關系式，采用“歸納—猜想—數學歸納法證明”合情推理方式、“歸納—猜想—綜合法證明”演繹推理方法等。

本文嘗試以“理解性學習”的視角，以“等比數列求和公式的發現”為載體，闡釋“聯通與融合”的教學設計策略。

一、高中數學理解性學習的意蘊

1.理解性學習

“理解性學習”是針對“機械性學習”“強制性學習”等實際教學的普遍性弊病提出的，并且是“素養指向的有效教學”的重要標志。最早明確提出“理解性學習”“理解性教學”的學者是美國哈佛大學教育學院的大衛·珀金斯教授，他倡導學習者根據自身已有的知識基礎對新信息意義本質進行內化、聯系與建構，并歸納出理解性學習教學設計的“四要素”框架：生成性主題、理解性目標、理解性實作、追蹤式評價。伴隨新課標的實施，“理解性學習”漸漸成為指向核心素養培養的學習范式。

2.高中數學理解性學習

近年來，呂林海、郭曉娜等眾多專家對“理解性學習”進行了深入研究，分別從文化的視角、學習科學、本體論意義及哲學解釋等維度做了系統詮釋［2］［3］，對“理解性學習”的“理解”內涵基本形成共識：所謂“理解”是從學生能否解釋、釋譯、應用、洞察、移情、自我認知六個維度進行考慮，強調“思維”是實現“理解”的關鍵，在設計課程時應以培養學生能力為導向，根據學生的素養發展需求來設計課程。

所謂高中數學理解性學習，是指高中學生在理解基礎上的數學學習。首先，高中數學理解性學習是以高中學生理解數學為目標指向的；其次，這樣的學習須真實地促成高中學生對數學的理解，而這兩個方面的結合從目標與效果兩個維度圈定了數學理解性學習的基本要義。高中數學理解性學習并非一種具體的數學學習方式，而更多的是一種體現促進學生高中數學核心素養發展的理念取向，包括從數學知識理解上升到數學思想方法，最終上升到學生的數學文化。

二、發現等比數列前n項和公式的路徑分析

1.“錯位相減法”直接推導與“已有認知”不聯通

在高中數學教材中，人教A版、北師大版、蘇教版和滬教版教材均采用“錯位相減法”進行等比數列前n項和公式的推導。“錯位相減法”是教師對推導過程的形象描述，教材中沒有明確命名，學生也難以精準提煉，往往由教師在完成推導后直接告知。顧名思義，首先，對于目標等式Sn=a1+a2+…+an，兩邊乘以q，得到一個關聯式qSn=a2+a3+…+an+an+1；其次，“錯位相減”，將兩式中帶“…”的一段（n-1項的和）相減，轉化為“0+0+…+0”（n-1個0的和），先“化不定為確定”，進而“化無限為有限”，整理可得（q-1）Sn=a1（qn-1）。“錯位相減法”是一種最高思維層次的策略性方法，本質上是應用等比數列定義，即an與an-1之間的遞推關系，對等式進行乘以“q”的恒等變形。其中蘊含著“由一生二，相鄰式相減”“化歸與轉化”“化繁為簡”等數學思想與數學方法。

在功利性教學的現實訴求下，大多的常態課往往采用教材提供的問題情境及“錯位相減法”，這樣的教學不僅可以“短平快”地獲得等比數列求和公式，而且能夠將探究的重點放在體悟“乘以q，錯位相減”中蘊含的數學思想。有的課堂還增加探究“除以q，錯位相減”；還有的課堂將等式Sn=a1+a1q+…+a1qn-1中的“常數a1”換成等差數列an，將問題轉換為：已知{an}是公差為d的等差數列，求Sn=a1+a2q+…+anqn-1。

因為騰出了大量思考時間用于公式的解釋、記憶、練習與應用，這種教學設計能夠增加課堂容量，但很難解釋學生的疑問：“老師，你怎么想到乘以q的呢？” 事實上，“錯位相減法”的直接告知，沒有達成“探索并掌握”的新課標要求，也讓學生錯失了探索發現的樂趣。

從“理解性學習”的視角看，一方面，從“理解”的解釋、釋譯、應用、洞察、移情、自我認知六個維度進行量度，經歷“錯位相減法”的推導和探究過程，學生能夠“解釋”方法，因為教師提煉的方法名稱“錯位相減”就已表明了其中的程序性知識；也能“釋譯”“應用”，探究并拓展求和的本質，解釋其中的方法與思想；但達不到“洞察”，既沒有從學生的知識基礎出發，也沒有從學生的方法基礎、經驗基礎出發，學生無法“洞察”其中的因果與邏輯；達不到“移情”，因為結論不是由學生自己發現的，故無法檢視自身思維的成就或缺陷。

另一方面，按照高中數學理解性學習的界定，這樣的學習僅達成了理解數學知識的目標，而沒有實現對數學的深度理解，即沒有將對數學知識的理解上升到對數學思想方法的理解，進而形成一種基于數學思維的文化理解。

2.聯通等比數列前n項和公式的發現史，體悟數學家式的理解

“數學文化”已然融入所有高中數學內容，將數學知識理解上升到數學思想方法、最終上升到學生的數學文化是高中數學理解性學習的核心價值。聯通數學思想的歷史發展，將數學史融合于數學課程、內化于教學內容、根植于學生內心，讓數學文化與數學知識和方法在課堂上一起生長。按照探索發展所基于的認知基礎，等比數列前n項和公式的發現史大概分為三個階段：搭建Sn與Sn-1的遞推關系式，猜想Sn的表達式，構造Sn的等量關系式。

第一階段，通過特殊等比數列和式的簡易變形搭建Sn與Sn-1的遞推關系式。大約公元前1650年，萊因德紙草書上載有等比數列7，72，73，74，75的求和問題，寫成一般形式，即數列7，72，…，7n 的前n項和為Sn=（1+Sn-1）×7，但未能給出求和的一般公式。［4］

第二階段，通過對特殊等比數列的歸納猜想，啟示探究未知數學的邏輯。大約公元前300年，塞流斯時期的泥版AO 6484上有一個1，2，22，…，29的求和問題，通過觀察與歸納寫成一般形式，即1+2+22+…+2n=2n+2n-1。［4］

第三階段，基于等比數列定義的恒等變換，構造Sn的等量關系式。①定義+等比定理。約公元前325年—前265年，古希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》第９卷中根據等比數列的定義，利用比例性質推導出了求和公式q-1=[a1（qn-1）Sn]。②定義+錯位相減。18世紀，歐拉（L. Euler，1707—1783）在《代數學基礎》（1822）中采用了我們所熟知的“錯位相減法”，構造Sn的等量關系式。③定義+掐頭去尾。與歐拉同時期的法國數學家拉克洛瓦（S. F. Lacroix，1765—1843）在《代數學基礎》（1812）中采用“掐頭去尾法”，他發現等比數列的前n項和減去首項，恰好是減去末項的q倍［5］：掐頭，Sn-a1=a2+a3+…+an；去尾，Sn-an=a1+a2+…+an-1。根據定義得[Sn-a1Sn-a1qn-1]=q，構造出Sn的等量關系式。［5］

代數學的發展經歷了兩個主要階段——修辭代數和符號代數，等比數列前n項和公式的發現史恰恰與此契合。歷史告訴我們，在沒有用字母表示數、一切均用文字來表達的修辭代數時代，人們很難得到等比數列求和的一般公式，在研究一些特殊數列的過程中，尋找等比數列前n項和Sn和前n-1項和Sn-1之間的關系是更為合理的想法，而“錯位相減法”“掐頭去尾法”是符號代數高度發展的產物。在18世紀，函數的概念已演變為“變量的對應關系”［6］，人們將數列作為特殊的函數，構造“Sn”與“n”的等量關系也是一種合理的選擇。

3.聯通認知基礎，融合知識的發生發展過程，追求自然而然地理解

“理解性學習”是基于已有認知基礎的學習，強調從學生已有的知識、方法或活動經驗出發，教師設計情境、提出問題、明確任務、組織活動、全程評價，學生完成對新信息意義本質的內化、聯系與建構。課堂教學時，教師聯通學生已有基礎，融合知識的發生與發展過程，追求“自然流淌”的境界，既能凸顯所學知識的必要性，又能激發學生的學習動機、促進數學理解。

新課標對數列內容的安排，遵循先一般后特殊的順序，先認知一般數列，再學習兩個重要的數列模型——等差數列和等比數列。所以，按照學生認知數列的先后順序，等比數列的前n項和的知識與方法基礎分別是：數列相鄰兩項的遞推關系可以表示數列；給出有限項的一列數，可以猜想數列的通項公式；“逆序相加”推導等差數列的前n項和；等比數列的遞推關系和通項公式；等等。下面，筆者從學生認知發生的視角出發，介紹幾種等比數列前n項和的發現路徑。

【發現1】聯通數列概念，嘗試中意外驚喜

從數列的前n項和概念入手。從問題解決的對象看，探索的目標是等比數列前n項和，即Sn=a1+a1q+…+a1qn-1，由前面習得的一般數列知識可知，等比數列前n項和也是一個數列：S1，S2，…，Sn。所以，“求等比數列前n項和”可轉化為“求新數列{Sn}的通項”，基于數列的遞推關系式，問題可進一步轉化為尋找Sn與Sn-1相鄰兩項的等量關系。對于Sn=a1+a1q+…+a1qn-1與Sn-1=a1+a1q+…+a1qn-2，要讓等式左邊的Sn與Sn-1產生聯系，通常對等式右邊的式子有兩種“化同”加工路徑。一是將右邊式子的項數“化同”，可得Sn-a1=qSn-a1qn；二是將右邊式子的最高次冪“化同”，可得Sn=a1+qSn-a1qn。

【發現2】聯通逆序相加，類比中“收之桑榆”

從類比等差數列求和入手。學生的認知基礎——“‘逆序相加法’推導等差數列前n項和”是方法基礎，“類比”是認知等差數列和等比數列的邏輯推理基礎。在前面研究等比數列定義、等比數列通項、等比數列性質時，學生已經習得了“類比”這種合情推理的基本活動經驗，通過“類比”能夠很輕松自然地探索出等比數列通項與性質。此時，教師可以引導學生進行“理解”——自我認知。等差數列與等比數列如何類比？“-”類比為“÷”；“+”類比為“×”；“乘”類比為“乘方”；“除”類比為“開方”；“累加法，求通項”類比為“累乘法，求通項”。教師繼續引導“逆序相加法，求前n項和應該類比什么呢？”引導學生自己克服思維定式，得出類比“逆序相乘法，求前n項積”的結論“求和”未成、收獲“求積”，加深了學生對類比推理的數學理解。

【發現3】聯通等比定義，探究中發現公式

從等比數列的定義入手。從學習科學的視角看，基于等比數列求和公式的學習目標，研究的對象是“等比數列”，“等比數列是什么”是學生需要提取的核心信息。等比數列的定義是學生上一課習得的，既是研究等比數列求和的知識基礎，也是學生能快速提取和加工的最近信息。如果提取的等比數列定義是[an+1an] = q，正是上文歐幾里得“定義+等比定理”發現路徑，定義結構是“商”的形式，恒等變化的技巧性強。一般學生很難想到將定義變形為“積”的形式，從an+1=qan出發，發現等比數列的求和公式。

事實上，等式an+1=qan中的“n”具有一般性，“一”就是“無限”，賦值n能得到系列具體等式：a2=qa1，a3=qa2，…，an=qan-1。將n-1個等式的左右兩邊分別相加，根據Sn=a1+a2+…+an，Sn-1=a1+a2+…+an-1可得a2+a3+…+an=q（a1+a2+…+an-1）。最終得出Sn-a1=qSn-1，將“Sn-1”用“Sn-a1qn-1”替換，整理可得Sn-a1=qSn-a1qn。

三、發現等比數列前n項和公式的教學實踐

等比數列前n項和公式的發現路徑很多，但具體到課堂，適合學生理解性學習的路徑往往只有一兩種。2020年9月，筆者參與該選題的泰州市級名教師“同課異構”教學評比活動，借班泰州市的一所三星高中進行授課，學生的基礎相對比較薄弱，學情也不熟悉。所以，筆者采用的是“歸納—猜想—證明”的發現路徑，課前確定的學習目標得到較好落實，具體教學設計簡錄如下。

1.學習目標

目標1：類比等差數列的學習內容，明確本課的學習任務，并能用數學語言表達出需要解決的問題，強化類比推理研究等差和等比數列的數學意識。

目標2：從等差數列求和的數學情境中，回歸數列求和的本質和方法，在探究等比數列求和的過程中，學會“特殊化”思想和“歸納、猜想、證明”的問題解決策略，發展邏輯推理、數學運算等數學核心素養。

目標3：經歷“分析法”和“綜合法”證明的過程，理解等比數列求和采用的“錯位相減法”，體會“求和”過程中化繁為簡的策略，能夠記憶和運用習得的公式，提高數學運算、數學模型等素養。

2.學習活動

【活動1】發現問題

師：在前面的學習中我們學習了等差數列的概念、通項、性質、前n項和，等比數列的概念、通項、性質。你覺得我們今天會學什么？

生1：今天該學習“等比數列的前n項和”。

師：這個同學說得對，學習等差、等比數列要學會“類比推理”，可以讓我們的“數列”學習變得更簡單、更有效。

【活動2】表達問題

師：數學問題常寫成“已知”“求”的形式，“求等比數列的前n項和”如何數學地表達？

生2：已知數列｛an｝是等比數列，首項為a1，公比為q，求Sn=a1+a2+…+an。

生3：可以具體些，已知數列｛an｝是等比數列，首項為a1，公比為q，求Sn=a1+a1q+…+a1qn-1。

生4：可以簡單些，因為生3提出的式子中每一項都有a1，可以將a1提取Sn=a1（1+q+…+qn-1），求1+q+…+qn-1即可。

師：生4說得很好，將生3提出的式子中的a1特殊化為“1”。

【活動3】探索問題

師：怎樣求Sn=1+q+…+qn-1？我們可以嘗試用等差數列求和的方法——“逆序相加”。

∵Sn=a1+a2+…+an-1+an

Sn=an+an-1+…+a2+a1

∴2Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+…+（an-1+a2）+（an+a1）

生5：對于上式，如果是等差數列，括號內是常數，可以進一步求和；但對于等比數列，括號內不是常數列，也不是其他特殊數列，進一步求和難以繼續。

師：求和的本質是將復雜的部分簡化，等差數列“逆序相加”得到的是一個常數列的和。有興趣的同學課后繼續思考：針對等比數列的求和，是不是不適用類比推理了？還是類比推理出錯了？

生6：可以求前n項的積。

∵Tn=a1·a2…an-1·an

Tn=an·an-1…a2·a1

∴T[2n]=（a1·an）·（a2·an-1）…（an-1·a2）·（an·a1）

師：生6突破了思維定式，“逆序相加法，求等差數列的和”應類比為“逆序相乘法，求等比數列的積”。現在我們回到等比數列的求和上來，怎么辦呢？

生7：我想“特殊化”，寫了幾個簡單的等比數列先試試，但還沒有得到一般結果。

師：很好，現在我們a1已經特殊化為“1”，還有哪些量可以特殊化？

生8：q退到1，Sn=1+1+1+…+1=n；q退到2，Sn=1+2+22+…+2n-1=？

生9：將n也特殊化，n取2、3、4、5……，可得1+2=3，1+2+4=7，1+2+4+8=15……結論：1+2+4+…+2n=2n-1。

師：請同學們猜想1+q+q2+…+qn-1= ？

（版面所限，猜想過程略）

結論：1+q+q2+…+qn-1= [qn-1q-1]

【活動4】解決問題

師：如何證明1+q+q2+…+qn-1= [qn-1q-1]？

生：首先，可采用分析法，簡分母：只要證明“（q-1）（1+q+q2+…+qn-1）=qn-1”；簡式子：只要證明：（q-1）Sn=qn-1；簡括號：即證明：qSn-Sn=qn-1。還可以使用綜合法，即錯位相減法（限于版面，略）。

以上是發現“錯位相減法”之前的課堂實錄，經歷歸納、猜想和分析法探索，自然而然地走到“乘q”后錯位相減。實踐中，4個活動共花費近30分鐘時間，教學現場學生的思維參與度高，氣氛很活躍，每個人都能體會到了探索發現的快樂。事實上，特殊化的數學思想、歸納猜想的數學推理，正是人們在對新信息意義建構初期的自然選擇，這也驗證“歷史發生原理”——學生的數學認知發展與人類的數學發現歷史具有相似性。

作為“理解性學習”的一次實踐，本課例的學生基礎較薄弱，故選擇“猜想+錯位相減法”與發現史相似的路徑，對于學習基礎較好的學生，則可以選擇更多的路徑進行探索與發現。總之，基于學生的認知基礎，聯通與融合數學文化，“為理解而教”“培養具有高水平數學素養的學生”應成為我們數學教學的時代追求。

【參考文獻】

［1］關雅南.“等比數列前n項和公式”PCK分析研究［J］.上海中學數學，2020（1-2）：69-71，89.

［2］呂林海，王愛芬.理解性學習與教學的思想源起與內涵論爭［J］.教育理論與實踐，2008（7）：53-59.

［3］郭曉娜.理解性學習的實踐策略： 基于哲學解釋學的視角［J］.全球教育展望，2016（2）：41-49，128.

［4］吳現榮，宋軍.HPM視角下的等比數列前n項和公式教學［J］.數學通報，2016（7）：28-31，34.

［5］李玲，汪曉勤.基于數學史的等比數列前n項和公式教學［J］.中學數學月刊，2019（11）：46-49.

［6］陸賢彬. 聯通發展歷史，理解函數概念［J］.新世紀智能，2020（98）：12-14.

*本文系江蘇省教育科學“十三五”規劃2016年度立項課題“‘簡中求道’數學教育思想的行動研究”（D/2016/02/304）及江蘇省教育科學“十三五”規劃2018年度重點課題“促進理解性學習的高中數學單元教學實踐研究”（B-b/2018/02/87）的研究成果。