方程思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的運(yùn)用

鐘志瑩

摘? 要：方程思想的學(xué)習(xí)與運(yùn)用是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，文章從方程思想的基本概念出發(fā)，結(jié)合案例和教學(xué)心得，從方程思想在代數(shù)和幾何的教學(xué)過程的運(yùn)用進(jìn)行分析，驗(yàn)證了方程思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要作用。

關(guān)鍵詞：方程思想，初中數(shù)學(xué)，教學(xué)過程

引言

方程思想是指從問題中的未知量入手，探求未知量和已知量之間的數(shù)量關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言，將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，適當(dāng)設(shè)元建立相應(yīng)個數(shù)的方程（組），實(shí)現(xiàn)問題與方程的相互聯(lián)系，進(jìn)而達(dá)到解決問題的目的。方程思想既是解決現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的重要思維方式，也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的核心內(nèi)容之一。教師在教學(xué)中要有意識地滲透方程思想，讓學(xué)生學(xué)會初步應(yīng)用。初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有極大的不同，小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以同一題型反復(fù)多練，或者反復(fù)操練各種題型，也就是說小學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以模仿為主，這樣容易束縛學(xué)生思維，不利于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)。中學(xué)新課程理念下的數(shù)學(xué)教學(xué)強(qiáng)調(diào)要重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，構(gòu)建良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。而方程思想是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的指導(dǎo)思想，更是基本策略。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中有效地運(yùn)用方程思想，能夠極大地優(yōu)化學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，易于理解掌握，還能夠指導(dǎo)學(xué)生探索出更多解決問題的方法。

方程思想在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用廣泛，常見的是與方程有關(guān)的應(yīng)用題。解決這類問題，不僅可以訓(xùn)練學(xué)生的方程思想，也可以讓學(xué)生體驗(yàn)到利用方程思想解決問題的便捷性。在代數(shù)問題中建立方程求解未知數(shù)，在幾何問題中引入未知量，建立方程求解的教學(xué)，可以使學(xué)生樹立應(yīng)用方程思想分析問題和解決問題的觀點(diǎn)，體驗(yàn)到該方法的優(yōu)越性和直觀性。

小學(xué)數(shù)學(xué)中常出現(xiàn)的雞兔同籠問題兩種解法對比：

例1? ?雞兔同籠，共有頭30個，腿86條，問雞兔各多少只？

小學(xué)解法：設(shè)都是兔子，則30只兔子應(yīng)有120條腿，而現(xiàn)在只有86條腿多算了34條。這是因?yàn)槊堪岩恢浑u算成一只兔子就會多算兩條腿，多算了34條腿一定是因?yàn)榘?7只雞算成了17只兔子了。所以雞是17只，兔子是30-17=13只。

初中方程思想解法：設(shè)有雞x只，兔子y只，則

答：有雞17只，兔子13只。

顯然，初中方程思想解法一目了然，清晰易懂。

一、教學(xué)心得? 初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，方程思想運(yùn)用舉例

面對初一新生，如何上好第一節(jié)課甚為關(guān)鍵，通過介紹初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法與思想，特別是方程思想的學(xué)習(xí)，強(qiáng)化學(xué)生的思想認(rèn)知。意識到中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，只要是求值、計算問題，每一節(jié)新課老師都是在教會你如何用新的方法尋找方程（組）或不等式（組），而你需要解決的大部分求值、計算問題都是在不斷地尋找方程（組）與解方程（組）的過程中完成。因此，審題時必須帶著方程的思想去將題目的條件轉(zhuǎn)變?yōu)榉匠蹋瑥亩_(dá)到解決問題的目的。

1.方程思想在代數(shù)教學(xué)過程中的運(yùn)用：

（1）方程思想在數(shù)與式中的運(yùn)用：

（2）方程思想在函數(shù)中的運(yùn)用：

求點(diǎn)P的坐標(biāo)和直線l1的解析式.

分析：a、函數(shù)圖像過已知點(diǎn)告訴我們什么？——點(diǎn)滿足函數(shù)解析式，即點(diǎn)的坐標(biāo)可代入解析式得方程。b、函數(shù)圖像交點(diǎn)如何使用？——即圖像過交點(diǎn)（與a同理得方程）

顯然用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，這里有k，b兩個系數(shù)要求，必須要有兩個方程才能解決，兩個條件即告訴我們兩個方程，問題迎刃而解。

（3）方程思想在解應(yīng)用題中的運(yùn)用

例5? “綠水青山就是金山銀山”，為了更進(jìn)一步優(yōu)化環(huán)境，甲、乙兩隊(duì)承擔(dān)河道整治任務(wù)。甲、乙兩個工程隊(duì)每天共整治河道1500米，且甲工程隊(duì)整治3600米河道用的時間與乙工程隊(duì)整治2400米所用的時間相等.求甲工程隊(duì)每天整治多少米？

應(yīng)用題是同學(xué)們感覺入手比較難的題型，關(guān)鍵是找等量關(guān)系比較困難，其實(shí)一般都有明顯或隱含的等量關(guān)系即方程，本題“甲工程隊(duì)整治3600米河道用的時間與乙工程隊(duì)整治2400米所用的時間相等”是明顯的等量關(guān)系，如何準(zhǔn)確表達(dá)出兩工程隊(duì)工作的時間就是解決問題的關(guān)鍵所在。

解：設(shè)甲工程隊(duì)每天整治x米，則乙工程隊(duì)每天整治（1500-x）米，根據(jù)題意可得：

解得x=900，

經(jīng)檢驗(yàn)，x=900是原方程的根，且符合題意.

答：甲工程隊(duì)每天整治900米.

例6? A、B兩地相距160km，一人騎自行車從A地出發(fā)，速度為20km/h;另一人騎摩托車從B地出發(fā)，速度是自行車速度的3倍，兩人同時出發(fā)，相向而行，經(jīng)過多長時間相遇？

這種題看似沒有等量關(guān)系，實(shí)則隱含對所有行程問題都適用的方程s=vt，即：同一個人所走的路程與他的速度和時間的關(guān)系，還有，這是相遇問題，即兩人所走路程之和等于總路程，這樣，運(yùn)用方程思想就容易解決了。

方程思想在解決代數(shù)問題時隨處可見，應(yīng)用非常廣泛，下面談?wù)劮匠趟枷朐趲缀斡嬎阒械倪\(yùn)用。

2.方程思想在幾何教學(xué)中的運(yùn)用

幾何教學(xué)中有幾何證明、幾何計算、作圖等知識點(diǎn)。幾何計算常會有求長度、求角度、求面積等問題，因此，找到合適的方程進(jìn)行計算求值是必不可少的，下面舉幾個例子加以說明。

（1）方程思想在翻折問題中的運(yùn)用：

如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=3，折疊紙片使AD邊與對角線BD重合，折痕為DG，求AG的長。

分析：這道題由于是矩形中部分翻折，因此，很多直角和直角三角形，故易想到直角三角形的性質(zhì)和相關(guān)知識，如勾股定理，三角函數(shù)等等， 由翻折可知全等圖形，從而知道哪些線段相等？哪些角相等？把已知的量標(biāo)在圖上相應(yīng)位置，設(shè)要求的AG=x，則BG=4- x，在△ABD中運(yùn)用勾股定理求得BD=5，由翻折可知 A'G= AG=x， A' D=AD=3， A' B=BD- A' D=2， 同理運(yùn)用勾股定理可以表達(dá)出△BGA'? 中三邊關(guān)系A(chǔ)'B2+ A' G2=GB2，，即有22+ x2=（4-x）2? 求出x即可.這里充分利用了直角三角形中三邊關(guān)系勾股定理來構(gòu)造方程解決問題.

（2）方程思想在相似三角形中的運(yùn)用

例7? 如圖 D，E分別是△ABC邊AB，AC上的點(diǎn)，∠ADE=∠ACB，若AD=2，AB=6，AC=4，則AE的長是（ ）

A.1

B.2

C.3

D.4

分析：要求線段長度，自然想到找到等式來求解，即要找到相應(yīng)的方程，告訴我們角相等，又有公共角，顯然想到三角形相似對應(yīng)邊成比例是解決問題的關(guān)鍵。

解得，AE=3，故選C.

二、總結(jié)

經(jīng)過實(shí)踐與案例的論證分析可知，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，無論是代數(shù)還是幾何，方程思想的運(yùn)用都是非常廣泛的，如能靈活掌握方程思想，充分運(yùn)用方程思想，帶著方程思想去思考數(shù)學(xué)問題，將問題中已知量與未知量之間的數(shù)量關(guān)系，抽象成方程、不等式等數(shù)學(xué)模型，則初中數(shù)學(xué)的教與學(xué)必是輕松、愉快、高效的。

參考文獻(xiàn)：

[1]李樹臣.引導(dǎo)學(xué)生在過程中感悟數(shù)學(xué)思想——兼談學(xué)生感悟方程思想的根本過程[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志， 2020（4）：1-5.

[2]王萍. 初中生方程思想解題現(xiàn)狀研究[D].上海：上海師范大學(xué)，2020.