量子計算數學本質及金融應用研究

林 陽

量子計算是遵循量子力學規律調控量子信息單元進行計算的新型計算模式，被認為能夠突破經典電子計算機的芯片工藝和算力瓶頸，具有廣闊的發展空間。《中華人民共和國國民經濟和社會發展第十四個五年規劃和2035年遠景目標綱要》提出，加快布局量子計算等前沿技術，加強關鍵數字技術創新應用。中國人民銀行發布的《金融科技發展規劃（2022——2025年）》提出，探索運用量子技術突破現有算力約束、算法瓶頸，提升金融服務并發處理能力和智能運算效率，節省能源消耗和設備空間，逐步培育一批有價值、可落地的金融應用場景。2022年10月，諾貝爾物理學獎花落量子力學和量子計算領域的三位物理學家，更加凸顯了量子計算的重要性。

量子計算與經典的電子計算相比具有鮮明的特點和差異，表現出并行和隨機計算的特性，并在特定的數學問題上有良好的應用前景。金融業加深對于量子計算特點和數學本質的把握，有利于進一步深化對量子計算的應用。

量子計算數學本質和特點

量子計算遵循的是微觀世界的物理規律————量子力學，采用物理對象的狀態（如光子偏振態、電子自旋態等）的不同存儲信息進行計算。量子力學的數學性質決定了量子計算在數學上呈現并行性和隨機性兩種特性，也決定了其適合解決的數學問題的類別。

并行性。經典的電子計算機存儲信息單元是比特，一個比特只能存儲0或者1兩種信息中的一種，其存儲能力隨經典比特數量的增加而線性增加。而量子計算的存儲信息單元是量子比特，量子比特可以呈現基態|0＞或基態|1＞，也可以是基態的任意復系數的線性疊加態，數學上表述為|φ＞=a|0＞+b|1＞（a和b均為復數）。其中的根本原因是，表述量子力學狀態的波函數是遵從薛定諤方程的，而薛定諤方程是線性偏微分方程，其波函數解的任意復系數線性組合也是允許的解。因此，基態的任意復系數線性組合疊加態也是允許存在的狀態。上述表述中，基態可以理解為不會被測量改變的狀態，可以類比一個處于正面或反面的硬幣，而疊加態則更像一個處于旋轉中的硬幣，同時包含了兩種基態的信息。

因此，一個量子比特可以同時存儲|0＞和|1＞兩種信息。按照此規律延伸，N個量子比特可以存儲從|00…0＞到|11…1＞共2N個可能的狀態，其存儲能力隨著量子比特數量的增加而指數增長。這種多態并存的數學特性使得量子計算機能夠實現實質意義上的并行計算。而經典的電子計算機只能依靠硬件效率的提升（如采用頻率更高的CPU）或硬件堆疊（如采用多個CPU或多核CPU）來實現算力的線性提升；而量子計算由于其量子比特的疊加態的存在，可以通過一次運算并行得到所有存儲在量子比特中的狀態的結果，實現算力的指數提升。

概率性。根據量子力學的數學原理，量子比特盡管可以以疊加態存儲多個狀態，但從這些狀態提取信息時必須經過測量。而測量將使得量子比特從疊加態“退化”為其中的一個基態，就如同一個旋轉的硬幣在被按住觀察時只能呈現正反面中的一面的道理。具體的，對于一個量子比特|φ＞=a|0＞+b|1＞進行觀測，其退化為基態|0＞的概率為其復系數a的模平方|a|2，退化為基態|1＞的概率為其復系數b的模平方|b|2=1-|a|2。這一點和經典電子計算機也存在本質差別，經典電子計算機無論進行多少次測量都不會改變其狀態和其中存儲的信息。

金融業應用量子計算的幾類數學問題

從上文對于量子計算的特點分析可以看出，由于其數學本質，量子計算更加擅長并行計算和隨機計算。這也決定了量子計算在金融業的應用并非所有的場景都適合，例如對于準確性要求極高的交易、賬務處理等領域就不適合應用量子計算。金融業可以圍繞上述兩個特點，尋找適合量子應用的場景。我們可以將這些場景試著抽象和歸納為如下數學問題。

組合爆炸問題。金融業中有較多場景在數學本質上是組合爆炸問題。例如，投資組合的優化問題，如果要從100種潛在的資產中選擇10種資產打包為一個投資組合，即便是不考慮資產的權重分配的不同，也有17萬億種可能的組合。因此，金融機構經常需要對潛在資產進行人為篩選，來匹配有限的分析能力。如應用量子計算并行得到多個投資組合的表現結果，將會極大地提升金融機構選擇投資品的視野，也有助于不同的金融機構找到不同的投資組合，避免投資中的羊群效應引發的市場劇烈波動。

風險管理中的入模因子選擇問題也是組合爆炸問題。金融業面對的風險往往受到國內外政治環境、宏觀經濟以及金融政策等方面因素的影響。金融機構通過因子建模的方式試圖在數學上分析多因子影響下的表現。對于多因子影響模型，應該選擇哪些因子進行建模，在數學上也是一個組合爆炸問題。應用量子計算并行對于多種入模因子組合進行分析，將有可能將部分不易察覺的風險因子或因子組合納入考慮，提升金融機構風險控制的全面性。

此外，還有拓撲學中的路徑選擇問題，例如金融機構網點（或ATM等自助機具）布局優化問題、金融市場的套利機會尋找問題（例如套匯方案）等，本質上也是在各個路徑之間的排列組合中選優的問題，因此也是量子計算的潛在應用場景。

搜索和匹配問題。在排序算法的支持下，結構化數據的搜索效率是可以得到保障的。但對于非結構化的數據，如視頻、圖像等的搜索，由于缺乏有效的數據組織方法，搜索效率相對較低，只能基于窮舉等方法提升效率。而量子計算則可以利用其并行計算能力和Grover等算法極大地提升非結構化數據搜索算法的效率。金融機構數字化轉型勢必要涉及客戶人臉數據、“雙錄”或安保等場景的視頻數據，以及票據、證件影像等圖像數據等非結構化數據的搜索和分析。因此，相關的場景也將是金融機構應用量子計算的一個潛在領域。

隨機數問題。傳統的電子計算機采用確定的方法生成不易被猜中規律的“偽隨機數”，但仍有被破解的可能性。真正的隨機數只能通過物理過程產生。而量子計算的隨機性是源自物理過程的真隨機性，不可被重復和破解。因此，基于隨機性的量子計算也可以應用在需要隨機數的金融服務場景，如密鑰生成、客戶登錄驗證碼生成等。

模擬問題。例如，資本市場中的衍生品定價問題，由于衍生品的價格取決于底層資產的走勢，而衍生品定價中理論的BSM模型等都對市場作了某種理想化假設（無交易摩擦、無風險套利機會等），所以蒙特卡洛模擬算法廣泛地應用在衍生品定價領域，通過模仿底層資產的走勢來獲得期權定價的合理期望值。而量子計算由于其真隨機性導致了其能夠更好地去除偽隨機性帶來的模擬噪聲，且其并行計算的特性相對于時間線性的蒙特卡洛算法也可以擁有更好的效率。因此，量子計算廣泛地應用在資本市場的衍生品定價等領域。

金融業量子計算領域發展建議

綜上，量子計算的數學特性決定了其對于特定數學問題的適應性。金融業在探索量子計算應用時，可還原和抽象金融問題的數學本質，然后利用量子計算的特性對相應的數學問題進行求解或效率提升，最終將相應的數學結論還原到真實的金融場景中。盡管目前量子計算距離大規模商用仍有一定距離，但量子計算不是傳統意義上的組合創新，而是具備顛覆式創新能力的新技術，將對包括金融業在內的各行各業產生廣泛而深遠的影響，具有較好的潛在發展價值。建議金融機構將量子計算視為未來影響自身數字化轉型的關鍵技術，加大研究和投入力度，為未來應用量子計算做好充分準備。

加強應用場景的梳理和探索。對目前量子計算的多種使用場景和案例進行系統性梳理，還原量子計算機的特性以及適合解決金融問題的數學本質。從金融問題的數學本質出發，結合自身業務的實際需要，在眾多金融業務場景中尋找適合量子計算發揮作用的業務場景，深化量子計算的金融應用。

加強跨行業交流。量子計算金融應用涉及量子計算提供商、云計算提供商、科研院所和金融機構的多方合作。建議建立健全各方跨行業交流機制，對應用需求明確、有望引領和促進金融業數字化轉型的量子計算技術方向開展針對性研究，進一步提升相關技術成熟度和可應用性。

加大人才培養。人才是未來金融業發展和應用量子計算的根本。金融業量子計算相關人才需要具備金融、計算機、數學、物理學等多重復合背景，門檻高、培養難度大。建議量子計算產業相關方和金融機構加大對量子計算人才的培養，為金融業應用量子計算培養扎實理論基礎和業務實際經驗兼備的人才后備軍。