非馬爾科夫環境中各向異性海森堡自旋鏈的幾何量子失協

唐詩生, 李瑞鳴, 艾合買提·阿不力孜

(新疆師范大學 物理與電子工程學院物理系，烏魯木齊 830054)

1 引 言

自然界中普遍存在著關聯現象[1]，量子關聯中的量子糾纏是量子信息處理過程中的一種重要的資源[2]，因此糾纏在量子計算和量子信息中起著至關重要的作用[3].在過去的幾十年里研究者們對量子糾纏[4]的研究取得了很大的進展，并從實驗和理論上發現量子關聯不僅有量子糾纏還有量子失協、幾何量子失協等.為了更清晰地描述量子關聯，Ollivier和Zurek[5]引入了量子失協(QD).量子失協是一種非經典關聯的信息論[6]度量方式.量子失協能夠很好的度量兩個子系統之間的關聯.但它的評估過程非常困難，只有在某些特殊的情形下才能被評估，比如：貝爾對角態[7]、X型結構態[8].為了解決這一問題，Dakic等人[9]從測量距離也就是從幾何角度引入希爾伯特-施密特(Hilbert-Schmidt)范數并提出了幾何量子失協(GQD).幾何量子失協是一種新的度量量子關聯的方法并被廣泛研究[10，11].

考慮到實際中的物理系統完全封閉是不可能存在的，系統不可避免地受到周圍環境的影響從而導致量子態之間的關聯特性被破壞.基于此原因，研究開放量子系統之間的GQD隨時間的演化關系是很有意義的.按照外界環境對開放性量子系統的影響程度可劃分為馬爾科夫環境和非馬爾科夫環境[12].其中馬爾科夫環境沒有環境記憶效應，即所研究的系統中的信息和能量只能從系統流到環境，而不能由環境反過來影響系統；非馬爾科夫環境有環境記憶效應，也就是系統—環境之間有信息、能量[13]等的交換.在非馬爾科夫環境下，系統現在的狀態受系統歷史狀態影響.

1998年Diosi等人[14]系統的闡述了非馬爾科夫量子態擴散方法(NMQSD)，并采用真實的物理系統研究了量子關聯在非馬爾科夫環境下的演化性質；Laine等人[15]用糾纏的光子極化后產生的極化態實現了量子隱形傳態；Jing等人[16]研究了在兩種噪聲情形下關于量子隱形傳態的時間演化；Yu 等人研究了費米庫，寫出了系統在費米庫中的NMQSD主方程[17，18]；趙新宇等人[19，20]討論了基于非馬爾科夫費米庫環境中雙量子點模型的量子糾纏特性；Hu和Fan[21]研究了幾何量子相關測度的演化方程；Hu等研究了多體的幾何量子失協[22]；Spehner定義了一種新的量子關聯度量并測量了幾何量子失協[23]；Paula等通過考慮廣義Schatten p范數重新討論了幾何量子失協[24]；Lü等人研究了光子晶體腔陣列系統中的凍結高斯量子失協[25]；Yang等人研究了光子晶體腔中分離的氮空位中心之間量子相關性的非馬爾可夫動力學[26].但目前還沒有研究在非馬爾科夫環境中具有時變磁場和Dzyaloshinski—Moriya相互作用Dz下的兩比特各向異性海森堡自旋鏈的幾何量子失協.本文中，主要研究了非馬爾可夫環境下海森堡XYZ模型中的幾何量子失協并通過非馬爾科夫量子態擴散方法進行了數值模擬.

2 幾何量子失協的度量

(1)

其中xi=trρ(σi?I)，yi=trρ(I?σi)為布洛赫矢量的分量，σi(i=1,2,3)是1925年泡利研究費米子時提出的泡利矩陣，Rij=Trρ(σi?σj)是關聯張量的分量.對于二比特海森堡自旋鏈系統的量子態，量子零失協態的式子如下：

x=p1|ψ1〉〈ψ1|?ρ1+p2|ψ2〉〈ψ2|?ρ2

(2)

式中的{|ψ1〉，|ψ2〉}是正交規范基矢量.按照參考文獻[28]能夠知曉：在任意的二比特系統中幾何量子失協的表達式能夠重新表述為以下的等式：

(3)

式中列向量x=(x1，x2，x3)T,矩陣K=xxT+RRT的最大本征值定義為Kmax.實際上對于二比特系統的幾何量子失協有一種簡明扼要的計算方法可供選擇，查閱參考文獻[29]可得知，

(4)

其中λi是3×4階矩陣R′=(x,R)的本征值.需要特別提醒的是：幾何量子失協并不是歸一化的，在二比特海森堡自旋鏈系統這種特殊的情形下，幾何量子失協的最大值為0.5.

3 模型與方法

在實際中，由于固態量子系統具有優異的可操控和擴展的性能，因此通常首選固態量子系統作為量子信息的系統[30].其中Heisenberg自旋鏈模型是一個相對簡單、有用的固態物理系統，因此在量子信息傳輸、量子計算方面得到了廣泛的發展.本文選擇了在非馬爾科夫環境中具有時變磁場和Dzyaloshinski—Moriya相互作用中的自旋作用非常豐富的兩比特海森堡XYZ模型作為研究的對象，此時系統的哈密頓量可以表述如下：

(5)

Htot=Hsys+Henv+Hint

(6)

其中，

(7)，

(8)，

(9).

(10).

在非馬爾科夫環境下系統態演化的精確方程(方程(1))中可以明確地看見該方程內包含了一個時間非局域項，正是時間非局域部分的存在導致了方程的積分過程非常的困難甚至不可實現.因此在實際情形下就不得不運用一定的近似過程來處理方程(1).方程(1)中對時間有依賴的部分現在用操作符O(t,s,z*)來替代有下式，如下式所示：

(11)

通過一致性條件[35]，

(12)

從一致性條件中就能夠得到算子O(t,s,z*)的時間演化方程：

(13)

O(t,s,z*)=f1(t,s)O1+f2(t,s)O2+

f3(t,s)O3+f4(t,s)O4+f5(t,s)O5+

f6(t,s)O6+f7(t,s)O7+f8(t,s)O8

(14)

F1f1+F4f4-F1f3+F3f1+F3f4+F4f3-2iDzf3，

F2f4+F3f4+F4f3+F4f2+F2f2+F3f3+2iDzf4，

F2f1+F3f1+F4f2+F4f3+F2f3+F3f2+2iDzf1，

F1f4+F4f1-F1f2+F3f4+F3f1+F4f2-2iDzf2，

F4f8-F4f5+F5f1-F8f1+F1f7-

F2f5-F3f8-F4f7+F6f1-F7f1+2iDzf7，

F1f6+F2f8-F3f8-F4f7+F5f2-F8f2-F3f6-

F3f7+F6f2-F7f2-2iDzf8，

F1f7+F2f5-F3f5+F4f6-F5f3+F8f3-

F3f7+F3f6-F6f3+F7f3-2iDzf5

F4f5-F4f8-F5f4+F8f4+F1f6-F2f8-

F3f5-F4f6-F6f4+F7f4+2iDzf6

f1(t,t=s)=1，f5(t,t=s)=0，

f2(t,t=s)=1，f6(t,t=s)=0，

f3(t,t=s)=0，f7(t,t=s)=0，

f4(t,t=s)=0，f8(t,t=s)=0.

兩比特海森堡XYZ系統中的量子態隨時間演化的過程能夠通過上述方程進行精確的數值模擬，量子態擴散方程能夠簡明緊湊地寫為時間的局域方程，如下式所示：

(15)

4 數值模擬結果

利用量子態擴散方法得到了密度矩陣的時間演化過程，把隨時間演化的密度矩陣代入系統的幾何量子失協方程里，在非馬爾科夫環境下通過數值模擬、計算、分析系統的幾何量子失協隨時間演化的過程.具體討論了環境關聯參數、海森堡自旋系統中兩比特間的自旋耦合系數、時變磁場、Dzyaloshinski—Moriya相互作用Dz等參數在幾何量子失協中的影響.下面分析各個參數對系統幾何量子失協的影響.

5 結 論

研究結果表明：在本系統中不同類型的參數對系統幾何量子失協的影響不同.

(1)當環境關聯系數取值越小也就是非馬爾科夫性越強時，能夠非常顯著地提高系統的幾何量子失協，因此非馬爾科夫環境相比馬爾可夫環境的優越性被體現.

(2)當自旋耦合系數J越大時能夠非常顯著地提高系統的幾何量子失協.

(3)當時變磁場強度B越大時也能夠非常顯著地提高幾何量子失協.此外，其它參數的選取在一定程度上對幾何量子失協也有影響.

綜上所述，在非馬爾科夫條件下的兩比特海森堡XYZ系統中，可以通過合理的組合各種參數實現較大的幾何量子失協.