布朗運動研究方法錯誤及糾正

高 宏

（清華大學，北京 100084）

0 引言

布朗運動不僅是物理學中的一個著名物理現象，也是隨機過程理論中的一個基本隨機過程。1827年，英國植物學家布朗（Robert Brown）用顯微鏡觀察懸浮在液體中的花粉微粒時，發現在無外界作用的情況下，花粉微粒總是在做無規則運動。后來人們發現，這是一種廣泛存在于自然界、工程技術和人類社會等領域中的隨機運動現象，如空氣中的污染擴散、電子器件中的熱噪聲和股票市場中的價格波動等，因此這類動態隨機現象被稱為“布朗運動”。1905年，愛因斯坦認為布朗粒子的不規則運動是由于受到大量液體分子的高速碰撞而引起的，并首次使用概率分析方法推導出了布朗粒子在t時刻位移x(t)的概率密度分布函數f(x,t)，得出了“布朗粒子位移服從正態分布”“布朗粒子平均位移與時間的平方根成正比”和“布朗粒子瞬時速度無窮大”等著名論斷。愛因斯坦對布朗運動的定量研究不僅擴大了經典力學的概念和應用范圍，而且也開啟了其它學科借助概率分析方法研究隨機現象的大門，為隨機過程基礎理論的建立和發展開辟了道路[1]。

隨著現代物理學實驗手段的不斷進步，人們發現布朗運動理論出現了一系列與經驗事實不符的反常問題。例如美國德克薩斯大學的李統藏在2010年首次通過激光光鑷實驗方法觀測到了單個布朗粒子的瞬時速度波形[2]，直接顛覆了愛因斯坦“布朗粒子瞬時速度無窮大”和維納“布朗運動路徑處處不可導”的著名論斷，導致布朗運動理論陷入嚴重的范式危機。

本文從隨機過程的定義及概念出發，分析了愛因斯坦在研究單個布朗粒子在t時刻的位移x(t)時，用概率密度分布函數f(x,t)來描述布朗粒子位移x(t)的研究方法錯誤。概率分析方法無形中將x(t)的定義域從時域T改變為樣本空間Ω，導致數學研究對象從樣本函數變為隨機變量，只能用刻畫大量布朗粒子集體行為的統計規律用來描述單個布朗粒子的個體行為，從而得出了一系列與事實不符的錯誤結論。本文將布朗粒子在t時刻的位移x(t)還原為時間函數，根據愛因斯坦的“布朗粒子在不同時間間隔中的運動相互獨立”假設和李統藏的布朗運動瞬時速度測量結果，提出了“布朗粒子瞬時速度等于白噪聲”的布朗運動定律，建立了可正確描述布朗運動現象、特征及規律的質點運動學方程。

1 布朗運動理論出現的反常問題

科學理論的內容必須要正確反映事物的運動規律，從科學理論推出的可檢驗結論應該與實驗檢驗的結果相符。反常問題通常是指已有科學理論出現了與經驗事實不符，或與其他科學理論發生矛盾的現象。反常問題是科學研究的邏輯起點，常常引導人們進入研究并做出重大發現，從而導致新的概念、方法和理論推翻并替代原有教科書的內容，把人類對客觀世界的認識提高到一個嶄新的水平。

1.1 位移公式與牛頓力學不一致

牛頓運動定律是質點做機械運動時遵從的基本定律。朗之萬依據牛頓第二定律，建立了布朗粒子沿x軸方向進行一維運動時的動力學方程[3]

式中，m為布朗粒子的質量；f(t)為布朗粒子在液體中運動受到的黏滯阻力，f(t)與布朗粒子的運動速度成正比；F(t)為液體分子對布朗粒子高頻碰撞產生的平均作用力。

朗之萬利用式（1）對大量的布朗粒子求平均，計算出了大量布朗粒子在t時刻的均方位移

式中，D為擴散系數。

愛因斯坦早在1905年就利用概率分析方法推導出了式（2）的均方位移關系式，并借助這個方程來計算一個布朗粒子在x軸方向上平均經歷的位移，給出了著名的布朗粒子位移公式[4]

表明布朗粒子的位移與時間的平方根成正比，與牛頓力學質點位移與時間成正比的結論不一致，布朗運動理論與牛頓力學在邏輯上不能自洽。

1.2 瞬時速度與物理學實驗結果不符

根據式（3）的愛因斯坦位移公式，布朗粒子在時間Δt內的位移Δx與Δt的平方根成正比，因此布朗粒子在t時刻的瞬時速度為

即布朗粒子的瞬時速度無窮大。

愛因斯坦論證說，耗散力在如此短的時間尺度內改變了一個懸浮粒子速度的方向和大小，以至于使它無法測量[1]。維納基于式（3）的愛因斯坦位移公式，從數學上證明了“布朗運動樣本軌道處處不可導”的著名論斷。

2010年，美國得克薩斯大學的李統藏成功地利用激光光鑷技術首次實驗測量到了懸浮布朗粒子的瞬時速度[2]，完成了愛因斯坦在100多年前認為不可能完成的任務。李統藏的實驗結果表明，布朗粒子的瞬時速度是RMS（Root Mean Square）均方根為0.422 mm/s的零均值白噪聲，表明布朗運動的瞬時速度（導數）不僅存在，而且可觀測。

李統藏的實驗結果顛覆了現有布朗運動理論“布朗粒子瞬時速度無窮大”和“布朗運動樣本軌道處處不可導”的結論，布朗運動理論因無法解釋李統藏的實驗事實而陷入嚴重的危機。

1.3 正態分布性質與事實不符

愛因斯坦在1905年發表的《關于熱的分子運動論所要求的靜止液體中懸浮小粒子的運動》論文中，首次用概率分析方法對布朗運動進行了定量研究。

愛因斯坦首先假設，布朗粒子在各個不同的時間間隔中的運動，必須被看作是相互獨立的過程，并用概率分布來描述布朗粒子在時間間隔Δt上的位移Δx，通過擴散方程推導出了布朗粒子在t時刻的概率密度分布函數：

式中，D為擴散系數。

顯然，布朗粒子在t時刻的位移x(t)服從參數為（0，2Dt）的正態分布。

從隨機過程的角度看，愛因斯坦的假設和概率分析方法，實際上是將不同時間間隔Δt上的位移Δx假設為獨立同分布隨機變量，根據“獨立同分布隨機變量之和服從正態分布”的中心極限定理，可直接得出布朗粒子服從正態分布的結論。

如果布朗粒子在t時刻的位移x(t)服從（0，σ2t）正態分布，那么根據正態分布的性質，布朗粒子位移曲線x(t)應具有如下兩個正態分布特性：

（1）對稱性。在任意時刻，絕對值相等的正、負位移出現的次數大致相等。

（2）集中性。在任意時刻，布朗粒子在0點附近出現的次數最多。

質點在t時刻的位移x(t)是時間t的連續函數，根據正態分布的對稱性和集中性，可畫出服從（0，σ2t）正態分布的質點位移x(t)的仿真曲線（圖1）。

圖1 服從正態分布的質點位移曲線

圖2給出了1 000個從原點出發的布朗粒子位移曲線。幾乎每條曲線都隨時間不斷遠離原點，完全不滿足正態分布的對稱性和集中性，因此布朗粒子位移曲線不服從正態分布。

圖2 布朗粒子位移曲線（1 000個）

事實上，這1 000個布朗粒子在t時刻的空間位置服從（0，σ2t）正態分布，而式（5）的概率密度函數f(x,t)描述的就是大量布朗粒子在t時刻空間位置分布規律，而非一個布朗粒子位移x(t)在t時刻的概率分布。

愛因斯坦和朗之萬的研究對象雖然是單個布朗粒子在t時刻的位移x(t)，但由于使用概率分析方法，無形中導致數學研究對象從樣本函數改變為隨機變量，因而得出的概率密度函數f(x,t)是描述大量布朗粒子集體行為的統計特性。

若將刻畫大量布朗粒子集體行為的統計規律用來描述單個布朗粒子的個體行為，就如同用溫度來度量一個分子的動能一樣，勢必會出現一系列與事實完全不符的反常問題。

如果科學理論出現了一系列與經驗事實不符的反常問題，表明科學理論已進入“范式危機”階段，科學知識體系將發生根本性的變革，從而使人類對客觀世界的認識發生質的飛躍，并對人類社會實踐產生巨大影響。

2 布朗運動研究方法錯誤分析

數學上的隨機過程是從客觀世界動態隨機現象中抽象出的一種數學結構，是人腦對動態隨機現象數量關系及空間形式的思維反映，可以用來描述并揭示布朗運動的數量關系、空間分布及其變化規律。

隨機過程基本概念雖然遠離了直觀的經驗世界，但卻能更深刻地反映動態隨機現象的本質。隨機過程的定義涉及隨機過程、隨機變量和樣本函數三個基本概念，在應用時很容易混淆隨機變量和樣本函數的內涵與外延，導致物理研究對象錯位，得出與事實不符的結論。

圖3為隨機過程定義示意圖，假設在隨機試驗中觀察3個質點的不規則運動，可得到左邊所示的3條位移曲線，這3次測量結果可分別用3個時間函數x1(t)，x2(t)，x3(t)表示。

圖3 隨機過程定義示意圖

由于隨機試驗的結果是一族時間函數，因此我們可用定義在Ω×T上的二元函數X(ω,t)來描述隨機試驗的所有結果，下面給出二元函數X(ω,t)在四種不同情況下的含義：

（1）固定ω，X(ω,t)是一個自變量為t，定義域為T的普通函數，它是一次隨機試驗所得到的一條記錄曲線或一個時間函數x(t)，通常稱為隨機過程的一個樣本函數（軌道）或一個物理實現。樣本函數x(t)從時間維度刻畫了單個質點的不規則運動過程。

（2）固定t，X(ω,t)是一個定義在樣本空間Ω上的單值實數函數，也就是概率論中的隨機變量，簡記為X(t)。隨機變量X(t)從空間維度描述了所有質點的集合在t時刻的位置分布。

（3）固定ω，固定t，X(ω,t)是一個實數，表示某次隨機試驗在t時刻的觀測值。

（4）當ω和t均變化時，隨機試驗的所有可能結果構成一族樣本函數，所有這些樣本函數的總體或集合就構成了隨機過程。

綜上所述，我們可以給出兩種等價的隨機過程定義。

定義1：隨機過程是一族依賴于樣本空間的樣本函數集合。

定義2：隨機過程是一族依賴于時間的隨機變量集合。

在概率論中，樣本空間中的樣本點被映射成實數軸上的一個點；而隨機過程則是將樣本空間中的樣本點映射成一個時間函數（隨時間變化的實數）。定義1把隨機過程看成一組樣本函數的集合，這是概率論隨機變量定義的推廣，而定義2把隨機過程看成一族有時間標記的隨機變量集合。

在工程技術領域，觀測到的實驗結果就是樣本函數的集合，因此常用定義1描述實際隨機現象。定義2與概率論中的多維隨機變量理論相聯系，因此數學領域在研究動態隨機現象時常用定義2，可直接使用多維隨機變量理論來分析隨機過程的統計規律。

樣本函數x(t)是時間t的一般函數，而隨機變量X(t)并不表示X(t)是時間t的函數，X(t)是樣本點ω的函數，X(t)只表示所有樣本函數在t時刻的取值，即X(t)={x1(t)，x2(t)，x3(t)}。

隨機變量X(t)和樣本函數x(t)是兩個具有完全不同定義域和值域的函數（表1）。在實際應用中，隨機變量X(t)和樣本函數x(t)描述的是完全不同的物理對象。樣本函數x(t)用來記錄或描述一個布朗粒子的位移隨時間變化過程，隨機變量X(t)則用來描述大量布朗粒子在某一時刻的空間位置分布狀態。

表1 隨機變量和樣本函數的研究方法

概率密度函數f(x,t)是描述隨機變量X(t)各種取值可能性大小的數量指標，對于布朗運動，概率密度函數f(x,t)描述的是大量布朗粒子在某一時刻的空間位置分布規律。

由于隨機變量及概率概念的抽象性及復雜性，愛因斯坦在研究單個布朗粒子的運動規律時，使用概率分布函數f(x,t)來描述單個布朗粒子在t時刻的位移x(t)[4],[5]，無形中導致數學和物理研究對象均發生錯位，只能用刻畫大量布朗粒子集體行為的統計規律來描述單個布朗粒子的個體行為，勢必會得出“布朗粒子位移服從正態分布”“布朗粒子位移與時間的平方根成正比”和“布朗粒子瞬時速度無窮大”等一系列與事實不符的錯誤結論。

3 布朗運動瞬時速度

3.1 白噪聲

定義：若平穩隨機過程樣本函數n(t)的均值為零，方差為σ2，如果其自相關函數

式中，τ為時間間隔；δ(τ)為單位沖擊函數；則稱n(t)為白噪聲。

根據維納-辛欽定理，任意一個均值為常數的廣義平穩隨機過程的功率譜密度是其自相關函數的傅里葉變換，可得白噪聲n(t)的功率譜密度

即n(t)的功率譜密度在整個頻率軸上均勻分布，σ2的物理意義代表白噪聲信號n(t)在單位電阻上產生的平均功率。

式（6）表明，白噪聲n(t)在任何兩個不同時刻的取值互不相關。因此，n(t)的信號波形為一串寬度無限窄、方向和大小變化極快的隨機脈沖。

3.2 布朗運動瞬時速度

設x(t)為布朗粒子（質點）在t時刻的位移，v(t)為布朗粒子在t時刻的瞬時速度，從信號分析學科的角度看，可將愛因斯坦“布朗粒子在不同時間間隔中的運動相互獨立”的假設表述為v(t)在不同時刻互不相關，因此v(t)的自相關函數可表示為

式中，τ為時間間隔；N0為正實常數；δ(τ)為單位沖擊函數。

與式（6）對比，布朗運動瞬時速度v(t)顯然為平均功率為N0的白噪聲，與美國得克薩斯大學李統藏的布朗粒子瞬時速度測量實驗結果完全相符。

4 布朗運動定律

根據愛因斯坦“布朗粒子在不同時間間隔中的運動相互獨立”假設，以及李統藏的布朗粒子瞬時速度測量實驗結果，提出“布朗運動瞬時速度為白噪聲”的布朗運動定律，用數學公式表示為

式中，n(t)為式（6）定義的白噪聲樣本函數。

式（9）描述的布朗運動定律，是根據物理學已有的知識、經驗及事實，對過去、現在及未來的布朗運動現象及規律所做出的一種假定性和推測性論斷，是建立布朗運動理論或推導其他命題的起點和基礎。從式（9）經嚴格邏輯推理得到的相關命題和結論，對布朗運動具有解釋和預見功能，能夠預測布朗運動的發展趨勢和變化結果。

5 布朗運動位移公式

設x(0)=0，根據式（9）的微分方程，可得布朗粒子在t時刻的位移：

式中，n(t)為式（6）定義的白噪聲樣本函數。

由式（10）可計算出布朗粒子在區間[0，t]上的平均速度

由式（10）和式（11）可得布朗運動位移公式：

即布朗粒子在t時刻的位移x(t)等于其平均速度與時間t的乘積，與牛頓力學質點位移與時間成正比的結論完全一致。

從式（12）可以看出，布朗粒子位移x(t)的運動規律完全取決于其平均速度的特性。由概率論大數定律可知，當t充分大時，平均速度或白噪聲n(t)的算數平均值會收斂于一個常數，布朗運動就成為牛頓力學中所描述的勻速直線運動，x(t)趨于一條從原點發出的射線。表明在微觀尺度上呈現出隨機性的布朗運動，在宏觀尺度上具有確定性。

由式（10）的單個布朗粒子運動學方程，也可推導出大量布朗粒子在t時刻的空間位置服從（0，σ2t）正態分布的結論[6]。

6 無規行走實驗結果

布朗運動可看作是無規行走（Random Walk）的極限過程。在通常情況下，人們就是利用無規行走數學模型對布朗運動進行計算機仿真實驗的。

早在1873年，英國生物統計學家高爾頓（Galton）就專門設計了一個演示無規行走運動規律的實驗裝置（圖4），俗稱高爾頓板。

圖4 無規行走實驗結果

高爾頓板上的釘子呈等邊三角形排列，上一層每一顆釘子的位置恰好位于下一層兩顆釘子的正中間。當小球從最上面的入口處落下時，碰到第一層的釘子后，隨機地向左或向右落下。小球每次落下都會碰到下一層的釘子，然后再次隨機地向左或向右落下，直到最后落入高爾頓板底部的一個格子內。

顯然，一個小球從入口處經過n層釘子后落入高爾頓板底部格子的過程，就相當于一個小球的n步無規行走過程。小球所在格子偏離高爾頓板中心的距離，就是小球經過n步無規行走后相對原點的位移。

把大量小球逐個從入口處放下，只要高爾頓板的面積足夠大、釘子層數足夠多，最終落在底部格子內的小球將形成中間高、兩邊低的鐘形曲線，表明大量無規行走的小球在某一時刻的空間位置服從正態分布。

從圖2和圖4的實驗結果可以看出，布朗粒子和小球隨時間不斷向遠離原點的方向擴散，其運動軌跡具有確定性的運動趨勢，不具有正態分布的對稱性和集中性。

7 結束語

現有布朗運動理論使用概率分析方法研究單個布朗粒子的運動規律，用概率分布函數f(x,t)來描述單個布朗粒子在t時刻的位移x(t)，無形中改變了x(t)的定義域和值域，導致研究對象從單個布朗粒子變為大量布朗粒子的集合，因而只能用刻畫大量布朗粒子集體行為的統計規律來描述單個布朗粒子的個體行為，出現了“布朗粒子位移服從正態分布”“布朗粒子位移與時間的平方根成正比”和“布朗粒子瞬時速度無窮大”等一系列與事實不符的反常現象。現有布朗運動理論為自然科學、工程技術和社會科學研究動態隨機現象提供了錯誤的方法和理論，布朗運動理論將面臨重大范式變革，基于樣本函數的布朗運動理論將替代現有教科書中基于隨機變量的錯誤內容，使人類對布朗運動現象、特征及規律的認識產生質的飛躍，并帶動自然科學、工程技術和社會科學的思維方式變革，提高人類認識世界和改造世界的能力，對科學、社會和經濟發展產生重大影響。■