初中數學“結構教學”探索

□ 江蘇省南通市如皋市下原鎮下原初級中學 浦金才

著名教育家布魯納說，“學生進行學科學習的實質就是掌握該學科的基本知識結構”“學習就是學生認知結構的組織或重新組織”。初中數學“結構教學”，就是要立足學生已有“認知模塊”，營造學生數學學習的“思維場”，用“問題串”等引導、啟發學生。通過“結構教學”，能促進學生數學學習有效遷移，進而能有效提升學生數學學習力，發展學生數學“核心素養”。

一、把握“銜接點”，解讀學習“認知塊”

著名教育家奧蘇貝爾曾經這樣說，“假如讓我把全部教育心理學僅僅歸結為一條原理的話，那么我將一言以蔽之：影響學生學習的唯一最重要的因素就是學生已經掌握了什么，并據此展開教學。”在初中數學教學中，教師要把握學生認知的“銜接點”，認識學生數學學習的“認知模塊”。學生的認知模塊是豐富的，它包括學生的已有核心知識、共享知識、境域知識、結構知識、隱性知識等。

在初中數學教學中，每一位學生的學習起點都是不同的，個體的情況千差萬別，它包括學生的已有知識儲備、已有經驗和思維水平等。只有把握學生數學學習的“銜接點”，才能引導學生的數學學習步入“最近發展區”，從而讓學生在數學學習中“跳一跳能摘到桃子”。作為教師，要引導學生基于自我的認知模塊不斷進階。比如教學人教版八年級下冊《特殊的平行四邊形》這一部分內容，筆者在教學中從學生生活實際入手，展示學生生活中的平行四邊形圖片（如活動衣架、伸縮門等），引導學生感知、操作將平行四邊形推拉成長方形、將長方形推拉成平行四邊形的過程，從而為學生的數學學習提供一個生長性的情境；從學生已有知識經驗—“平行四邊形”“三角形”等相關知識入手，催生學生數學發現，讓學生認識到矩形是一種特殊的長方形。在這個過程中，筆者及時介入、適度追問：矩形特殊在什么地方？怎樣的平行四邊形是矩形？怎樣的四邊形是矩形？通過這樣的一種追問，能架設學生已有知識和未知的橋梁，從而促進學生展開從一般到特殊的思考，幫助學生從特殊性的視角給矩形下定義。在這個過程中，激活學生的已有認知。過去，我們研究三角形、平行四邊形是從哪些角度展開研究的？研究矩形，你準備通過哪些元素去進行研究等。引導學生借助于研究三角形、平行四邊形的經驗，去思考研究矩形的方法。通過對學生的“認知模塊”的激活，引導學生掌握系統性的數學思想方法，幫助學生形成一個線條清晰的學習思維輪廓。

把握學生數學學習的銜接點，不僅能讓學生所學的新舊知識進行有效地銜接，促進學生新舊知識的有效遷移，更能引導學生形成結構化的學習方法、思想等。在初中數學教學中，只有把握學生數學學習的銜接點，把握學生的“認知模塊”，才能讓教師的教學富有挑戰性，才能讓教師的教學貼地而行。

二、激活“生長點”，構建學習“問題串”

結構教學要摒棄傳統的碎片化的教學方式，通過“問題串”“問題群”等，讓學生明確學習的指向，并能進行自主性、自能性的數學學習。要讓問題具有整合性、開放性、研究性和建構性，促進問題對學生數學學習的積極導引。在初中數學教學中，教師不僅要把握學生數學認知的銜接點，更要通過構建“問題串”，激活學生數學學習的生長點。通過激活學生數學學習的生長點，為學生的數學知識理解、遷移搭建重要的平臺。

一般來說，問題串往往是由幾個核心問題、主問題等構成的。并且，這些問題往往是有層次性、結構性的，是逐步深化的。通過結構化的問題串，能引發學生的數學深度思維，推動學生的數學深度探究，從而能讓學生主動建構數學知識。比如教學人教版九年級上冊《根與系數的關系》這一部分內容時，為了助推學生自主發現，筆者精心設計了這樣的“問題串”：一元二次方程中的“兩根之和”與“系數”之間有沒有關系？有怎樣的關系？怎樣證明？你還能提出怎樣的問題？探討根與系數的關系有什么作用？其中，“問題串”中的第一、第二個問題，有助于激發學生的數學猜想；第三個問題有助于激發學生進行數學驗證、探究的興趣，調動學生數學驗證、探究的積極性；而第四個問題，則有助于發散學生的數學思維，催生學生提出新的問題，諸如兩根之差與系數有沒有關系？兩根之積與系數有沒有關系等。最后一個問題，有助于學生對自我的探究結果進行反思、審視，并能促進學生對根與系數關系的應用。通過這樣的“問題串”，能引導學生的數學思維爬坡，讓學生的數學思維、認知等逐步從低階邁向高階。如有學生在學習中，通過對幾個一元二次方程的例子，探究根與系數之間的關系，形成自己的不完全歸納法；有學生根據求根公式求出一元二次方程的根之后，通過計算的方法發現了根與系數之間的關系。在這個過程中，有學生感悟到，根據一元二次方程中的根與系數的關系以及其中的一個根，可以求出另一個根、未知系數等，從而使學生認識到了學習“根與系數的關系”的意義、作用。

在結構教學中，教師一方面要引導學生進行新知建構，另一方面要引導學生進行舊知完善。為此，要引導學生的心理同化與順應，讓學生將新知納入舊知結構之中，促進新舊知識的統整。結構教學，不僅要求學生的學習結果結構化，更要求學生的學習過程結構化。通過結構教學，促進學生知識創新，同時為學生的知識遷移應用奠定重要的基礎。

三、了解“困惑點”，創設學習“思維場”

在初中結構教學中，教師要了解學生的“困惑點”，從而幫助學生及時疏導疑難雜癥。美國著名教育家加涅認為，“學生的一個學習流程往往就是學生的信息輸入輸出流程”。在數學教學中，如果學生在學習中遭遇障礙、困難、困惑，就會堵塞正常的信息輸入輸出流程。為此，教師在教學中要充分調研，精心創設學生數學學習的“思維場”，幫助學生設計破解學生認知困惑、障礙等的招數，幫助學生打開思維、認知等的閘門，讓學生在思維引力作用下，激發學生的有效認知。

“思維場”能激發學生的認知沖突，引發學生的積極參與。“思維場”可以助推學生的發現、探究。作為教師，要為學生創設積極主動參與的條件，為學生留足思維的空間，幫助學生建立起動態韻味的發現場、探究場、質疑場，鼓勵學生發現、探究、質疑。比如教學人教版八年級上冊的《平方差公式》，筆者呈現了一組“結構性習題”：（200-1）×（200+1）、（2a+1）(2a-1)、（x+y)（x-y）、（y+1）(y+1)。通過這樣的一組結構化習題，構建了一種結構化的思維場，催生學生的結構化發現，引導學生的結構化思維，誘發學生的結構化猜想。通過這一組習題的計算，學生很快就自主發現了“平方差公式”。有學生說，前三個題目都是已知兩個數的和與兩個數的差，所以計算結果為兩項；有學生說，應用多項式的乘法計算后發現，這些式子通過計算展開之后都是四項，其中中間的兩項有可能被消去，也可能不能消去，前面三個題目中的計算結果中的中間兩項都被抵消了，而最后一道題目中的計算結果的兩項沒有消去等。通過這樣的結構化思考、探究，學生逐步領悟到了“平方差公式”的本質。在打造學生思維場的過程中，教師要充分發揮組織者、引導者等的作用，讓思維場能融合學生的經驗、思維等。置身于思維場之中，學生能展開積極的再創造，并能展開積極的反思，促進對自我認知的質疑與批判。

在打造學生數學學習思維場的過程中，教師要留有一定的時空，讓學生自主建構、創造。基于學習思維場營建的數學教學，往往遵循著問題情境、觀察探究、形成結論的過程。要讓學生在發現、創造、質疑中走出傳統的簡單思維、認知的窠臼，幫助學生拓展自我的認知結構，從而引導學生再創造、再發展，助推學生提升自我的數學認知，深化學生的數學理解。

四、把握“關節點”，創造學習“生成器”

前蘇聯著名教育家蘇霍姆林斯基認為，“教師的教學技巧不在于能預知課堂的所有細節，而在于能根據課堂當時的具體情況，巧妙地在學生學習過程中作出不知不覺的相關變化。”這種讓學生在學習過程中發生不知不覺變化的過程，就是動態生成的過程。動態生長這一概念是相當于預設的，更需要教師的教學機智，同時還需要學生學習數學的眼光、審視科學世界的數學思維等，從而讓學生達到事半功倍的效果。

比如教學人教版八年級下冊《勾股定理》這一部分內容之后，筆者引導學生反思、總結，把握“勾股定理”學習過程中的相關的重要關節點，創造學生的數學學習生成。反思1：勾股定理揭示了哪一類三角形的什么元素之間的關聯？反思2：在探索“勾股定理”的過程中，我們應用了哪些思想方法？反思3：應用“勾股定理”，我們應該注意什么？反思4：對于“勾股定理”，你還有什么要進行表達？通過這樣的反思，引導學生回顧、總結勾股定理的猜想、驗證等。通過反思、總結，不僅能讓學生所學的數學知識結構化，更能讓學生將數學知識探索過程以及思想方法結構化。這種結構化的總結，能讓學生把握數學知識的關鍵節點，促進學生數學學習的精彩生成。學生在反思中互動、交流，呈現了對勾股定理探索過程的多個看法、觀點，同時促進學生對數學知識的結構化應用，促進學生對相關數學知識的結構化遷移等。在初中數學教學中，引導學生把握數學知識的關鍵節點，培養了學生的個性和良好的思維品質。

把握學生數學認知的關鍵節點，要引導學生在學習過程中反思。通過反思，形成對相關知識的提煉和歸納。 在數學結構教學中，教師要關注學生的數學結構學習的參與度，提升學生數學結構學習的品質。在結構教學中，認知塊是基礎，問題鏈是線索，關節點是關鍵，而思維場則是載體。只有引導學生通過問題鏈，構筑認知塊，把握數學學科知識關鍵節點，打造學生的數學思維場域，才能讓學生感悟數學思想方法，形成學生的數學核心素養。