利用單位圓玩轉三角函數性質

王定暢

摘 要：高中數學教學中，三角函數的內容往往是學生難以理解的內容.其實，三角函數相關知識均是借助單位圓完成的，利用直觀想象這一基本數學素養，要求學生借助幾何圖形進行想象，從而感知事物的形態變化.由于在單位圓中研究三角函數，因此人們把三角函數還稱為“圓函數”.因此，利用單位圓研究正余弦函數的性質，對于學生更深刻地理解三角函數是非常有幫助的.

關鍵詞：單位圓;直觀想象;數形結合;教學反思

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）01-0049-03

5 掌握單位圓的基本要求

5.1 理清三角函數模型

如果要精確定義三角函數，則通常選擇一個特定的單位圓點并將其視為必要的定義坐標.通過使用上述定義方法，可以突出三角函數的一般特性，并在此前提下緊密聯系余弦和正弦函數.同時，在三角函數和單位圓相互結合的狀態下，學生可以快速識別出縱坐標和橫坐標之間的特定聯系，從而反映出最基本的函數特性.

5.2 簡化問題解決流程

如果三角函數線和單位圓實現相交關系，將有助于簡化相應的問題解決過程.具體而言，三角函數涉及域和周期特征，如果給出了單位圓對應著的某點坐標，那么將會由此而得出重復性的圓周長度.具體來說，每當角α旋轉一定范圍時，就會出現一個可重復的圓，直到它回到原來的角度位置為止.

5.3 理解數形結合思想

為了節省學生解決數學問題的時間，如果能引入單位圓作為解題的輔助，就能突顯數形結合的價值所在，對于整個解題流程也增強了直觀性.由上述研究實例可見三角函數和單位圓的靈活組合有助于突出直觀性和生動性，借助圖形可以快速實現特定的數學原理推導過程.同時，單位圓本身也具有對稱性，實現了導出公式的有序推導，構成了一個有機的整體.

通過三角函數定義的引入，讓學生先嘗試利用定義來探究三角函數的性質，激發學生的探索欲望，其次通過實例讓學生體驗通過自身努力去發現新事物的樂趣，同時在探究過程中從形與數兩個角度對發現的性質加以研究和證明，加深了學生對三角函數的理解并體會數學探索過程中的嚴謹性.最后，在已有的研究基礎上，引導學生通過類比的方法來研究出余弦函數的性質，并且通過比較正余弦函數的聯系，引導學生利用平移由正弦函數的性質得到余弦函數的性質，同時也開拓了學生的視野.雖然這節課從借助單位圓來探究正余弦函數的性質總體上是比較方便的，但是也有一些點對于學生有一定難度，例如在探究正弦函數單調性時區間的選擇，此外，如何利用單位圓去發現正余弦函數的其他性質也是值得思考的一個地方.

通過以上分析，我們可以看到三角函數和單位圓之間存在固有的聯系.當面對特定的數學問題時，如果高中生可以引入單位圓作為輔助來解決問題，他們可以突出數與形組合的價值，并增強整個問題解決過程的直觀性.因此，在解決數學問題的實踐中，學生仍然需要不斷積累解決問題的經驗.必須為不同類型的三角函數選擇靈活的解決方案，以簡化解決問題的過程.

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[責任編輯：李 璟]