基于Ordered SIMP 插值模型的點陣-實體復合結構拓撲優化設計方法

劉繼凱，張乘虎，袁志玲，黃嘉奇

（1.山東大學機械工程學院，山東濟南 250061；2.濰柴動力股份有限公司，山東濰坊 261061）

拓撲優化（Topology optimization）是以結構設計域內的材料分布為研究對象，在滿足給定的邊界以及約束條件下，尋找設計域內最優材料分布以實現結構性能達到最優的結構設計方法［1］.而與實體材料相比，點陣材料作為一種先進新型輕質材料，具有超輕、高能量吸收性、高孔隙率等功能屬性［2-6］.因此，在拓撲優化結構設計中采用點陣材料可以獲得更豐富的性能.

近年來，基于變密度點陣材料的多尺度結構拓撲優化方法得到了廣泛的研究［7-9］.Cheng 等［10］提出了一種基于應力約束的變密度點陣材料結構拓撲優化方法，通過實驗驗證了方法的有效性.Wang 等［11］提出了一種控制點陣材料微觀結構中多個幾何參數的點陣材料拓撲優化方法，相比于單一幾何參數變量控制的優化方法，該設計方法優化得到的結構性能具有明顯提升.Liu等［12］提出了一種多類點陣材料填充的拓撲優化方法，每個單元中點陣材料的分布考慮兩個設計變量，即點陣材料類型和它的幾何參數，有效地擴大了結構的設計自由度.這些通過參數化表征點陣材料等效力學性質的多尺度拓撲優化方法具有很高的計算效率.然而，點陣材料的剛度和強度與實體材料相比仍有很大差距.因此，很多情況下僅使用點陣材料填充的設計無法提供足夠的力學性能.

為解決上述問題，本文基于Ordered SIMP 方法［13］，建立了點陣-實體多材料插值模型，提出一種全新的點陣-實體復合結構拓撲優化方法.將其應用于簡支梁的設計，并通過數值算例和實驗測試驗證了該方法的有效性.

1 點陣-實體復合結構拓撲優化模型

1.1 點陣材料等效力學性能計算

基于多尺度設計理念，將宏觀結構離散為若干單元，每個單元代表一種待設計的微結構胞元，且微結構胞元的等效力學屬性可基于能量均勻化方法求得［14-18］.在變密度法拓撲優化設計中，微結構胞元的相對密度ρL表示為微觀尺度上微結構胞元實體部分體積相對于設計域體積之比，如式（1）所示：

式中：vL為微結構胞元實體部分的體積；v為微結構胞元的設計域體積.

本文中，采用一種三維X 型微結構作為點陣材料胞元（如圖1），它具備抗拉壓和抗剪切能力，以及增材制造加工過程中的自支撐優勢.通過改變結構中桿的直徑，點陣材料的相對密度隨之改變.點陣材料的等效彈性矩陣DH可表示為：

圖1 三維X型點陣材料Fig.1 3D X-shape cubic lattice unit

在不失一般性的前提下，為了便于計算式（2）中等效彈性矩陣DH，假設點陣材料的基材料彈性模量為E0=100 MPa，泊松比為μ=0.3.基于能量均勻化方法［14-18］，可計算得到點陣材料的彈性矩陣，如圖2所示.顯然，為了更優的結構性能，在優化設計過程中需要設計一系列相對密度的點陣材料.然而，通過均勻化方法求解每個微觀結構彈性矩陣的方法相對耗時.為獲取一系列相對密度的點陣材料的彈性矩陣，通過采集一定數目樣本點數據，使用擬合的方法，建立點陣材料相對密度及其等效彈性矩陣的數學關系式.考慮擬合精度與計算效率，建立5 次多項式函數作為擬合關系式：

圖2 變密度點陣材料的彈性矩陣Fig.2 Elastic matrices of the varying-density lattices

式中：dij為彈性矩陣DH中的元素.

考慮點陣材料的可制造性，本文設計過程中點陣材料的相對密度變化范圍是15%～70%，在相對密度變化范圍內取樣，并計算對應點陣材料的彈性矩陣.其彈性矩陣中有3 個相互獨立的的參數，分別對應3 個擬合函數.基于24 個樣本點，使用最小二乘法，得到擬合函數的相關參數如表1 所示，擬合效果如圖3所示.

表1 擬合函數的相關參數表Tab.1 Parameters of the interpolation functions

圖3 彈性矩陣系數的擬合關系曲線Fig.3 Interpolation curves of the elastic matrix components

1.2 點陣-實體多材料插值模型

針對一定體積約束下的柔度最小化問題，在點陣-實體復合結構拓撲優化設計方法中主要有以下兩種方案.其一，首先基于SIMP（solid isotropic mate?rial with penalization）方法［1］對結構進行小于體積分數約束的宏觀拓撲優化設計，并將優化得到的結果定義為實體.之后，在宏觀設計域進行剩余體積分數約束下的點陣材料填充的拓撲優化設計.該方法的局限性在于將點陣-實體復合結構的拓撲優化設計過程分離，造成設計結果偏離最優解.另一種設計方案是將點陣材料的密度上限提高到實體材料密度，從而將實體材料加入到等效材料本構參數的擬合樣本中.然而，這種處理方法得到的優化結果中會引入大量的高密度點陣材料，即密度接近于1 而未形成完整實體的單胞，這部分高密度點陣材料單胞會形成明顯的封閉空腔，可制造性差.為了解決以上設計方案的不足，本節基于Ordered SIMP 插值模型，建立了一套點陣-實體多材料插值模型.

多材料插值模型中的自變量是點陣材料和實體材料的相對密度，它們具有統一性，無需歸一化處理.因此，只需歸一化處理點陣材料和實體材料的物理屬性，作為多材料插值模型中的因變量.多材料插值模型可表示為：

根據上述多材料插值方法，單元密度ρe的取值范圍是［0.15～1］.其中，點陣材料的密度設計上限即為實體材料的密度設計下限，點陣材料的相對密度取值范圍是［0.15～0.7］，實體材料的密度取值范圍是（0.7～1］.在優化迭代過程中，可通過施加密度懲罰的方式消除實體材料插值引起的中間密度問題.因此，建立點陣-實體多材料插值模型如圖4所示.

圖4 點陣-實體多材料插值模型Fig.4 Lattice-solid multi-material interpolation model

1.3 結構柔度問題的拓撲優化模型

本文以典型拓撲優化中柔度最小化問題為例，展示所提出方法的求解流程，該問題的具體數學表達如下：

根據所建立點陣-實體多材料插值模型，得到單元密度ρe與其彈性矩陣之間的映射函數關系，其單元剛度矩陣ke如下：

式中：Ωe為單元設計域；B為單元的應變矩陣；DA·D0為DA與D0的哈達瑪積（Hadamard product）.

將單元剛度陣組裝為結構總剛度陣K，并通過有限元方法計算獲得結構位移U.根據鏈式法則，求解拓撲優化問題的靈敏度信息.其中，目標靈敏度為：

式中：ue為單元位移；n為設計變量數目.

體積靈敏度為：

根據上述求解過程中所獲得的系統狀態和靈敏度信息，使用移動漸近線方法（MMA）［19］更新設計變量，直至滿足收斂條件，從而結束整個優化過程.本文所提出的點陣-實體復合結構拓撲優化方法具體流程如圖5所示.

圖5 點陣-實體復合結構拓撲優化方法流程圖Fig.5 Flow chart of the topology optimizati on method for hybrid lattice-solid structures

2 實施案例

本章對簡支梁結構進行點陣-實體復合結構的拓撲優化設計.通過與其它點陣材料填充的設計方法對比，充分展示了該設計方法的有效性.進一步，通過三點彎曲實驗驗證了本文所提出的拓撲優化方法的優越性.

2.1 數值算例

如圖6 所示，長度48 mm，寬度8 mm，厚度為14 mm 的簡支梁由頂層、中間層和底層組成.梁的兩端被支撐，其中間位置承受壓力大小為60 N 的負載.優化設計的要求如下：

圖6 簡支梁的優化設計模型及邊界條件Fig.6 Design domain and boundary conditions of the simply supported beam example

1）簡支梁的中間層為設計域，頂層和底層為非設計域；

2）體積約束為設計域的40%.

使用本文提出的點陣-實體復合結構拓撲優化設計方法設計簡支梁結構.考慮優化設計問題的對稱性，只需對設計域的1/2 進行優化設計.首先進行網格劃分，使用八節點正六面體單元將設計域劃分為2 688 個單元，單元的大小為1 mm×1 mm×1 mm，單元密度的變化范圍為［0.15～1］，在［0.15～0.7］范圍內對應變密度點陣材料，其余范圍對應實體材料.拓撲優化的初始設計為相對密度為0.4的單一點陣材料填充.拓撲優化迭代過程如圖7 所示，整個優化過程中結構總體積基本保持不變，而結構柔度迭代曲線很快收斂，并最終收斂到189 mJ，柔度減小到初始設計的63%.

圖7 簡支梁的優化迭代過程Fig.7 Convergence history of the simply supported beam example

為了更好地展示最終優化結構的細節，使用合并單元的方法，即將相鄰四個單元的密度取平均值等效為一個單元，重建了最終優化結果對應的完整結構，如圖8所示.由圖8可知，機械性能更好的實體材料和高密度點陣材料分布在結構中施加邊界條件處，在受力較小的結構側上方，分布了低密度點陣材料.在相同工況和網格數目下，表2 展示了本文所提出設計方法與另外兩種點陣材料填充設計方法的優化結果對比.其中，設計方案A 為本文所提出實體-點陣復合結構拓撲優化設計方案，方案B 為僅使用變密度點陣材料進行的填充優化設計，方案C 為均勻點陣材料填充.通過對比可以看出，本文所提出設計方法具有更優異的力學性能.

圖8 優化結構的細節展示Fig.8 Structural details of the optimization result

表2 不同設計方案優化結果數值對比Tab.2 Numerical comparison of the different design solutions

2.2 實驗驗證

為了進一步驗證本文提出的點陣-實體復合結構拓撲優化方法的有效性，本節對3 種設計方案對應的簡支梁模型進行了實驗測試.通常使用增材制造的加工方式打印形狀復雜的拓撲優化模型［20］.DLP 光固化技術是采用紫外光在液態光敏樹脂表面進行掃描，從而逐層生成工件的增材制造加工方式［21］.它具有加工效率高、成型精度高的優點［22］.使用DLP 型3D 打印機（Rayshape Shape 1）和標準灰色樹脂完成實驗模型的打印，并同時在紫外光照射下固化15 min.對圖8 中的設計結構進行等比例縮放后，模型的尺為240 mm×70 mm×20 mm，其中每個點陣材料的尺寸為5 mm×5 mm×5 mm.為了避免實驗偶然性，每組加工了兩個模型進行實驗.

在萬能拉伸試驗機上，以2 mm/min 的速度分別對實驗模型加載，并記錄載荷和位移曲線如圖9 所示.由實驗曲線可知，設計方案A 優化后的模型具有更優的剛度，這與數值算例的結果是相符的.

圖9 實驗載荷和位移曲線Fig.9 Experimental load-displacement curves

3 結論

本文基于Ordered SIMP 插值模型，提出了一種全新的點陣-實體復合結構拓撲優化設計方法.總結全文可得到以下結論：

1）運用本文所提出方法可以實現點陣材料的相對密度和其等效力學屬性的高精度的擬合，從而降低多尺度結構拓撲優化的計算成本.

2）本文將Ordered SIMP 插值模型引入點陣-實體復合結構設計，解決了傳統設計方案中點陣材料和實體材料“分離”設計的缺陷.算法在尋優過程自動分配實體材料和點陣材料的比例，避免了人為干預，更具嚴謹性.

3）本文所提出的點陣-實體復合結構設計方案可以得到機械性能更優的結構，同時發揮點陣材料填充設計的優勢，優化結構滿足結構自支撐條件，且具有高能量吸收性和流體通透性.

4）本文所提出的點陣-實體復合結構拓撲優化設計方法對不同點陣材料具有廣泛的適用性.