巧用反比例函數(shù)k的幾何意義模型解題

黃秋燕

(福建省晉江市第五中學(xué) 362200)

教師在解題教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、幾何直觀、推理能力和模型思想，通過(guò)讓學(xué)生體會(huì)模型的發(fā)現(xiàn)，探討模型的解題思路，把數(shù)形結(jié)合思想及參數(shù)意識(shí)貫穿于解題過(guò)程，以此教會(huì)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方式進(jìn)行思考，促進(jìn)其應(yīng)用能力的提升，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合能力.下面主要談?wù)劮幢壤瘮?shù)k的幾何意義的各類模型及其它們的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

1 反比例函數(shù)面積不變形模型(k的幾何意義)

結(jié)論1：S矩形ABEO=S矩形DOFC=|k|;

圖1

2 反比例函數(shù)的面積公式模型

結(jié)論3：SΔABO=S梯形AMNB(如圖2)

圖2 圖3

3 反比例函數(shù)的平行性質(zhì)模型

結(jié)論4：過(guò)點(diǎn)A、B分別作x軸、y軸的垂線，則AB//MN.(如圖3)

4 反比例函數(shù)等線段性質(zhì)模型

結(jié)論5：過(guò)點(diǎn)A、B作直線與坐標(biāo)軸分別交于M、N兩點(diǎn)，則AM=BN.(如圖4,5)

圖4 圖5

圖6

(1)求k的值；

(2)連接OA，OB.若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，求△AOB的面積；

(3)若直線AB分別與x軸，y軸交于點(diǎn)M，N，求證：AM=BN.

(2)過(guò)點(diǎn)A作AF⊥x軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E.

∴SΔAOF=SΔBOE=5.(此步運(yùn)用反比例函數(shù)的面積不變形模型的結(jié)論2可得)

(3)此題是一般方法，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥y軸于點(diǎn)G.

FM=OM-OF=6m-5m=m，

∵∠NGB=∠AFM=90°，

∴△NGB≌△AFM，∴AM=BN.

解法二：先求得SΔNOB=SΔAOM，再利用等高得到AM=BN；

解法三：在RtΔNGB和RtΔAFM中，利用勾股定理求得AM=BN.

【解后反思】本題考查反比例函數(shù)的模型應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、幾何直觀、推理能力、模型思想等，體現(xiàn)初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，“用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程和函數(shù)的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律”.

5 反比例函數(shù)之同側(cè)雙曲模型

圖7

結(jié)論6:S矩形ABNP=|k1-k2|(如圖8，9).

圖8 圖9

圖10 圖11

6 反比例函數(shù)之異側(cè)雙曲模型

圖12 圖13

A.2 B.4 C.6 D.8

圖14

可得BD=2AD,

又∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=OA.

總之，基于以上六類模型的總結(jié)和類型例題的講解，學(xué)生可以通過(guò)對(duì)模型的熟悉和掌握，得出解題的技巧，從而幫助學(xué)生解決此類問(wèn)題做到得心應(yīng)手.我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)該重視這些模型的掌握和應(yīng)用.