例談線型伴隨軌跡問題

蘇國東

(廣東省廣州市真光中學 510380)

伴隨軌跡問題，指的是一個伴隨點(也叫從動點)遵循某種關系伴隨著一個主動點的運動而形成軌跡的動態問題，是初中數學的重難點問題之一，要求學生具備良好的圖形建模能力、動態思維能力和邏輯推理能力．伴隨軌跡問題類型較多，在初中數學壓軸題中常見的有線型和圓型兩類．

本文研究其中的線型伴隨軌跡問題，即主動點在給定的直線上運動，此時伴隨點的軌跡一般也為直線．與圓型問題的情況不同，線型問題中缺乏圓心這樣的控制點，所以需要在線型軌跡中找出特殊點作為代替．解題的關鍵在于找出特殊伴隨點的位置(即已知主動點、伴隨點和特殊主動點，求特殊伴隨點)，兩點即可確定出伴隨軌跡直線，方法是讓特殊主動點作與主動點相同的操作．

下面通過引例及兩道具體例題進行闡述．

引例如圖1，動點P在直線l上運動，點M是平面內的一個定點，MO⊥l于點O，以PM為邊向右側作等邊△PMQ，求點Q的軌跡．

解析依題意，點P為主動點，點Q為伴隨點，點P在直線l上運動，不妨取l上的點O作為特殊主動點．點P實際上是繞定點M逆時針旋轉了60°得到點Q，所以只要將點O作與主動點P相同的操作即可確定出特殊伴隨點．

圖1 圖2

如圖2，將OM繞點M逆時針旋轉60°得到O1M，連接OO1，得等邊△OMO1，與等邊△PMQ構成“手拉手”全等模型．連接O1Q，易證△OMP≌△O1MQ，所以O1Q=OP，∠MO1Q=∠MOP=90°．又∠OMO1=60°，由四邊形MOHO1內角和為360°算得∠PHQ=120°，所以直線O1Q與l的夾角為60°(也可根據“手拉手”模型的結論得知其夾角度數等于∠OMO1的度數)．

因此隨著點P在直線l上運動，點Q也會在與l成60°角的定直線O1Q上運動，其軌跡長度與點P相同．

變式如圖3，動點P在直線l上運動，點M是平面內的一個定點，MO⊥l于點O，以PM為邊向右側作等腰直角△PMQ，其中∠MPQ=90°，求點Q的軌跡．

圖3 圖4

例1 如圖5，已知點A(0，2)，點P是x軸上的一個動點，將線段AP繞點A逆時針旋轉90°得到線段AQ．當點P從點(-3，0)運動到點(1，0)時，點Q運動的路徑長為____.

解析依題意，點P為主動點，點Q為伴隨點，取l上的點O為特殊主動點．因為AP繞定點A逆時針旋轉了90°得到AQ，所以將AO繞點A逆時針旋轉90°即可得到AO1，如圖6所示．

圖5 圖6 圖7

連接O1Q，易證△AO1Q≌△AOP，所以O1Q=OP，∠AO1Q=∠AOP=90°．因此點Q在垂直于x軸的直線O1Q上運動，其軌跡長度與點P相同．因為點P的運動路徑長為1-(-3)=4，所以點Q運動的路徑長也為4．

有興趣的讀者可再探究如下變式，此處不再贅述．

變式如圖7，已知點A(0，2)，點P是x軸上的一個動點，以線段AP為一邊，在其右側作等邊△APQ．當點P從點(-3，0)運動到點(1，0)時，點Q運動的路徑長為____.

例2 如圖8，已知點A(0，-1)，點E(3，0)，點C是x軸上的一個動點，△AOB和△BCD(B、C、D按逆時針順序排列)都是等腰直角三角形，∠OAB=∠BDC=90°．當點C從原點O出發，沿x軸正方向運動到點E處時，求點D運動的路徑長．