如何用習題鏈提升初中生數學解題能力

袁飛林

(福建省上杭縣白砂中學 364205)

初中數學涉及很多知識點，其中二次函數是中考的必考知識點，習題類型復雜多變.為使學生掌握二次函數不同題型的解題能力，應結合教學經驗，圍繞具體教學內容，做好習題鏈的設計與應用.

1 二次函數圖像與性質

二次函數圖像與性質類型的習題多較基礎，教學中為使學生能夠靈活解答相關習題，應注重以下問題鏈的設計：

問題1已知點A(1，y1)，B(2，y2)在拋物線y=-(x+1)2+2上，則下列結論正確的是( ).

A.2>y1>y2B.2>y2>y1

C.y1>y2>2 D.y2>y1>2

該題目較為簡單，已知兩個點的橫坐標，要求點的縱坐標，因兩點在給出的拋物線上，因此，將x=1和x=2分別代入拋物線解析式可求得y1=-2，y2=-7，因此可得2>y1>y2，正確選項為A.

問題2二次函數y=ax2與一次函數y=ax+a在同一坐標系中的大致圖像可能為( ).

根據二次函數性質可知，對于y=ax2的圖像，a>0，開口向上，a<0開口向下.對于一次函數y=ax+a，a>0，y隨著x的增大而增大，且與y軸交于正半軸.a<0，y隨x的增大而減小且與y軸交于負半軸.觀察二次函數與一次函數系數可知，如a>0，二次函數開口向上，一次函數過一、二、三象限，A、B兩項錯誤.如a<0，二次函數開口向下，一次函數過二、三、四象限，D項錯誤，只有C項是正確的.

圖1

A.①② B.②③ C.③④ D.②④

二次函數圖像與性質解題教學中，設計上述問題鏈，嚴格把握問題鏈難度，由易到難逐步遞進，使學生樹立解題自信的同時，更容易激發學生學習積極性.其中問題1從基礎知識入手，樹立學生解題自信；問題2靈活考查二次函數系數與函數圖像之間的關系，鞏固學生所學；問題3難度較大，深化學生對二次函數圖像的理解，能很好的提高學生綜合分析問題的能力.

2 二次函數圖象的平移與對稱

在講解函數圖像平移知識時，相信教師都總結有“上加下減，左加右減”這一規律.為使學生能夠靈活應用該規律，可要求學生解答下面的問題：

問題4將拋物線y=(x-2)2-3的圖像向下平移2個單位，得到的拋物線解析式為____.

由拋物線平移規律“上加下減，左加右減”可知，平移后y=(x-2)2-3-2=x2-4x-1.

問題5將拋物線y=x2+bx+c的圖像向右平移2個單位，再向下平移3個單位，得到圖像的解析式為y=x2-2x-3，則b、c的值分別為____.

該題目同樣可使用總結的規律進行解答，不同的是需要采用逆向思維，由后向前進行推理.由平移后的解析式y=x2-2x-3=(x-1)2-4，先向上平移3個單位，再向左平移2個單位，得到y=(x-1+2)2-4+3=(x+1)2-1=x2+2x，由此可知b=2，c=0.

問題6在平面直角坐標系中函數圖像A與二次函數y=x2+x-2的圖像關于x軸對稱，而后函數圖像B與圖像A關于y軸對稱，則函數圖像B對應的函數解析式為____.

該題目難度較大，破題時可引導學生從單一的點進行分析，找到其中的規律，分析可知點關于x軸對稱的點，橫坐標不變，縱坐標互為相反數；關于y軸對稱的點，縱坐標不變，橫坐標互為相反數.圖像A與二次函數y=x2+x-2的圖像關于x軸對稱，則圖像A對應的解析式為-y=x2+x-2，即y=-x2-x+2.函數圖像B與圖像A關于y軸對稱，則函數圖像B對應的函數解析式為y=-(-x)2-(-x)+2=-x2+x+2.

在解答函數圖像平移習題時設計上述問題鏈，不僅能鞏固學生所學，而且能獲得事半功倍的解題效果.問題4較為簡單，考查學生對圖像平移規律的應用；問題5難度有所提升，鍛煉學生逆向思維，提升學生運用平移規律解題的靈活性；問題6能很好的拓展學生視野，進一步深化學生對函數圖像關系的認識與理解.

3 二次函數與方程

二次函數與一元二次方程聯系緊密.為提高學生解答相關習題的能力，可設計如下問題鏈：

問題7若方程x2-3x+k=0的一根大于1，一根小于1，則k的取值范圍是____.

將方程的根看成是函數y=x2-3x+k圖像與x軸交點的橫坐標.解答該題應充分考慮一元二次函數圖像與x軸相交的每一種可能的情境，找到其共同點進行解答.分析可知要想一根大于1，一根小于1.觀察圖像可知，只需當x=1時，函數值y小于零即可，即1-3+k<0，解得k<2.

問題8若關于x的一元二次方程x2+ax+b=0有兩個不同實根m、n，(m

A.m

C.m

該題目看似難度較大，但只要進行適當的變形，運用數形結合思想不難解答.對方程x2+ax+b=1，變形可得x2+ax+b-1=0；分別令y1=x2+ax+b，y2=x2+ax+b-1，其中m、n為y1圖像與x軸交點的橫坐標.由函數圖像平移將y1的圖像向下平移1個單位得到y2的圖像.在同一直角坐標系中繪制出兩個函數的圖像，如圖2所示，由圖可清晰的看到p

圖2

問題9三個關于x的方程：a1(x+1)(x-2)=1、a2(x+1)(x-2)=1、a3(x+1)(x-2)=1，已知常數滿足a1>a2>a3>0，若x1，x2，x3分別是按上述順序對應三個方程的正根，則下列關系正確的是( ).

A.x1

B.x1>x2>x3

C.x1=x2=x3

D.無法確定x1，x2，x3的大小關系

在解答二次函數與方程知識時，設計上述問題鏈，能很好的拓展學生思維，促進學生解題能力更好的提升.問題7難度中等，靈活考查根與系數的關系；問題8既考查函數與方程之間的關系，又考查函數圖像平移知識的靈活應用；問題9考查學生轉化以及數形結合思想，促進學生解題能力的進一步提升.

為達到預期教學目標，使學生通過解答設計的習題鏈，既能樹立自信，鞏固所學，又能拓展視野，掌握相關的解題思想，在以后的解題中少走彎路，應結合學生實際，設計由易到難，逐步深入的習題鏈.同時，在課堂上給學生留下充足的思考時間，加深其印象，尤其還應鼓勵學生做好解題總結，及時堵住知識漏洞，彌補解題中的不足.