數(shù)學(xué)“轉(zhuǎn)化思想”的教學(xué)

張麗敏

(福建省三明市第三中學(xué) 365001)

在當(dāng)前的課程改革中，基于培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，對學(xué)生的學(xué)習(xí)能力要求越來越高.授之以魚，不如授之以漁.讓學(xué)生認識、理解數(shù)學(xué)思想方法是新課程的任務(wù)，讓學(xué)生學(xué)會使用這些思想方法是我們教學(xué)的一項重要目標(biāo).

數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想是初中階段學(xué)生需要學(xué)習(xí)的最重要、最基本、同時也是應(yīng)用最普遍的數(shù)學(xué)思想之一.那么，在初中階段，應(yīng)當(dāng)怎樣實施“轉(zhuǎn)化思想”的教學(xué)任務(wù)呢？

1 準(zhǔn)確理解轉(zhuǎn)化思想的內(nèi)涵是有效運用轉(zhuǎn)化思想的根本

轉(zhuǎn)化思想源于普通的數(shù)學(xué)知識，但是又凌駕于普通的數(shù)學(xué)知識之上，所以，在教學(xué)時應(yīng)該注意滲透知識蘊含的思想方法，并且在掌握了必要知識的前提下，對相應(yīng)的思想方法做出恰當(dāng)?shù)臍w納.包括： (1)由繁雜到簡單；(2)由困難到容易；(3)由未知到已知.即把一個陌生的、不熟悉的、相對繁雜的、需要處理的新問題，經(jīng)過恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換，化歸為一個熟諳的、簡單的或已經(jīng)處理了的舊問題，這就是轉(zhuǎn)化思想.所以，我們也稱轉(zhuǎn)化思想為化歸思想.

2 明晰轉(zhuǎn)化思想的使用原則是有效使用轉(zhuǎn)化思想進行解題的保證

2.1 將隱蔽性的條件轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言并清楚地表述出來

例如：在分析應(yīng)用題中的銷售問題時，往往要用到這樣的等量關(guān)系：利潤=收入-成本、收入=銷售量×售價、單件利潤=售價-進價等等，而這些等量關(guān)系一般不會在題中直接體現(xiàn)，這時候就需要自己明晰這些隱藏的關(guān)系.在幾何題中也時常會碰到必須轉(zhuǎn)化隱藏條件的情況，如：已知等腰△ABC兩條邊分別為4cm和9厘米，求△ABC的周長.本來按分類討論的思想第三邊為4cm或9cm，但圖形為三角形，應(yīng)考慮隱藏條件：任意兩邊之和大于第三邊，若第三邊長為4cm，則不滿足三邊關(guān)系，所以第三邊只能為9cm，周長22cm.又如對頂角、公共角、公共邊，均屬于隱藏條件，通過觀察圖像，推出角相等或邊相等，用符號表述.

2.2 盡可能地直觀、形象

把信息盡可能轉(zhuǎn)化成圖形、示意圖，并用醒目的符號進行標(biāo)記，使已知、未知及其之間的關(guān)系一目了然，從而使思維更加簡捷、直觀.

比如求證：等腰三角形兩條腰上的高相等.結(jié)合已知條件“一個三角形是等腰三角形，兩條腰上各有一條高”，畫出一個等腰△ABC及腰AB、AC上的高CD、BE，并結(jié)合圖形寫出已知： 在等腰 △ABC中，CD⊥AB交AB于點D、BE⊥AC交AC于點E.求證：CD=BE.又如線段或角的和差倍數(shù)求解，按要求畫出圖形，結(jié)合條件在相應(yīng)圖形上做出長度或角度的標(biāo)記，就便于觀察、進行直觀判斷.尤其涉及幾何綜合題，面對復(fù)雜多變的條件，將條件在圖形中進行標(biāo)記就更有必要了.

2.3 善于聯(lián)想

根據(jù)題目所給的條件，首先想起(1)與題目有關(guān)聯(lián)的概念、定理、性質(zhì)、規(guī)律等基礎(chǔ)知識和基本解法；(2)猜到或許要用的解題策略；(3)想到已經(jīng)解過的題型；(4)想到與題目相似的、甚至是相反的信息，達到將新問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決過的舊問題的目的.其次進行類比的手法，采用特殊化或者一般化等途徑分析新問題，從而得到處理新問題的要領(lǐng)，以解決新問題.

例如2019年福建省中考數(shù)學(xué)試題第24題：如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=AC，點F在BD的延長線上，DF=DC，AC⊥BD，垂足為E，連接AF、CF，AF=10，BC=4.

圖1

(1)求證：∠BAC=2∠CAD；

(2)求tan∠BAD的值；

綜合2.1;2.2，使用思維導(dǎo)圖對本題涉及的基本知識、解法、解題方向、題型等展開聯(lián)想：

學(xué)生對題目理解困難的重要原因之一就在于不會整理信息并展開聯(lián)想，第(1)小題，以建立方程為解題方向，結(jié)合思維導(dǎo)圖，觀察角的隱藏條件，如同弧所對圓周角相等，三角形內(nèi)角和180度并在圖形中標(biāo)記，綜合聯(lián)想到的有關(guān)角互余和等弦等角或等腰三角形兩底角相等的結(jié)論，確定角之間的和差倍數(shù)關(guān)系，列出方程，進行化簡即得兩角的二倍關(guān)系；第(2)小題，根據(jù)條件及圖形判斷∠BAD沒有在直角三角形中出現(xiàn)，已知的直角三角形中也沒有和它相等的角，所以必須構(gòu)造∠BAD所在的直角三角形，于是引出輔助線：過D點作DG⊥AB于點G，構(gòu)造直角三角形AGD，運用相交弦得比例式或面積法列方程求解相關(guān)線段長度，最后根據(jù)正切函數(shù)的定義求值.

所以，聯(lián)想是突破思維瓶頸的有效方式，根據(jù)聯(lián)想的內(nèi)容進行整合，綜合把握可以有效突破難題.

2.4 爭取化繁為簡

如果題目給的條件或結(jié)論中出現(xiàn)結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的內(nèi)容，就要先用簡便形式體現(xiàn)，再用簡潔的語言展示出來，使條件或結(jié)論簡化.

如銷售問題，由于涉及大量數(shù)據(jù)，如果不能簡化信息，閱讀時會存在一定的困難甚至出錯，用表格形式整理信息就很有必要.列舉出不同物品的進價、標(biāo)價、售價、銷售量、利潤，使數(shù)據(jù)按類別排列，達到化繁為簡的目的，量與量之間的關(guān)系在表中也一目了然,再結(jié)合2.1中提到的運用隱藏的等量關(guān)系，易得方程.又如運輸問題：某公司在甲、乙兩倉庫分別存放一種原料240噸和210噸.(1)如果運出甲倉庫所存原料的60%，乙倉庫所存原料的40%，求從甲乙兩倉庫共運出原料多少噸；(2)公司需要將甲、乙兩倉庫共300噸原料運往工廠，其中甲倉庫運出m噸，從甲、乙兩倉庫到工廠的運價分別為120元/噸和100元/噸.求總運費(用含m的代數(shù)式表示).(1)相對簡單，(2)條件不進行簡化整理則不易理清條件關(guān)系，以(2)為例簡化如下表：

2.5 重視解后研究

歸納解答一道題目的經(jīng)驗，思考該題是不是可以拓廣，解法是否可以推廣？能運用在其他題目上嗎？若能，拓廣出的新內(nèi)容則又轉(zhuǎn)化成了新的結(jié)論，也加強了學(xué)生對轉(zhuǎn)化思想的了解、促進了使用轉(zhuǎn)化思想的能力提升，進一步達到解一題通一類的目的.例如在2.3善于聯(lián)想中提到2019福建省中考數(shù)學(xué)試題第24題，通過進一步思考，可以歸納出：圓或多邊形的問題通常通過添加輔助線，轉(zhuǎn)化為特殊四邊形或三角形，而求解線段或角度的問題就是構(gòu)建方程，達到解決這一類問題的目的.也正是因為之前對相應(yīng)類型題的解后研究，提供該題的思路.

3 明晰轉(zhuǎn)化思想的形式內(nèi)容是準(zhǔn)確運用轉(zhuǎn)化思想的重要條件

3.1 局部轉(zhuǎn)化

即將題目中的條件或結(jié)論進行逐步轉(zhuǎn)化，一般分為順推轉(zhuǎn)化和逆推轉(zhuǎn)化.

順推轉(zhuǎn)化即轉(zhuǎn)化已知條件，推出結(jié)論.例如求證：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.證明思路即是通過將“對角線互相垂直”的條件推導(dǎo)轉(zhuǎn)化為“一組鄰邊相等”，從而利用菱形的定義證出該命題成立.

3.2 整體轉(zhuǎn)化

將舊問題細化為若干個新的問題，只要將這些新問題解決了，原來的舊問題也就解決了.例如：在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個頂點坐標(biāo)A(3,6)、B(1,2)、C(6,5)，求△ABC的面積.條件是各個頂點的坐標(biāo)，要求是三角形的面積.如果直接求解，容易使用勾股定理求出各條邊的具體長度，但是難以求出邊上的高，所以不易直接求出面積，這時候怎么辦呢？轉(zhuǎn)換思路：在△ABC的外部構(gòu)造矩形DBEF，將條件中三個頂點坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成矩形的長、寬及Rt△ADB、Rt△BEC、Rt△AFC中直角邊的長度，將要求的問題△ABC的面積轉(zhuǎn)化成求矩形DBEF、Rt△ADB、Rt△BEC、Rt△AFC的面積，再用矩形DBEF的面積減去三個直角三角形的面積和即得△ABC的面積.

轉(zhuǎn)化的過程可以表現(xiàn)在不同的層次上，也可以表現(xiàn)在不同內(nèi)容之間，比如代數(shù)與幾何之間，有的就出現(xiàn)在解決某個具體問題的過程中.

總之，轉(zhuǎn)化思想方法(也稱化歸思想方法)幾乎時時刻刻存在于每個問題當(dāng)中.數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的教學(xué)也不是一時半刻就能完成的，需要教師們結(jié)合教材的具體內(nèi)容反復(fù)進行教學(xué)指導(dǎo)，需要學(xué)生不斷努力學(xué)習(xí)才能真正掌握.