簡明求解浸漸不變量的三步法

陳向正 李 力 王 偉

（重慶市清華中學，重慶 400054）

1 浸漸不變量

當一個周期性運動系統的某個參數發生緩慢變化時，系統可能存在不隨時間變化的物理量，［1-2］這個量稱為“浸漸不變量”，其英文術語為“adiabatic invariant”.好比水滲透一般的緩慢，“adiabatic”常譯作“浸漸”，取“無限緩慢”的意思.［3］

“浸漸不變量”的求解原本是分析力學課程的內容，從哈密頓力學的正則變換出發可以導出浸漸不變量.目前，此類問題已出現在高中物理培優輔導之中.因此，找到一種簡潔清晰、易懂易用的初等方法，從而引導學生更容易理解物理本質并求解浸漸不變量，是值得物理教師認真鉆研、迫切需要解決的重要課題.文獻［4-6］已經給出了一些初等解法，特別是文獻［6］為了更適合中學生的學習理解，對初等解法作了一定的改進，但仍然比較繁瑣，且思路不夠自然清晰，還有進一步優化的必要.

既然由于參數的緩慢變化導致某周期性運動中產生了“不變量”，所以原則上不必考慮任何一個時刻，而只需考慮一個周期內的平均效果，也能找到相應的“浸漸不變量”.遵循這一想法，本文從“微分”、“有效值”、“能量”3個基本概念出發，提煉出一種思路非常自然、更加通俗易懂的“三步法”，能夠簡明求解浸漸不變量.此初等方法物理本質凸顯，物理圖像鮮明，數學推導簡單，值得向廣大中學師生介紹.

2 “三步法”要點

第（1）步微分運算.常用的公式有d（uv）=vdu+udv；若二元函數z=z（x，y），則全微分dz=zxdx+zydy，其中zx、zy分別是z對x、y的偏導數.

第（2）步巧用有效值.由我們熟悉的正弦式交變電流i=Imcosωt的有效值I的定義，顯然有故；這個關系可推廣至任意對時間t正弦式變化的物理量，即若x=Xmcosωt，則x2對時間的平均值

第（3）步能量守恒.視具體問題的不同，其表達式往往靈活采取不同的形式，如熱力學第一定律的形式dE=dW+dQ.

依據前面的想法可知，上面第2步最關鍵，因為有效值的平方其實就是簡諧周期運動物理量的平方的平均值.

3 實例分析

3.1 單擺擺線緩慢收縮過程中的浸漸不變量

例1.如圖1所示，單擺的擺線通過一個光滑小孔O，擺球質量為m，重力加速度為g.緩慢拉擺線使其長度l逐漸縮短.設擺動過程中單擺近似做簡諧運動，求擺線長度l和擺角幅值θm的關系.

圖1 單擺

解析：（1）全微分能量函數.取懸點O所在平面為勢能零平面，由于最大擺角θm很小，故簡諧運動的能量

注意到右端l、θm是變量，微分得

（2）巧用有效值求平均值.在振動中任一位置θ處，線上拉力的瞬時表達式可由向心力公式寫出

（3）由能量守恒dE=dW，將（2）、（4）式代入化簡有3θmdl+4ldθm=0，分離變量積分可得浸漸不變量為

3.2 重力加速度緩慢變化過程中的單擺的浸漸不變量

繼例題1，設擺長l保持不變，重力加速度g無限緩慢地增加（可以想象為是單擺在一個加速度緩慢變化的電梯中，以電梯為參考系時，等效重力加速度g緩慢變化），求重力加速度g和擺角幅值θm之間的關系.

解析：（1）全微分能量函數.仍取懸點處為零勢能點，E如前面（1）式，但是現在g、θm是變量，由于（1）式中g、l處于交換對稱地位，故在（2）式中令l?g、dl→dg得

由于g的增加導致的能量增加

4 結語

上述兩例是文獻中比較常見的浸漸不變量問題，例如文獻［6］的例題2和例題3.解題時會完整地出現3個步驟.而文獻［6］中的理想氣體絕熱不變量的推導以及例題1，由于不涉及求簡諧周期運動中的平均值，所以只會用到“全微分”和“能量守恒”兩步，從而更加簡單，此處不再贅述.