在實驗室中模擬引力透鏡效應以及系外行星的搜尋

蘇 俊 謝基偉 潘蘇東 王思慧 翁雨燕

（1.華東師范大學教師教育學院，上海 200062；2.江蘇省海安高級中學，江蘇 海安 226600；3.南京大學天文與空間科學學院，江蘇 南京 210023；4.南京大學物理學院，江蘇 南京 210023；5.蘇州大學物理科學與技術學院，江蘇 蘇州 215006）

1 引言

我們經常看到哈勃望遠鏡拍攝的引力透鏡照片，什么是引力透鏡，它是怎樣形成的？這是很多中學師生非常感興趣的問題.根據愛因斯坦的廣義相對論，當光線經過大質量天體附近時會發生偏轉，形成引力透鏡效應，類似于一個光學透鏡對光線的折射.在美國高中物理教材《科學發現者：物理原理與問題》中有不少物理前沿知識的介紹，其中在光學基礎部分介紹了引力透鏡效應.［1］另外，引力透鏡效應在亞洲物理奧林匹克競賽和泛珠三角物理邀請賽等中學生物理競賽中也作為試題出現過.［2］圖1（a）為引力透鏡示意圖，背景光源發出的光經過前方天體發生偏轉，形成扭曲的像；圖1（b）為哈勃望遠鏡拍攝的愛因斯坦圓環，背景天體的光線被前景天體扭曲，呈現環狀的像.

圖1 引力透鏡效應

2019年諾貝爾物理獎頒發給了兩個領域，表彰詹姆斯·皮布爾斯教授對物理宇宙學的理論貢獻；同時授予米歇爾·梅耶教授和迪迪埃·奎洛茲教授，他們利用徑向速度法第一次發現了一顆圍繞類太陽恒星運行的系外行星飛馬座51b，［3］開啟了人類對太陽系外行星與生命的探索.根據exoplanet.eu官網統計，至今人類已經發現4000多顆系外行星.系外行星的主要搜尋方法有徑向速度法、凌星法、微引力透鏡法.徑向速度法和凌星法是目前系外行星的主要搜尋方法，筆者在之前的工作中介紹了這兩種方法.［4］當一個系外行星經過背景光源與觀測者之間，行星的引力也會使得光線發生微弱的偏轉，使得背景光源的亮度出現漲落，這種現象稱為“微引力透鏡效應”（為簡化問題，接下來我們統稱引力透鏡效應），利用這種引力透鏡效應也可以進行系外行星的搜尋.

在物理教育教學過程中，適當給中學生拓展科學前沿知識是值得嘗試的，有利于培養中學生的科學素養，拓寬學科視野.引力透鏡效應是我們在天文照片上看到的現象，我們能否在實驗室中真實模擬出引力透鏡效應？

1969年SidneyLiebes等人構建了一個與引力透鏡等效的物理模型，為在實驗室中模擬引力透鏡效應提供了可能.［5］但是，在當時要制作出滿足特定函數曲面的透鏡在技術比較繁瑣.3D打印技術在近些年得到了快速發展，打印精度和速度不斷提高，同時打印成本也在不斷降低，在很多中學的實驗室也會配備3D打印機.光敏樹脂3D打印機的出現使得打印透鏡成為現實.這里，我們利用了3D打印技術來制作滿足特定函數曲面的透鏡.

本文將首先介紹引力透鏡效應的基本原理，然后描述利用3D打印技術制作引力透鏡的方法，再從實驗上模擬引力透鏡效應的主要特征以及系外行星的搜尋.

2 引力透鏡的原理

根據愛因斯坦廣義相對論，由于引力場的作用，當光線經過質量為M的天體附近時，光線會發生偏轉，當偏轉角α很小時，α近似表示成［6］

其中G為萬有引力常數，r為碰撞參數，c為真空中的光速.

光線在引力場中的偏轉會產生引力透鏡效應，下面我們來分析最簡單的情形，如圖2，點質量天體M充當一個“透鏡”，記作L，點光源S發出的光經過點質量天體M附近發生偏轉，觀測者從O點觀測光源S的像.其中DL為L與O的距離，DLS為L與S的距離，DS為O與S的距離，θS為S相對于L、O連線的張角，θI為S的像I相對于L、O連線的張角.由于天體間的距離比較遠，以下計算均認為這些角度很小.

圖2 引力透鏡效應

由圖2可知θIDS=θSDS+αDLS，其中r≈θIDL，利用（1）式可得

當三者共線時，θS=0，可得像的張角為，S的像是一個對稱的環，稱為愛因斯坦圓環，張角θI記作θE，即

若S與L、O的連線不共線，（2）式有兩解

光源S有兩個像，張角分別為θ1與θ2，其中張角為θ1的像位于愛因斯坦圓環外側，張角為θ2的像位于愛因斯坦圓環內側.可以證明，兩個像總的光強Itot會大于光源S原有的光強IS，且Itot表示為［7］

當點質量天體M以一定速度v垂直視線方向經過恒星S與觀測者O之間時，根據（5）式，微弱的引力透鏡效應會使得恒星S亮度出現漲落，光變曲線如圖3.當一個恒星 -行星系統經過恒星S與觀測者O之間，忽略該過程中主恒星M與行星P相對位置變化，如圖4，行星的引力場也會產生微弱的引力透鏡效應，但是強度更弱，光變曲線在圖3的基礎上會有一個微小的變化，通過捕捉這種微小變化來搜尋系外行星.

圖3 M產生的引力透鏡效應

圖4 恒星-行星系統的微引力透鏡效應

3 模擬實驗

3.1 制作透鏡

接下來構建點質量天體對應的引力透鏡，并利用3D打印機將透鏡打印出來.設底面半徑為r處透鏡厚度為D（r），透鏡的折射率為n，切線斜率滿足，如圖5（a），光線垂直于底面入射，空氣折射率取1，根據斯涅耳定律有nsinβ=sin（α+β），α為入射角，β為折射角.當α，β為小角，則，積分得

其中B為積分常數，通過改變參數A，B調整透鏡的厚度.筆者利用數學軟件Mathematica11畫出（6）式的三維圖形，如圖5（b），這里取B=50，A=3，r的取值范圍為0.5～40，D（r）的取值范圍為38～45，利用PlotTheme→ “FilledSurface”命令來填充曲面內部空間.為了使打印出的透鏡表面更平滑，添加了PlotPoints→200命令，然后利用PrintOut3D命令將圖形保存成3D打印機能夠識別的STL文件格式.最后，筆者使用耗材為透明光敏樹脂的3D打印機打印出兩個尺寸的透鏡（打印精度為0.1mm）.如圖6，透鏡L1的尺寸為15cm×15cm×1.3cm，透鏡L2的尺寸為7cm×7cm×0.6cm.

圖5 透鏡示意圖

圖6 3D打印的透鏡

3.2 模擬引力透鏡效應

利用3D打印的透鏡模擬引力透鏡效應.將透鏡L1固定在光具座的支架上，利用一個LED燈來模擬光源S，通過相機來拍攝S的像.將透鏡中心、相機鏡頭和LED燈調整到同一高度，透鏡放置于相機與光源之間，并盡量做到光線垂直入射透鏡.在垂直于相機和光源的連線上移動透鏡，從而改變透鏡的位置.當光源、相機和透鏡3者共線時，可看到愛因斯坦圓環；當3者不共線時出現兩個像S1和S2，如圖7，虛線表示愛因斯坦圓環所在的位置，可以看到像S1位于愛因斯坦圓環外側，像S2位于愛因斯坦圓環內側，且像S1比S2更明亮.

圖7 （a）圖為光源、相機和透鏡共線時出現的愛因斯坦圓環；（b）圖為三者不共線時出現的兩個像S1和S2

3.3 模擬系外行星的搜尋

系外行星在移動過程中會引起背景光源亮度的漲落，我們利用手機軟件Phyphox中的Light功能來測量亮度的變化.在相機的位置上放置手機，在垂直于手機與光源的方向上緩慢移動透鏡L1，可以看到透鏡掃過手機與光源連線過程中的亮度變化，如圖8（a）.接下來，模擬系外行星的引力透鏡效應，這里利用尺寸較大的L1透鏡模擬主恒星M，小尺寸L2透鏡來模擬行星P，將L2透鏡固定在光具座的另一個支架上，靠近L1透鏡并排放置（為簡化問題，這里認為主恒星M與行星P相距較遠，兩者的引力透鏡效應相對獨立），并調整兩透鏡中心在同一高度，同時緩慢移動兩個透鏡，使得透鏡L1、L2先后掃過手機與光源連線，我們看到亮度出現兩個峰值，如圖8（b）.用這個方法可以簡便模擬恒星-行星系統的引力透鏡效應.

圖8 （a）圖為透鏡L1掃過手機與光源連線過程中的亮度變化；（b）圖為透鏡L1、L2先后掃過手機與光源連線亮度變化

4 結論

本文中，我們構建出符合點質量引力透鏡效應的透鏡模型，并用3D打印機打印出透鏡.我們利用透鏡來模擬了愛因斯坦圓環和源的成像，同時也模擬了系外行星的搜尋過程.該實驗所需的器材簡便易得，可以把天文圖片中才能看到的現象變成有趣的研究性課程實踐活動，學生在實驗室中就可以模擬出天體的引力透鏡效應.