數形結合 提升數學學習力

□ 南京師范大學附屬中學仙林學校小學部南郵校區 袁 琳

一、聯系實物，體會數理內涵

數形結合中的“形”可以理解為實物、模型圖、線段圖、數軸、直角坐標系等，其中實物演示也是幫助學生理解抽象的數學原理、直觀認識數學事物的一種重要方式。教師要遵循學生的認知規律，通過引入生活中常見的實物模型，讓學生通過數學概念的現實原型來理解抽象知識，逐步建立理性認識。

例如，以數軸概念的講解來說，教師可以展示馬路的圖片，或讓學生畫一條馬路，要求圖片中含有楊樹、柳樹、電線桿、站牌等物體，讓學生思考：問題1：馬路可以用什么幾何圖形表示？問題2：站牌在馬路中起到什么作用?問題3：你是怎么確定各物體的位置的？以此來引導學生學會用直線、點、方向、距離等幾何符號進行畫圖，表示實際問題。接著，教師和學生一起在黑板上采用正負數、幾何符號、方向等知識將樹、電線桿與汽車站牌的相對位置關系畫出來，并強調0表示基準點、數的符號的實際意義是方向等知識點。有了這個鋪墊之后，教師可讓學生對照觀察溫度計的實物或觀察教材圖片，結合黑板上馬路的圖示分析溫度計的結構，0℃是溫度的基準點，有正負兩個方向，這樣讓學生提前感受原點、單位長度、方向這三要素。最后再引出數軸的定義和講解，在數學中，可以用一條直線上的點表示數，這條直線叫做數軸，原點、正方向、單位長度為數軸的三要素，以此來幫助學生深刻認識到數軸這個概念。

二、繪制導圖，厘清相互關系

思維導圖是表達發散性思維的有效圖形思維工具，它應用到數學教學中可以幫助學生借助思維導圖的結構框架來深入挖掘知識點的內涵，思考和總結相關知識點間的聯系，在此基礎上調動大腦思維，建立系統的知識網絡體系，促使學生形成系統的學習和思維的習慣。

例如，以“圖形的認識”作為統領概念，教師可以引導學生通過繪制思維導圖的方式來對小學數學中關于圖形的知識點進行一次系統的梳理與總結。教師引導學生獨立完成平面圖形、立體圖形這兩個大框架的完善與填充。在學生完成的思維導圖中，平面圖形選取了三角形、四邊形、圓三個方向，又將四邊形細化為學過的長方形、正方形、平行四邊形、梯形等，補充了其定義、性質、周長及面積公式的知識點。立體圖形以球、圓柱圓錐、長方體正方體為三級結構，并在思維導圖中繪制了各立方體的模型，加入了表面積、體積公式的知識點。整體來看結構清晰，內容豐富，完成的較為成功。

也就是說，繪制思維導圖的過程就是知識整合的過程，它更順應我們大腦的思維模式，將思維導圖引入小學數學教學中，可以為學生提供有效的思考框架，記錄和引導學生的思維過程，通過數與形的結合幫助學生鞏固和記憶數學知識，效果較好，是教師可以關注的教學方向。

三、借助數軸，發展邏輯思維

數軸是學習數學一個非常重要的工具。在小學階段，學生第一次接觸數軸這個概念，教師可以將數軸的學習與小學數學中的加減法、分數、負數等知識點聯系起來，引導學生通過數軸的圖示來理解數學知識，感受數形結合思想，促進學生的抽象思維能力及邏輯推理能力的共同發展。

例如，題目是這樣的：在數軸上，如果點a表示的數是-2，那么到點a距離3個單位的點所表示的數是______。我們就需要用到數形結合思想來分析問題。首先畫出數軸，具體步驟包括畫一條直線、選取原點、正方向、規定單位長度，接下來在數軸上用短豎標出刻度，數軸下標出數值。接著對照題意，找到a所表示的數-2，要求的數到點2的距離是3，結合數軸可以發現這個數既可以在a的左側，也可以在a的后側，分別是-1和5。這道題的易錯點是在數軸上距離已知點n個單位長度的點有兩個，分別位于已知點的兩側，學生很容易忽略其中的一個點導致錯誤。但只有學生養成數形結合的良好思維習慣，借助數軸圖來思考和分析問題，就可以盡可能避免這類錯誤，提高答題正確率。

學生運用數形結合思想解題的關鍵就是能夠建立數與形的聯系，而數軸本身就是數與形結合的有力工具。作為小學數學教師，不僅要帶領學生認識和理解數軸的定義及其性質，建立起數的位置感和秩序感，還要善于將數軸與其他數學知識點及題目聯系起來，引導學生體會數形結合的數學思想方法。

四、動手操作，發展空間想象

如果說聯系實物、創設情境是為學生學習數學概念提供感性材料支持，幫助學生獲得感性認識的話，教師還要在此基礎上進一步借助多種表征活動讓概念表象操作化與活動化，讓學生通過動手操作和觀察思考來經歷知識的形成過程，真正理解數學事物的本質和規律，加速學生的認知進程。

以一道數學題目為例：小明將一張正方形紙對折兩次，如圖所示，在中央點打孔后再將它展開，展開后的圖形是（ ）。

這道題對學生的空間想象能力要求較高，首先一張正方形紙對折兩次，平均分成4份，每一份上都有一個小圓圈，可以排除A、C，到這一步大部分學生都沒有問題。但究竟展開之后是B還是D的形狀，一些學生在腦海中建構不出對折展開之后的圖形變化，感到難度很大。那么，教師可以讓學生準備一張正方形紙，依據題意將紙對折兩次，在中間減去一個圓形后再展開，這時候通過動手操作學生就可以確定正確答案為B，并通過操作過程更加直觀地觀察到了圖形的變化，我們是沿著正方形的兩邊對折的，不是沿對角線對折的，所以最后展開后的圖形不會沿對角線成軸對稱。就這樣，學生利用動手實踐的方式直觀清晰地感受到數與形的結合與相互轉化，有效促進了空間想象能力的發展，課堂教學較為成功。

五、建構模型，快速解決問題

數學模型可以理解為用數學語言去認識現實世界，解決實際問題，是溝通數學與現實世界的橋梁。教師在開展教學時要善于結合數學知識來設計生活實踐類問題，讓學生通過習題訓練來理解生活中的數學現象，學會構建及應用數學模型巧解問題，提升學生學以致用的能力。

例如，題目是這樣的：某小學五年級學生參加運動會，此次運動會有跑步和籃球兩個項目，報名跑步的有31人，報名籃球的有15人，兩個項目都報名的有8人，全班共50人，沒有報名運動會項目的有多少人？這個題是一道生活實際類問題，但很多學生不知道如何列式進行計算，教師就可以引入韋恩圖來幫助學生理解與建構這類型題目的解題模型。韋恩圖是用來展示不同數據集合之間的關系，集合通常用圓來表示，如在這道題目中，我們把報名跑步和報名籃球的圓圈連在一起，重疊部分就是兩個項目都報名的8人。根據圖示就可以找到題目中這些數據的對應關系，要想求出沒有報名的學生有多少人，需用50-（31+15-8）=12（人），由此便可順利地解決這類型題目，幫助學生總結應用韋恩圖模型來解決此類型問題的基本思路，教學效果較好。

也就是說，建構數學模型的方式可以幫助學生更加系統地去梳理數形結合思想所適用的題目類型，并在這個過程中去歸納和總結解題的技巧與方法，達到優化解題途徑、提升解題效率的效果。同時，在數學教學中滲透數形結合思想不僅局限于文中提到的聯系實物、繪制導圖、借助數軸、動手操作及建構模型這幾個方向，其更多可行性與實踐策略還有待教師繼續去思考與探索。

總而言之，數形結合思想的實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像語言結合起來，關鍵是要讓學生理解代數問題與圖形之間相互轉化的基本邏輯，能夠根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題。作為小學數學教師，不僅要重視數學基礎知識與基本技能的傳授，還要關注學生數學思維的發展與思想方法的培養，這樣才能真正幫助學生提升良好的數學解題能力與學習能力，建構起高品質的小學數學課堂。