直面“粗心” 追蹤錯因
——以“長方體和正方體表面積和體積”為例

徐磊（江蘇省南京市金陵小學 210000）

在學習“長方體和正方體的表面積和體積”時，家長和學生常常將錯誤歸咎于“粗心”，似乎錯誤原因僅是沒有看清楚，仿佛會用公式進行計算便是理解透了，但是這“粗心”背后的錯因并沒有被真的抓出來。

學生總是會將自己的一知半解當作已經掌握本質，家長也常被學生的時對時錯弄暈腦袋，以至于簡單粗暴地歸為“粗心”。

一、心理接納

出于回避心理，對于學生和家長來說，“粗心”往往比“不會”更容易接受，心理負擔也會相對較小。

當學生承認“不會”的時候，是在將自己的弱點、錯誤暴露出來，這是一個很艱難的過程。而且，其背后隱藏著很多風險，可能因為上課沒聽講而被責罵，可能大家都懂了而“我”沒懂會丟人、會挫敗，可能爸爸媽媽又要給“我”加習題等。

從家長角度來看，當孩子承認不會的時候，承擔的壓力、要考慮到的因素遠比“粗心”多得多，是老師沒講還是孩子沒聽？是孩子沒聽懂，變個花樣就不會了？是不是得多練一練拓展一下？

由此可見，“粗心”是最好的掩飾，也是雙方不再刨根問底的好借口。

二、挖掘資源，追蹤錯因

在學生和家長極力用“粗心”掩蓋問題的時候，教師絕不能和他們一起避重就輕，而是要抓住學生展現出來的各種錯誤，引導學生對其進行全面分析、歸納總結。

在《義務教育數學課程標準（2011年版）》中就指出：“空間觀念主要是指根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據語言的描述畫出圖形等。”在“長方體和正方體表面積和體積”中出現錯誤，根本原因也是空間觀念仍有不足。下面筆者將結合“長方體和正方體表面積和體積”的教學實例，談談如何幫助學生追蹤錯因、掌握本質，從而解決問題。

1.溯源概念

在教學“長方體和正方體表面積和體積”時，學生經常出現表面積和體積概念混淆的情況。有一個典型的迷惑性判斷題：棱長是6的正方體，它的表面積和體積相等。題目中的數據很巧妙，學生根據公式，算體積和表面積結果都是216，所以這句話是沒有問題的。在這一類題目中，筆者認為，其根本原因是學生沒有充分認識到表面積和體積間的區別和聯系。這種情況下，要讓學生通過動手摸一摸長方體和正方體，充分感知面積和體積的區別和聯系。

皮亞杰說過：“空間觀念的形成不像拍照，要想建立空間觀念，必須有動手做的過程。”培養空間觀念需要大量的實踐活動，學生要有充分的時間和空間觀察、測量、動手操作，對周圍環境和實物產生直接感知，這些活動不僅需要自主探索、親身實踐，更離不開大家一起動手，共同參與。觀察、操作、歸納、類比、猜測、變換、直觀思考等對形成空間觀念有重要作用的手段，只有在大家共同探討，合作解決問題的過程中才能不斷生成、發展。

在這樣一個題目中出現問題，還是要追溯對表面積和體積的理解。在執教“長方體和正方體的展開圖”一課時，教師要有層次地安排學生活動中操作、想象的順序，使學生實現二維與三維之間的切換，積累豐富空間思維的表象。教師要留出足夠的時間給學生，使其能夠在課堂上現場觀察、想象、嘗試正方體表面展開的不同方法。學生必須親身經歷了由立體實物到二維展開圖形的變化過程，在觀察、展開、再觀察、再復原中體會到正方體與其表面展開圖之間的聯系。

【教學實例1】

師：（手拿正方體）這個正方體的表面積是哪幾個部分﹐你能用手摸一摸嗎？

學生上臺演示。

師：那這個正方體的體積呢，你能表示嗎？

學生上臺演示。

師：（將正方體和正方體表面展開貼在黑板上）

這個正方體的表面積就是6個邊長6厘米的正方形的面積之和，共216平方厘米，體積是大小為216立方厘米的空間。“面積”等于“體積”？

生：不相等，面積和體積的維度不同，一個二維，一個三維，面積和體積不可能相等。

師：那周長和面積可能相等嗎！

生：（堅定）周長和面積永遠不可能相等！

學生在新授課中初步建立了數學概念，但是對其進一步的加深鞏固則需要教師利用多種課堂教學策略，教師要讓學生從中理解并區分不同的概念，尤其要注重培養學生的空間觀念，逐步完善認知結構。

2.關聯實際

陶行知先生主張教育要與社會生活相聯系，與生產實踐相結合，按社會生活的前進的需要實施教育，打破學校與社會之間的藩籬，使教育回歸生活。在《數學課程標準（2011年版）》中圖形與幾何部分對體積單位提出的要求是“通過實例了解體積（包括容積）的意義及度量單位（立方米、立方分米、立方厘米、升、毫升），能進行單位之間的換算，感受1立方米、1立方厘米以及1升、1毫升的實際意義”。雖然體積不能直接進行測量，但是在數學題和生活實際中常有對體積估測的要求，學生應該能在會估測長度、面積的基礎上，估測體積、空間大小。

【教學實例2】

在教學單位時，經常會有“在括號里填寫合適的單位”的題目，當教師提問冰箱體積、教室空間用什么單位比較合適時，絕大多數學生都認同是用立方米做單位，但是當題目變成“冰箱的體積是1.2( )”“教室容積大約是150 ( )”時，有部分學生就覺得1.2立方米和150立方米也太大了，便填寫了立方分米或升。也就是說學生理解較大的空間應該使用立方米，一旦加上具體的數值就會猶疑不定，于是筆者啟發學生利用身邊的實物建立參考模型，從而自主反思、糾錯。

師：老師想請同學上來給大家合作演示出1立方分米的大小，請四人小組商量一下，你們打算怎樣表示。

學生小組交流，全班交流，確定方法。

學生三人演示，一人講解，并用1立方分米大小的正方體作為參考對照。

師：用棱長1分米的正方體模型為參照，找一找教室里哪些物體的體積大約是1立方分米呢？

生1：粉筆盒的體積差不多是1立方分米。

生2：講臺上的正方體筆筒的體積也很接近1立方分米。

師：一個粉筆盒或者筆筒的體積大約是1立方分米，而一個冰箱的體積大約是1.2立方分米？

生：這怎么可能，冰箱里放得下好多個1立方分米，我家冰箱的說明書上說它的容積都有六百多升呢，體積肯定比容積大，1.2立方米還差不多。

師：那我們教室的容積只有150升？

生：教室里能放下好多個冰箱，一個冰箱的體積就比一立方米大了，所以教室的體積大約是150立方米。

在上述教學片段中，學生已經對體積單位初步建立了表象認知，但是并不能與生活實際情境達成雙向轉化，所以要將學生對體積單位的認知與具體事物相關聯，以實物為參照，從對比中進行體積估測。在筆者看來，日常教學中一定要利用身邊的資源，勾連數學概念、理論與生活實際，從而幫助學生抽象、構建數學模型，同時也能體會學習數學的樂趣，感受到數學來源于生活，又回歸生活、服務于生活。

3.遷移上升

學習遷移理論中，桑代克的共同因素說和賈德的概括化理論都認為教育的過程中離不開遷移，教師則需要利用好學習遷移，讓學生將已有學習上的進步轉移到新的學習中去。

【教學實例3】

在蘇教版六年級上冊數學書第24頁，有這樣一道思考題：一個長方體，如果高增加2厘米，就變成一個正方體。這時表面積就比原來增加56平方厘米。原來長方體的體積是多少立方厘米？

很多空間發展較弱的學生面對這樣的問題的時候會無從下手，這時候，教師就要勾連平面幾何的知識，幫助學生先理解題意，再解決問題。

師：請同學們回想長方形和正方形的面積學習，有沒有遇見過類似的面積增加的題目？

生：長方形的長不變，寬增加了，面積也增加了，求原來圖形的面積。

師：上來畫出你的圖。

生（邊畫邊說題目）：有一個長方形，我們不知道它的長和寬，但是它的寬增加2厘米后，就變成了一個正方形，這時候面積增加了14平方厘米，求原來長方形的面積。

生（邊指邊講）：圖中虛線增加的部分是一個長方形，寬2厘米，面積14平方厘米，所以長是7厘米，這也是原來長方形的長。題目說“它的寬增加2厘米后，就變成了一個正方形”，所以用正方形的邊長減2就是原來長方形的寬，正方形的邊長也等于長方形的長是7厘米，所以原來寬就是5厘米，原來長方形的面積是7×5=35（平方厘米）。

師：請你對比一下這兩題的圖，有什么相似的地方嗎？

生：都是一條邊長度增加了，所以面積也增加。

生：我覺得長方形的圖就是長方體的一個面。

師：請你上來指著再給大家詳細說一說。

生：長方體如果高增加2厘米，就變成一個正方體。說明這個長方體的長和寬是一樣長的，只有高不一樣，四周的這四個面都是長得完全一樣的長方形，變化前后只有前后左右的面積增加了，所以只要分析其中的一個面就可以了。4個面增加的面積是一樣的，一共增加56平方厘米，一個面就增加14平方厘米。看前面，這里的寬是長方體增加的高2厘米，就按剛剛的方法分析出長方形長7厘米，寬5厘米，對應長方體的長7厘米，高5厘米。前面分析過出長方體的長和寬一樣長，那寬也是7厘米，體積就是7×7×5=245（立方厘米）。

部分學生由于空間感知和發展仍不完善，所以分析、想象立體圖形是較為困難的，但是他們對于長方形、正方形等平面圖形已經有了充分、完善的認識，數形結合也基本掌握，那把題目中的增加的4個面的表面積分割轉化為一個長方形增加的面積，對于學生而言更熟悉，也更容易理解。長方體和正方體與長方形和正方有著千絲萬縷的聯系，那么空間想象能力不高的學生，就可以借助長方形和正方形面積相關的知識實現遷移，再借助數形結合的思想方法，也可以借助多媒體設備或實物，把需要三維空間想象的問題轉化成二維平面問題，引導學生展開有效的思考。

三、結語

在學習的過程中遇見錯誤并不可怕，這是正常的，是符合學生理心理發展規律的，但是出現錯誤不能一味地用“粗心”二字掩蓋，直面“粗心”，追蹤錯因才是解決問題的根本之道。教師要有足夠的敏銳度去察覺學生是真“粗心”還是假“粗心”，用藝術的、風趣的方式化解其中“難言之隱”，讓學生在輕松、愉悅的氛圍中接納自己的錯誤，擁抱更好的自己。