數學分析教學中關于三角函數定義的探討

雷 力

（重慶師范大學數學科學學院，重慶 401331）

三角函數是數學分析課程中重要的基本初等函數之一。在很多數學分析、高等數學教材中，三角函數的定義都是沿用中學數學的定義[1-2]。

在初中數學課程中，我們是用直角三角形的各邊長之比來定義三角函數的，直角三角形的一個銳角的對邊與斜邊之比稱為這個角的正弦，它的鄰邊與斜邊之比稱為這個角的余弦。在高中數學課程中，我們又將三角函數的定義域從銳角推廣到了任意角。建立平面直角坐標系xOy，將射線Ox繞原點O旋轉 角，角的正負由旋轉方向所決定，逆時針旋轉為正，順時針旋轉為負，設所得射線與圓心在O點的單位圓相交于點A。我們定義角 的正弦為點A的縱坐標，角 的余弦為點A的橫坐標。我們知道，平面上任意一點繞原點O旋轉180°所到的位置與原來的位置關于O點對稱，任意一點繞原點O旋轉360°就回到原來的位置。所以正弦函數與余弦函數都是周期函數，并且自變量每增加半個周期函數值就改變一次符號。

在數學研究中，我們通常使用弧度制來衡量角的大小，所謂弧度制是用弧長與半徑之比作為對應圓心角的角度。這樣，任意一個角就可以用一個實數來表示它的大小，而正弦函數與余弦函數則是定義在整個實數集上的實值周期函數。

然而前面所述的三角函數定義是高度依賴幾何直觀的，其中角的構成我們用到了“旋轉”這樣的平面變換，角的大小我們用了圓弧的長度來度量。這些是我們還未曾定義的概念。數學分析這門課程，是以實數理論為基礎的對古典微積分的嚴格化。因此，在數學分析課程中采用中學數學的三角函數定義是不嚴密的.本文將通過定積分給出三角函數一個分析上嚴格的定義。

接下來我們考慮如何嚴格定義余弦函數與反余弦函數.如圖1所示，設上半平面，坐標為。則弧的方程為

圖1

這是一個無界函數的反常積分，由比較判別法可知它是收斂的。

一些數學分析教材采用冪級數展開式(11)與(12)作為正弦函數與余弦函數的定義[3][4]。前面的推導過程表明這種使用冪級數展開式給出的定義與我們通過定積分給出的定義是一致的。但正弦函數與余弦函數的冪級數定義體現不出它們的幾何意義，本文所采用的定義不僅具備嚴格性，也保留了三角函數的幾何直觀。