Matlab軟件在時滯混沌系統仿真實驗中的應用

趙海濱，顏世玉

摘要：時滯混沌系統具有非常復雜的動力學行為，在保密通信和圖像加密等領域具有廣泛的應用前景。對于三種常見的時滯混沌系統：時滯Liu混沌系統、時滯Chen混沌系統和時滯R?ssler混沌系統，采用Matlab軟件進行數值仿真，給出了對應的腳本程序，并繪制狀態變量的二維相圖。通過數值仿真，可以使學生對時滯混沌系統有更加直觀的認識，加深對時滯混沌系統的理論理解。

關鍵詞：時滯混沌；數值仿真；Matlab；仿真實驗

中圖分類號：TP273? ? ? ? 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2022）35-0096-03

1 概述

混沌是一種復雜的自然現象，對初始值非常敏感，并具有長期不可預測性和偽隨機性等特點，可以用于保密通信和數據加密[1-2]。在實際的工程系統中，時滯現象是廣泛存在的。在混沌系統的微分方程中，添加時滯項后得到的時滯混沌系統具有非常復雜的動力學行為。時滯混沌系統的維數是無窮維的，即具有無窮多個自由度，動力學行為比非時滯混沌系統更加復雜。時滯混沌系統的同步控制是非線性領域研究的熱門課題之一[3-4]。時滯混沌系統提高了混沌系統的復雜度，在保密通信和圖像加密等領域都具有廣泛的應用前景[5]。

本文對三種常見的時滯混沌系統采用Matlab語言進行數值仿真。三種時滯混沌系統分別是時滯Liu混沌系統、時滯Chen混沌系統和時滯R?ssler混沌系統。Matlab軟件功能強大，應用廣泛，非常適合進行混沌系統的數值仿真[6-7]。在Matlab軟件中采用函數dde23進行時滯混沌的數值仿真[8]，給出了對應的腳本程序，采用函數plot繪制狀態變量的二維相圖。本文將Matlab軟件用于時滯混沌系統的實驗教學，通過數值仿真，使學生對時滯混沌系統有更加直觀的認識，加深對時滯混沌系統的理論理解。

2 時滯Liu混沌

時滯Liu混沌系統，可以表示為：

[x1（t）=x3（t）-ax1（t）+x1（t）x2（t-τ2）x2（t）=1-bx2（t）-x21（t-τ1）x3（t）=-x1（t-τ1）-cx3]? ? ? （1）

其中，[x1]，[x2]和[x3]為時滯Liu混沌系統的狀態變量，[t]為時間，[a]，[b]和[c]為常數，[τ1]和[τ2]為延遲時間常數。

對于時滯Liu混沌系統，當參數設定為[a=0.2]，[b=0.5]，[c=0.1]，[τ1=0.4]和[τ2=0.1]時，該系統處于混沌狀態。當[τ1≤t≤0]時，初始值設定為[（x1（t），x2（t），x3（t））=（1.0，1.0，1.0）]，采用函數dde23進行數值仿真。仿真時間設定為300秒，步長為0.001秒。時滯Liu混沌系統進行數值仿真時，Matlab腳本程序如下：

clear; clc; close all;

a=0.2; b=0.5; c=0.1;

tau=[0.4， 0.1]; history=[1; 1; 1]; tf=300;

Liu=@（t，x，Z） [x（3）-a*x（1）+x（1）*Z（2，2）;

1-b*x（2）-Z（1，1）^2; -Z（1，1）-c*x（3）];

sol=dde23（Liu， tau， history， [0，tf]）;

fs=1000; t=linspace（0，tf，tf*fs）;

x=deval（sol，t）;

figure; plot（x（1，：）， x（2，：）， 'b'）;

grid on; xlabel（'x1（t）'）; ylabel（'x2（t）'）;

figure; plot（x（1，：）， x（3，：）， 'b'）;

grid on; xlabel（'x1（t）'）; ylabel（'x3（t）'）;

在腳本程序中，建立匿名函數Liu，然后采用函數dde23進行數值仿真，通過函數plot繪制狀態變量的二維相圖。時滯Liu混沌系統中，狀態變量[x1]和[x2]的二維相圖，如圖1所示，狀態變量[x1]和[x3]的二維相圖如圖2所示。由圖1和圖2可以看到該系統處于混沌狀態。

3 時滯Chen混沌

三維Chen混沌系統，狀態方程表示為：

[x1（t）=a（x2（t）-x1（t））x2（t）=（c-a）x1（t）-x1（t）x3（t）+cx2（t）x3（t）=x1（t）x2（t）-bx3（t）]? ? ? （2）

其中，[x1]，[x2]和[x3]為Chen混沌系統的狀態變量， [a]，[b]和[c]為常數，[t]為時間。

在Chen混沌系統的第三個微分方程中，添加時滯控制項，得到時滯Chen混沌系統，表示為：

[x1（t）=a（x2（t）-x1（t））x2（t）=（c-a）x1（t）-x1（t）x3（t）+cx2（t）x3（t）=x1（t）x2（t）-bx3（t）+k（x3（t）-x3（t-τ））]? ?（3）

其中，[x1]，[x2]和[x3]為時滯Chen混沌系統的狀態變量，[t]為時間，[a]，[b]，[c]和[k]為常數，[τ]為延遲時間常數。

對于時滯Chen混沌系統，當參數設定為[a=35]，[b=3.0]，[c=18.5]，[k=3.8]和[τ=0.3]時，該系統處于混沌狀態。對于時滯Chen混沌系統，當[τ≤t≤0]時，系統的初始值設定為[（x1（t），x2（t），x3（t））=（1.5，1.5，2.0）]，采用函數dde23進行數值仿真。仿真時間設定為40秒，步長為0.001秒。時滯Chen混沌系統的MATLAB腳本程序如下：

clear; clc; close all;

a=35; b=3; c=18.5; k=3.8;

tau=0.3; history=[1.5; 1.5; 2]; tf=40;

Chen=@（t，x，Z）[a*（x（2）-x（1））;（c-a）*x（1）-x（1）*x（3）

+c*x（2）; x（1）*x（2）-b*x（3）+k*（x（3）-Z（3，1））];

sol=dde23（Chen， tau， history， [0，tf]）;

fs=1000; t=linspace（0，tf，tf*fs）;

x=deval（sol，t）;

figure; plot（x（1，：）， x（2，：）， 'b'）;

grid on; xlabel（'x1（t）'）; ylabel（'x2（t）'）;

figure; plot（x（1，：）， x（3，：）， 'b'）;

grid on; xlabel（'x1（t）'）; ylabel（'x3（t）'）;

在腳本程序中，建立匿名函數Chen，然后采用函數dde23進行數值仿真，通過函數plot繪制狀態變量的二維相圖。時滯Chen混沌系統中，狀態變量[x1]和[x2]的二維相圖如圖3所示，狀態變量[x1]和[x3]的二維相圖如圖4所示，系統處于混沌狀態。

4 時滯R?ssler混沌

三維R?ssler混沌系統的狀態方程為：

[x1（t）=-x2（t）-x3（t）x2（t）=x1（t）+bx2（t）x3（t）=b+x1（t）x3（t）-cx3（t）]? ? ? ? ? ? （4）

其中，[x1]，[x2]和[x3]為狀態變量，[t]為時間，[b]和[c]為常數。當[b=0.2]，[c=5.7]時，R?ssler系統處于混沌狀態。

在R?ssler混沌的第一個微分方程中添加兩個時滯項，可以得到時滯R?ssler混沌系統，表示為：

[x1（t）=-x2（t）-x3（t）+a1x1（t-τ1）+a2x1（t-τ2）x2（t）=x1（t）+bx2（t）x3（t）=b+x1（t）x3（t）-cx3（t）]? ? （5）

其中，[x1]，[x2]和[x3]為時滯R?ssler混沌系統的狀態變量，[t]為時間，[a1]，[a2]，[b]和[c]為常數，[τ1]和[τ2]為延遲時間常數。

對于時滯R?ssler混沌系統，參數設定為[a1=0.2]，[a2=0.5]，[b=0.2]，[c=5.7]，[τ1=1.0]，[τ2=2.0]時，系統處于混沌狀態。當[τ2≤t≤0]時，初始值設定為[（x1（t），x2（t），x3（t））=（3.0，0.3，5.0）]時，采用函數dde23進行數值仿真。仿真時間為300秒，步長為0.001秒。時滯R?ssler混沌數值仿真的Matlab腳本程序如下：

clear; clc; close all;

a1=0.2; a2=0.5; b=0.2; c=5.7;

tau=[1， 2]; history=[3; 0.3; 5]; tf=300;

Rossler=@（t，x，Z） [-x（2）-x（3）+a1*Z（1，1）+a2*Z（1，2）;

x（1）+b*x（2）; b+x（1）*x（3）-c*x（3）];

sol=dde23（Rossler， tau， history， [0，tf]）;

fs=1000; t=linspace（0，tf，tf*fs）;

x=deval（sol，t）;

figure; plot（x（1，：）， x（2，：）， 'b'）;

grid on; xlabel（'x1（t）'）; ylabel（'x2（t）'）;

figure; plot（x（2，：）， x（3，：）， 'b'）;

grid on; xlabel（'x2（t）'）; ylabel（'x3（t）'）;

在腳本程序中，根據時滯R?ssler混沌的狀態方程建立匿名函數，然后采用函數dde23進行數值仿真，通過函數plot繪制狀態變量的二維相圖。時滯R?ssler混沌系統中，狀態變量[x1]和[x2]的二維相圖如圖5所示，狀態變量[x2]和[x3]的二維相圖如圖6所示。由圖5和圖6可以看到時滯R?ssler系統處于混沌狀態。

5 結論

時滯混沌系統具有復雜的動力學行為，在保密通信和圖像加密等領域有廣泛的應用前景。本文對三種常見的時滯混沌系統采用Matlab軟件進行數值仿真。通過Matlab軟件的函數dde23進行時滯微分方程的求解，并采用函數plot繪制狀態變量的二維相圖，給出了對應的腳本程序。時滯混沌系統比較抽象不容易理解。本文將Matlab軟件用于時滯混沌系統的實驗教學，通過該仿真實驗使學生對時滯混沌系統有更加直觀的認識，加深對時滯混沌系統的理論理解。

參考文獻：

[1] 楊文濤，葉歡，李子龍，等.基于一類復混沌系統的圖像加密研究[J].齊魯工業大學學報，2021，35（6）：73-80.

[2] 方鵬飛，黃陸光，婁苗苗，等.基于四維超混沌系統的彩色圖像加密算法[J].計算機工程與設計，2022，43（2）：361-369.

[3] 陳亞英，姚鳳麒.混沌時變時滯系統的有限時間脈沖同步[J].湖北民族大學學報（自然科學版），2020，38（4）：446-452.

[4] 高俊山，張玉雙，鄧立為.時滯混沌系統的魯棒自適應容錯同步控制[J].計算機仿真，2020，37（6）：247-251，261.

[5] 林周彬，羅松江，高俊杰.一種基于憶阻時滯混沌系統的圖像加密方法[J].仲愷農業工程學院學報，2021，34（2）：60-63.

[6] 趙海濱，于清文，劉沖，等.基于Matlab/Simulink的混沌同步控制實驗[J].實驗室研究與探索，2019，38（1）：16-19.

[7] 趙海濱，于清文，顏世玉.混沌系統的有限時間投影同步控制仿真實驗[J].中國現代教育裝備，2020（3）：15-17.

[8] 吐克孜·艾肯，阿布都熱西提·阿布都外力.一類具有時滯的微分代數系統解的數值算法實現[J].山西師范大學學報（自然科學版），2013，27（3）：11-16.

【通聯編輯：王力】