周期性復合材料力學性能的多尺度分析

張容國, 盛冬發, 李忠君, 王怡楠

(西南林業大學土木工程學院， 昆明 650224)

對于一般材料而言，由于制作工藝等的限制，存在著強度低、剛度低、延展性弱等缺點，雖然存在一些材料的比強度、比模量比復合材料的高，例如鋼的比模量比玻璃鋼復合材料的比模量高，但絕大多數纖維增強的復合材料相比常規材料，具有比強度高、比模量大等優勢，同時纖維增強復合材料在工程中的應用呈現上升趨勢，解決了傳統結構不能的解決受力、功能等工程難題，滿足了工程建設的多樣化需求[1-2]，因此纖維增強復合材料在各大領域中都被廣泛采納應用。對于纖維增強基的復合材料性能預測方法有許多，Eshelby-Krner等效夾雜法[3]、自洽法[4]、廣義自洽法[5]、Mori-Tanaka預測方法[6]。但這些方法由于纖維的形狀、走向以及復合材料的制作工藝等不同，對其性能預測存在一定的偏差。為此，采用代表體元法進行預測，推導復合材料宏觀與微觀尺度之間的數學關系，并建立RVE模型，施加周期性邊界條件，預測玄武巖纖維增強北化環氧樹脂復合材料的有效力學性能。

1 均勻化理論

基于均勻化理論，選取的復合材料在宏觀上其力學性能為非線性，但由于其在微觀結構上具有周期性，因此對于復合材料力學性能分析可以通過宏觀和微觀兩種途徑解決。宏觀和微觀分別由X與Y表示，Ω表示復合宏觀復合材料的整體結構，Ωε表示單胞的微觀結構[7-8]，周期性結構的代表性體積單元(representative volume element， RVE)如圖1所示。當結構在靜力條件下時，應該滿足以下方程和邊界條件。

平衡方程為

(1)

幾何方程為

(2)

物理方程為

(3)

邊界條件為

(4)

(5)

復合材料的周期性可認為宏觀X是由單胞Y在空間周期內重復堆積而成的。引入宏觀坐標x與細觀坐標y上的單元矢量真實長度比η(η?1)，則和宏觀坐標與微觀坐標滿足φ(y)=x/η關系式，其中φ(y)表示物體內的位移或應力等物理量。通過φ(y)=x/η可知，微觀單胞Y是宏觀X上的極其微小的點的有限放大，并當η無線趨近于零時，單胞Y就近似看作宏觀X的等效彈模量。從而依據復合函數的求導法則有

x1、x2、x3為宏觀Ω的三維坐標方向；y1、y2、y3為微觀Ωε的三維坐 標方向圖1 RVE示意圖Fig.1 RVE schematic

(6)

式(6)中：xε為表示物體內的位移或應力等物理量的宏觀坐標x和微觀坐標y的集合。

根據文獻[9-11]可知，uε(x,y)展開到η的二次項就已經滿足精度要求，因此展開式uε(x,y)可表示為

uε(x,y)=u(0)(x,y)+ηu(1)(x,y)+

η2u(2)(x,y)

(7)

式(7)中：x?Ω；y?Ωε；位移真實值uε(x,y)是在宏觀位移u(0)附近振蕩，而u(1)(x,y)、u(2)(x,y)則構成了微觀下的波動位移。

將式(7)代入式(1)～式(3)中可得

u(0)(x,y)=u(0)(x)

(8)

(9)

式(9)中：xl、yj分別表示在宏觀和微觀下沿著l、j方向，l、j=1,2,3。

(10)

將式(10)代入式(9)中，可得

(11)

式(11)在整個體積單元上進行積分，可得到宏觀等效彈性模量的表達式為

(12)

(13)

式(13)中：vi(y)為測試虛位移；vi(y)∈Y。

(14)

將式(18)、式(19)代入式(15)中，可得

(15)

(16)

(17)

式中：k,l,m=1,2,3；δkm、δlm為克羅內克函數。

(18)

式(18)中：δkm、δln、δlm、δkn為克羅內克函數。

又由克羅內克函數定義為

(19)

將式(18)、式(19)代入式(15)中，可得

(20)

由式(18)和式(19)，可得

(21)

將式(21)代入式(12)，可得

(22)

2 邊界條件

對復合材料的有效力學性能預測取決于虛擬位移的計算精度，最理想的周期性邊界條件就是施加的周期邊界條件能夠反映單胞在結構中的真實邊界變形情況，即誤差不由施加的邊界條件而產生。

(23)

式(23)中：a為施加的位移長度；U為在單胞Y中選取的面。

其他方向和工況的載荷約束情況可根據式(23)和RVE模型的相應變形狀態進行推導而求得相對應的邊界條件。

3 有效性驗證

根據均勻化理論和周期性復合材料的邊界條件，對纖維增強的復合材料有效模量進行預測，選用鋁(Al)作為基體，硼(B)作為增強體，纖維和基體的彈性模量和泊松比如表1所示。

有限元計算模型采用四邊形RVE模型，模型尺寸為1 mm×1 mm×1 mm，纖維排列方向為z方向，纖維占比為47%，將模型采用楔形網格模式進行劃分，如圖2所示。

表1 纖維與基體參數Table 1 Fiber and matrix parameters

圖2 復合材料RVE模型Fig.2 RVE model of composite materials

圖3 拉伸與剪切載荷下的應力和位移云圖Fig.3 Cloud map of stress and displacement under tensile and shear load

得到均勻的位移場、應力場等結果后，再采用Python編寫程序對模擬結果進行提取與整理并代入式(22)中進行運算，將得到的結果與文獻[15]的體積分數進行對比，其結果如表2所示。結果表明，軸向彈性模量與文獻[15]的有限元模擬誤差在0.07%，縱向彈性模量與文獻[15]的有限元模擬誤差在2.79%，與文獻[16]的實驗誤差在0.22%，上述預測結果與模擬和實驗的誤差都小于3%，證明了所建立的纖維增強復合材料預測模型具有良好的合理性，同時也證明了該方法的合理性與有效性。

表2 復合材料有效彈性性能計算結果與實驗值Table 2 The calculated results and experimental Results of effective elastic properties of composites

4 單向纖維復合材料的有效彈性模量預測

在復合材料增強纖維選取時，應具有比強度高、比模量高、耐高溫等特點。玄武巖纖維是具有這些特點的無機非金屬纖維，因此選其作為增強纖維。

對單向玄武巖纖維增強北化環氧樹脂基復合材料進行有效性能預測，采取改變四邊形RVE模型中圓柱形纖維的半徑r(r=0.05、0.1、0.2、0.3、0.4 mm)，并將其纖維體積含量對應于六邊形RVE模型中，來預測其對復合材料的性能的影響。探究在相同纖維體積百分比的情形下，兩種RVE模型預測結果之間的差異性。選取玄武巖纖維體積分數φf分別為12.5%、28.3%、50.3%的四邊形和六邊形RVE模型，兩種模型在縱向和橫向的拉伸和剪切工況下，均施加均勻應變(0.1%)的等效位移周期性邊界條件，可得到48個位移和應力云圖。僅選取在橫向拉伸和剪切工況下的應力云圖，如圖5所示。

表3 纖維與基體材料參數Table 3 Fiber and matrix material parameters

圖4 四邊形和六邊形復合材料RVE模型Fig.4 RVE models of quadrilateral and hexagonal composite

圖5(a)、圖5(c)、圖5(e)分別為橫向拉伸工況下四邊形和六邊形RVE模型的應力云圖，圖5(b)、圖5(d)、圖5(f)分別為橫向剪切工況下的四邊形和六邊形RVE模型的應力云圖。由圖5(a)、圖5(c)、圖5(e)可知，在橫向拉伸工況下，四邊形RVE模型比六邊形RVE模型纖維所受最大應力大。由圖5(b)、圖5(d)、圖5(f)可知，在橫向剪切工況下，四邊形RVE模型比六邊形RVE模型纖維所受最大應力小。

對復合材料進行有效性能預測時，通常采用四邊形RVE模型進行預測，而對玄武巖纖維增強北化環氧樹脂復合材料力學性能進行預測，通過對不同纖維體積就百分比的四邊形和六邊形RVE模型施加均勻應變的等效位移，采用有限元軟件ABAQUS進行模擬，將得到的結果進行運算，將運算結果導入繪圖軟件繪圖Origin中，得到兩種RVE模型隨纖維體積含量變化結果如圖6所示。

圖5 纖維體積分數變化應力云圖Fig.5 Stress cloud of fiber volume fraction change

5 結論

(1)基于現有雙尺度漸進均勻化理論，周期性復合材料的邊界條件，建立四邊形RVE模型，對 B/Al 纖維增強復合材料的有效模量進行預測，通過Python編寫程序將ABAQUS模擬結果進行提取與運算，將得到的結果與已有實驗結果和理論數據進行對比，表明本文模型的有效性。

Ea1 、Ea2 、Et1 、Et2、Ga1 、Ga2、 Gt1 、Gt2分別為四邊形和六邊形RVE模型的縱向與橫向彈性模量和剪切模量；下標1、2分別為縱向與 橫向；下標a、t分別為四邊形和六邊形RVE模型圖6 有效彈性模量預測結果Fig.6 Prediction results of effective elastic modulus

(2)在相同橫向拉伸應變作用下，四邊形RVE模型比六邊形RVE模型纖維所受應力大；在相同橫向剪切應變作用下，四邊形RVE模型比六邊形RVE模型纖維所受應力小。

(3)對具有周期性單向排列的玄武巖纖維復合材料，建立四邊形和六邊形RVE模型，對玄武巖纖維增強北化環氧樹脂復合材料的力學性能進行了有效預測。通過改變四邊形RVE模型中纖維半徑的大小，再將其纖維體積含量對應于六邊形RVE模型中，發現復合材料的彈性模量和剪切模量都隨纖維含量的增加而增大。

(4)改變纖維體積分數，四邊形與六邊形RVE模型的縱向彈性模量在數值上基本相等。當纖維體積分數較低時，四邊形與六邊形RVE模型對彈性模量和剪切模量預測結果較為接近。但隨著纖維體積分數增大，四邊形與六邊形RVE模型對于縱向力學性能預測結果較為接近，而對于橫向力學性能預測結果差異較為明顯。