反例在近世代數(shù)教學(xué)中的作用

胡江勝，孫丹丹，朱海燕

(1.江蘇理工學(xué)院 a.數(shù)理學(xué)院； b.商學(xué)院，江蘇 常州 213001； 2.浙江工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，杭州 310023)

近世代數(shù)又稱為抽象代數(shù)，作為本科院校數(shù)學(xué)專業(yè)的一門專業(yè)必修課，它以研究代數(shù)系統(tǒng)的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)為主，是代數(shù)幾何、代數(shù)數(shù)論等課程的基礎(chǔ)[1-2]。通常，在近世代數(shù)教學(xué)過程中可以通過兩種不同的思路去論證一個(gè)命題的成立與否：直接證明其成立性或者舉出合適的反例證明該命題不成立。有些命題的直接證明具有一定的難度，但若找出合適的反例則事半功倍。因此，構(gòu)造合適的反例是近世代數(shù)課程教學(xué)中的一種重要教學(xué)手段和方法，它可以加深學(xué)生對(duì)抽象代數(shù)概念和命題的理解。

1 反例是鑒別假命題的有效方法

近世代數(shù)這個(gè)嚴(yán)密的系統(tǒng)主要由各種各樣的命題組成。命題結(jié)論成立的條件和范圍是關(guān)鍵所在，但這對(duì)學(xué)生來說是一大難點(diǎn)，教學(xué)過程中經(jīng)常需要構(gòu)造相關(guān)反例，讓學(xué)生明確某些概念的重點(diǎn)，澄清其對(duì)某些概念不正確的認(rèn)知，加深對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的理解。例如，為了讓學(xué)生更好地理解循環(huán)群的性質(zhì)，可以向?qū)W生提出問題：循環(huán)群是否在群同態(tài)作用下保持[2]。

例1：設(shè)群G與群H同態(tài)，問G是循環(huán)群能否推出H為循環(huán)群？反之是否成立。

分析：只需根據(jù)循環(huán)群的定義驗(yàn)證即可。

(1)先由定義證明，若G為循環(huán)群，則H也為循環(huán)群。

設(shè)φ:G→H為群滿同態(tài)，群G的生成元為a，取b=φ(a)。容易驗(yàn)證，對(duì)任意h∈H，均存在g∈G，使得h=φ(g)=φ(an)=φ(a)n=bn，其中n為整數(shù)，所以b=φ(a)為群H的生成元。

(2)再說明若H為循環(huán)群，則G不一定是循環(huán)群。

例如，令G為有理數(shù)域Q上所有n階可逆矩陣的全體構(gòu)成的集合，代數(shù)運(yùn)算為矩陣的乘法運(yùn)算。取H={1}，代數(shù)運(yùn)算為數(shù)的乘法運(yùn)算。作映射φ(A)=1，?A∈G，則φ是G到H的同態(tài)滿射，從而G與H同態(tài)。但H是循環(huán)群，而G不是循環(huán)群 (因?yàn)镚不是交換群)。

又如，為了讓學(xué)生理解子群之間的關(guān)系，可以向?qū)W生提出問題：同一個(gè)群G上的兩個(gè)子群的交與并是否仍為群G的子群。

例2：設(shè)G1與G2為群G的子群，問G1∩G2與G1∪G2是否為群G的子群？

分析：只需根據(jù)子群的定義驗(yàn)證即可。

(1)先由定義證明G1∩G2是G的子群。

設(shè)G1,G2是G的兩個(gè)子群，則G1∩G2≠?(因?yàn)閑∈G1∩G2)，顯然G1∩G2?G。任取a,b∈G1∩G2，因?yàn)镚1,G2是G的兩個(gè)子群，所以ab-1∈G1∩G2，于是G1∩G2是G的子群。

(2)再說明G1∪G2不是G的子群。

例如，設(shè)G1={2k|k∈Z}，G2={3l|l∈Z}是整數(shù)加群Z的兩個(gè)子群，則G1∪G2={2k，3l|k,l∈Z}。取2,3∈G1∪G2，但2+3=5?G1∪G2，從而G1∪G2不是Z的子群。

2 反例有利于學(xué)生深刻理解抽象的代數(shù)概念

近世代數(shù)課程中許多概念具有一定的抽象性，脫離具體例子，學(xué)生較難真正理解這些概念。如何將抽象的問題具體化，將需要探討的未知問題轉(zhuǎn)化為學(xué)生已掌握的知識(shí)是教學(xué)重點(diǎn)，通過具體實(shí)例講解，學(xué)生更容易理解和接受，且記憶深刻。

例如，為了讓學(xué)生理解“群”這一抽象概念，只需驗(yàn)證給定集合滿足“群”定義中的所有條件即可。

例3：有理數(shù)域Q上所有n階可逆矩陣的全體關(guān)于矩陣的加法不構(gòu)成群。

分析：只需說明可逆矩陣對(duì)于矩陣的加法不封閉。

又如，在講授不變子群的概念時(shí)，可以舉正反方面的例子，加深學(xué)生對(duì)該概念的理解。

例4：設(shè)N是群G的一個(gè)子群，若對(duì)?a∈G，都有aN=Na，則稱N是群G的一個(gè)不變子群[2]。

正例：N={(1),(132),(123)}是對(duì)稱群S3的不變子群；反例：N={(1),(12)}不是對(duì)稱群S3的不變子群，因?yàn)镹(13)={(13),(123)}≠{(13),(132)}=(13)N。

3 反例有利于學(xué)生區(qū)別相近的代數(shù)概念

近世代數(shù)課程中一些概念、性質(zhì)較類似，初學(xué)者容易混淆，如同構(gòu)映射與同態(tài)映射、群的同構(gòu)與同態(tài)、群的階與元素的階、置換群與變換群、主理想與最大理想、單位與單位元、左(右)零因子與零因子、理想與子環(huán)、零理想與單位理想等容易混淆的概念，可以通過例子(反例)加以說明，使之區(qū)別開來[3-4]。

例5：一個(gè)集合A的若干個(gè)一一變換的乘法作成的群叫做A的一個(gè)變換群；一個(gè)有限集合A的若干個(gè)一一變換作成的群叫做置換群[1]。

從定義的條件上區(qū)別：變換群的定義中未必要求是有限集，而置換群一定是在有限集合上定義的；從兩者的關(guān)系上區(qū)別：置換群一定是變換群，而變換群未必是置換群。

反例：令A(yù)為整數(shù)集合，則A上所有一一變換可構(gòu)成一個(gè)變換群，但卻不是置換群 (因?yàn)锳不是有限集合)。

例6：設(shè)R為環(huán)，若是在環(huán)R中a≠0,b≠0,但ab=0,那么稱a是R的一個(gè)左零因子，b是R的一個(gè)右零因子。若一個(gè)元既是左零因子又是右零因子,則稱為R中的零因子[1]。

從定義的條件上區(qū)別：左零因子a是指用a左乘一個(gè)非零元為零元，右零因子b是指用b右乘一個(gè)非零元為零元，而零因子要求同時(shí)為左零因子和右零因子；從兩者的關(guān)系上區(qū)別：零因子既是左零因子，又是右零因子，而左零因子或者右零因子未必是零因子。

例7：環(huán)R中，滿足ae=ea=a(?a∈R)的元e叫做R的單位元。整環(huán)R中的一個(gè)元ε稱R的一個(gè)單位，假如ε是一個(gè)有逆元的元[2]。

從定義的條件上區(qū)別：?jiǎn)挝辉猠可在任意環(huán)R上定義，而單位ε一般只在整環(huán)R上定義；從個(gè)數(shù)上區(qū)別：一個(gè)環(huán)如果有單位元?jiǎng)t只有一個(gè)，而單位可能不止一個(gè)；從兩者的關(guān)系上區(qū)別：?jiǎn)挝辉厥菃挝唬瑔挝晃幢厥菃挝辉?/p>

反例：整數(shù)環(huán)Z中，單位元為1，單位有±1。

整環(huán)Z7={[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6]}中，單位元為 [1]，而單位有[1], [2], [3], [4], [5], [6]。

4 結(jié) 語

為了透徹理解相關(guān)定義、定理及不同概念之間的聯(lián)系，教師在教學(xué)過程中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)歸納和舉一反三的能力，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生重視反例的構(gòu)造，幫助學(xué)生深入理解相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并在探尋反例的過程中，培養(yǎng)學(xué)生思維的邏輯性和嚴(yán)密性。