以數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)推動(dòng)學(xué)生思維進(jìn)階

摘 要：高階思維是指發(fā)生在較高認(rèn)知水平層次上的心智活動(dòng)和認(rèn)知能力。深度學(xué)習(xí)與學(xué)生思維進(jìn)階有著相輔相成的關(guān)系。深入學(xué)科知識(shí)本質(zhì)必定伴隨著較高認(rèn)知水平的思維活動(dòng)，包括解決問題、批判性思維和創(chuàng)造性思維等，才能深度理解和深度體驗(yàn)。教學(xué)中，通過溝通比較建立聯(lián)系、逐步優(yōu)化方法、重組數(shù)學(xué)素材、分層學(xué)習(xí)指導(dǎo)、故事情境體驗(yàn)等策略，可以有效促進(jìn)學(xué)生在深度學(xué)習(xí)中推動(dòng)思維進(jìn)階，為學(xué)生核心素養(yǎng)的提升助力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)高階思維;方法優(yōu)化;認(rèn)知分類;復(fù)雜情境

“高階思維”的概念源于布盧姆的教育目標(biāo)分類學(xué)。其2001年的修訂版本將認(rèn)知過程從低到高、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，分為記憶、理解、運(yùn)用、分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造六個(gè)層次。其中，記憶、理解和運(yùn)用主要是在已經(jīng)知道如何做的情況下進(jìn)行的，屬于數(shù)學(xué)低階思維;分析、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造主要是在不知道如何做的情況下進(jìn)行的，屬于數(shù)學(xué)高階思維。數(shù)學(xué)高階思維要求在新穎的條件下，運(yùn)用信息和概念去解決新的問題、完成較高難度的任務(wù)。然而，日常教學(xué)中教師往往停留在淺表學(xué)習(xí)上，注重知識(shí)的記憶、技能的反復(fù)訓(xùn)練，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維能力的關(guān)注不夠。那么，在教學(xué)實(shí)踐中，如何重組教學(xué)素材、優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)、推動(dòng)數(shù)學(xué)思維進(jìn)階呢？

一、溝通比較，在建立聯(lián)系中促進(jìn)思維由此及彼

深度學(xué)習(xí)的“深”體現(xiàn)在觸及數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的程度上。雖然小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容相對(duì)比較簡(jiǎn)單，尤其是中低年級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，但并不意味著教學(xué)無法觸及數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)、無法進(jìn)行高階思維的培養(yǎng)，因?yàn)閿?shù)學(xué)是一個(gè)充滿聯(lián)系的整體，再簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)知識(shí)背后都蘊(yùn)藏著深刻的數(shù)學(xué)思想，也都有著值得我們引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思維進(jìn)階的素材與契機(jī)。教師在引導(dǎo)學(xué)生探究得出答案后，再“向前深入一步”，進(jìn)行溝通比較，在數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系中發(fā)展高階思維，走向?qū)?shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解。

例如，在教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)一年級(jí)上冊(cè)的“2～5分成”時(shí)，教師組織學(xué)生思考：把4個(gè)桃放在2個(gè)盤子里，每個(gè)盤子里怎么分？學(xué)生操作展示將4分成2和2、3和1之后，教師追問：還有其他分法嗎？學(xué)生補(bǔ)充回答將4分成1和3的情況。接著，教師引導(dǎo)學(xué)生將不同的分法進(jìn)行排序，得出3種分法，4分成1和3、4分成2和2、4分成3和1。

此時(shí)，教師并沒有滿足學(xué)生得出3種分法的結(jié)果，而是結(jié)合圖形啟發(fā)學(xué)生思考：3種分法之間有沒有聯(lián)系？（學(xué)生發(fā)現(xiàn)從右邊拿一個(gè)桃到左邊，就有了一種新的分法）3種分法中有沒有兩種是一樣的？（學(xué)生發(fā)現(xiàn)，4分成1和3，4分成3和1，其實(shí)是一樣的）進(jìn)而學(xué)生發(fā)現(xiàn)，找到其中一種分法，就能想到另一種分法。

事實(shí)上，與單純地追求“動(dòng)手操作”相比較，教師更應(yīng)強(qiáng)調(diào)“數(shù)形結(jié)合”，通過引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較、分析，發(fā)現(xiàn)不同分法之間的聯(lián)系，異中求聯(lián)，異中求同，進(jìn)而對(duì)“4的分成”建立更為整體性的數(shù)學(xué)認(rèn)知。同時(shí)，與簡(jiǎn)單地追求對(duì)數(shù)的分成的熟練掌握相比較，教師應(yīng)更加重視學(xué)生思維的深化，即通過適當(dāng)?shù)奶釂枌W(xué)生的思維引向深入，而不是簡(jiǎn)單地滿足于熟練掌握。案例中，教師精心設(shè)計(jì)了兩次追問：4的分成有3種分法，3種方法之間有沒有聯(lián)系？3種分法中有沒有兩種是一樣的？這樣，學(xué)生對(duì)4的分成有了更為深入的理解，對(duì)其內(nèi)在的規(guī)律有了新的認(rèn)識(shí)。同時(shí)，學(xué)生對(duì)這一內(nèi)在規(guī)律的發(fā)現(xiàn)和理解還可以遷移至5、6、7等數(shù)的分成之中，對(duì)學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)起到了方法指引作用。在聯(lián)系中理解，在遷移中創(chuàng)造，推動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維進(jìn)階。

二、逐步逼近，方法優(yōu)化促進(jìn)思維由表及里

優(yōu)化是不斷逼近知識(shí)本質(zhì)、認(rèn)識(shí)不斷深刻的體現(xiàn)，在此過程中，伴隨著批判、分析以及創(chuàng)造性學(xué)習(xí)活動(dòng)。在教學(xué)過程中，教師一方面要充分地展示各種方法，讓學(xué)生充分創(chuàng)造;另一方面要引導(dǎo)學(xué)生充分地展示交流，分析各種方法，學(xué)會(huì)質(zhì)疑，在“自己—他人—自己”的這種社會(huì)文化性的循環(huán)中促進(jìn)思維進(jìn)階。

比如，在教學(xué)“圖形的平移”時(shí)（如圖1），如何引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確判斷小船平移的距離是多少？一位教師在教學(xué)時(shí)是這樣設(shè)計(jì)的：

1.方法初探：組織學(xué)生自主嘗試研究小船平移了幾格，然后組織匯報(bào)。（學(xué)生可能出現(xiàn)的答案：4、9、10）

2.實(shí)驗(yàn)比較：小船到底向右平移了幾格？我們一起讓小船再走一遍，一起數(shù)一數(shù)。（出示小船圖片，在實(shí)物展臺(tái)上演示，指導(dǎo)學(xué)生每移動(dòng)一格數(shù)一下）

師：如果不用小船怎么數(shù)？這個(gè)同學(xué)并沒有指著小船數(shù)，為什么？除了指一格數(shù)，還可以指哪里數(shù)？（點(diǎn)）從這一個(gè)點(diǎn)要數(shù)到哪一個(gè)點(diǎn)？還可以找什么？（找對(duì)應(yīng)的線段）你更喜歡哪種方法？

師：為什么有的同學(xué)的答案是小船平移了4格？有的同學(xué)的答案是小船平移了10格？可能是怎么數(shù)的？

在案例中，教師并沒有直接揭示圖形平移距離的判斷方法，通過反復(fù)訓(xùn)練來強(qiáng)化學(xué)生形成數(shù)學(xué)技能，而是基于現(xiàn)實(shí)問題情境組織學(xué)生自主嘗試研究。在學(xué)生出現(xiàn)不同答案后，教師再給學(xué)生提供小船圖片，進(jìn)行實(shí)物操作驗(yàn)證。得出正確答案后，教師追問：如果不用小船怎么數(shù)？學(xué)生再次陷入沉思之中。有的找某一格對(duì)應(yīng)的圖形去數(shù)，有的找某一個(gè)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)去數(shù)，還有的找某一條對(duì)應(yīng)的線段去數(shù)。同時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生比較不同的方法，思考哪一種方法更為便捷，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)方法的優(yōu)化。這樣從朦朧中走向清晰，數(shù)學(xué)道理越辯越明。

任何真正的認(rèn)識(shí)都是主體在已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的主動(dòng)建構(gòu)，因此，盡管學(xué)生的相關(guān)想法可能是錯(cuò)誤的或幼稚的，但仍然應(yīng)當(dāng)被看成具有一定的合理性，并構(gòu)成了新的認(rèn)識(shí)活動(dòng)的直接基礎(chǔ)——我們對(duì)此不應(yīng)采取簡(jiǎn)單否定的態(tài)度，而應(yīng)做出努力去理解它們的性質(zhì)等，從而采取適當(dāng)措施幫助學(xué)生糾正錯(cuò)誤并做出必要的改進(jìn)。在從舊知到達(dá)新知的過程中，教師需要關(guān)注學(xué)生對(duì)問題的思考，以及可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤或者片面認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生在不斷的自我思考中“擊碎”原有的錯(cuò)誤認(rèn)知，尋找到更簡(jiǎn)單、更科學(xué)的方法解決問題。因而，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)需要有一種開放的、包容的心態(tài)，耐心地傾聽別人的觀點(diǎn)和見解，對(duì)他人表達(dá)的觀點(diǎn)有自己的分析和評(píng)價(jià)，或認(rèn)同，或補(bǔ)充，或指出其中的偏差和錯(cuò)誤。而學(xué)習(xí)的過程本身，也正是一個(gè)從零散、模糊甚至有偏差或錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)逐步逼近完整、精確、趨于理性的認(rèn)識(shí)的過程。

三、習(xí)題組塊，在挑戰(zhàn)性問題中促進(jìn)數(shù)學(xué)思維由點(diǎn)到面

亞里士多德曾說過：“思維是從疑問和驚奇開始的。”這說明，問題情境對(duì)于思維的催生激活作用。同樣，高階思維需要良好思維環(huán)境的激活。在教學(xué)中，圍繞核心問題，設(shè)計(jì)具有挑戰(zhàn)性的、開放的問題鏈，讓學(xué)生在解決一些非常規(guī)的問題中經(jīng)歷頭腦風(fēng)暴，深度學(xué)習(xí)，深度體驗(yàn)，促進(jìn)思維的進(jìn)階。

在進(jìn)行“長(zhǎng)方體和正方體”的單元復(fù)習(xí)時(shí)，一位教師以“鐵絲圍長(zhǎng)方體”“用紙板圍成長(zhǎng)方體”“用木塊鋸成長(zhǎng)方體”三個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)貫穿全課，在“用紙板圍成長(zhǎng)方體”活動(dòng)中，展開了如下教學(xué)：

用紙板圍成一個(gè)長(zhǎng)方體，這是我們班幾個(gè)小組規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成的情況（如圖2呈現(xiàn)的是六個(gè)小組拿到的紙板情況）。

討論：哪幾個(gè)小組已經(jīng)順利完成了任務(wù)？你們是怎么想的？（板書：面的特征）

沒有完成任務(wù)的小組，通過觀察他們的部分材料，你們能透視出他們想做的長(zhǎng)方體還缺什么面嗎？

第（3）組和第（4）組如果就用現(xiàn)有的材料做出的長(zhǎng)方體是什么樣的？由這個(gè)無蓋長(zhǎng)方體學(xué)具模型，你們能透視出它可能是——（游泳池、水槽……）

要求用了多少材料，就是要求什么？任意選一個(gè)求表面積，小組互評(píng)，表面積的計(jì)算方法實(shí)際是依據(jù)了什么？

總結(jié)：剛才大家通過觀察局部的材料，看到完整的長(zhǎng)方體;通過平面的長(zhǎng)方形看到了立體的長(zhǎng)方體;通過一個(gè)缺面的長(zhǎng)方體模型，看到多個(gè)實(shí)物場(chǎng)景。通過具體情境，看到背后的知識(shí)點(diǎn)。透視，讓我們從局部看到了整體，從表面看到了實(shí)質(zhì)。

在案例中，教師圍繞單元核心知識(shí)設(shè)計(jì)了挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)任務(wù)，尤其是在長(zhǎng)方體表面積計(jì)算方面，并沒有簡(jiǎn)單地出示不同的題型讓學(xué)生反復(fù)訓(xùn)練，而是將表面積的相關(guān)類型有機(jī)“鑲嵌”于挑戰(zhàn)性活動(dòng)中，這一活動(dòng)融觀察、想象、分析、創(chuàng)造于一體，可以激發(fā)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的欲望。細(xì)細(xì)品味，不難發(fā)現(xiàn)，六組不同的長(zhǎng)方形紙板構(gòu)造了一個(gè)開放的數(shù)學(xué)問題的情境，有的可以圍成長(zhǎng)方體，有的不可以圍成長(zhǎng)方體。可以圍成長(zhǎng)方體的，教師啟發(fā)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)面的特征，以及還有怎樣的長(zhǎng)方體和這組圖形是一類的。更為難得的是，教師嘗試引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“透視”思維，實(shí)則就是引導(dǎo)學(xué)生在頭腦中想象圖形的拼接過程，想象拼接后長(zhǎng)方體的形狀。而對(duì)于像第（2）組和第（6）組這樣無法圍成長(zhǎng)方體的圖形，教師則啟發(fā)學(xué)生展開創(chuàng)造性的思考：補(bǔ)上怎樣的長(zhǎng)方形就可以圍成長(zhǎng)方體呢？這樣的學(xué)習(xí)活動(dòng)，需要學(xué)生借助于直觀的面在頭腦中搭建抽象的體，借助二維想象三維，借助局部透視整體，促進(jìn)學(xué)生空間觀念的發(fā)展。

四、學(xué)習(xí)分層，在對(duì)比思考中促進(jìn)數(shù)學(xué)思維由低到高

數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾指出，只要兒童沒能對(duì)自己的活動(dòng)進(jìn)行反思，他就達(dá)不到高一級(jí)的層次。思維的進(jìn)階，離不開兒童自己的學(xué)習(xí)活動(dòng)，包括內(nèi)在的思維活動(dòng)的反思。反思，促進(jìn)兒童思維的提升與進(jìn)階，也促進(jìn)著兒童“元”思維力的培養(yǎng)。因此，教師應(yīng)主動(dòng)迎接這樣一項(xiàng)挑戰(zhàn)：通過引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)比反思，認(rèn)識(shí)自己的思維現(xiàn)狀，幫助學(xué)生判斷自己對(duì)課上資料的理解處于布魯姆分類學(xué)的哪一個(gè)層次，以及如何提高評(píng)估與綜合的層次。

例如，在教學(xué)“解決問題的策略——轉(zhuǎn)化”這一內(nèi)容時(shí)，教師可以結(jié)合某一道練習(xí)題做進(jìn)一步的拓展延伸，并對(duì)應(yīng)布魯姆分類學(xué)的各個(gè)層次，給出若干不同的答案。如圖3所示，教師可在第（2）題的基礎(chǔ)上再補(bǔ)充一道計(jì)算題：2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=（ ），并嘗試做出不同的解答。第一種，直接用求和公式來計(jì)算，即等于（2+20）×10÷2，這反映的是知識(shí)層的內(nèi)容;第二種，通過分組，把原式分成5組，每組兩個(gè)數(shù)的和都是22，這反映的是理解層的內(nèi)容;第三種，與算式“1+3+5+7+9+11+13+15+17+19”相比，發(fā)現(xiàn)每一個(gè)加數(shù)都增加了1，因此和也就增加了10個(gè)1，這反映的是分析層、綜合層的內(nèi)容，以此類推。

組織學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí)后，教師再呈現(xiàn)以上不同解答的要點(diǎn)，并讓學(xué)生判斷自己的答案處于布魯姆分類學(xué)的哪個(gè)層次。同時(shí)，啟發(fā)他們思考，怎樣做才能提升到更高的學(xué)習(xí)層次上。

在學(xué)習(xí)了“解決問題的策略——轉(zhuǎn)化”這一內(nèi)容后，教師還可以讓學(xué)生以學(xué)習(xí)小結(jié)的方式對(duì)所學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行梳理，或提出一個(gè)開放性的問題讓學(xué)生簡(jiǎn)明扼要地回答。問題可能是：“你認(rèn)為通常在什么情況下需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化？”“你認(rèn)為一般可以用哪些方法來進(jìn)行轉(zhuǎn)化？”“所學(xué)的例題和習(xí)題中，哪些是同一種類型的？”教師根據(jù)學(xué)生即時(shí)提交的回答，分類進(jìn)行評(píng)論。

五、故事體驗(yàn)，于復(fù)雜情境中促進(jìn)數(shù)學(xué)思維由學(xué)科到文化

對(duì)于“人們通常將布魯姆認(rèn)知目標(biāo)的記憶、理解、應(yīng)用、分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造六個(gè)層次的前三者指認(rèn)為低階思維，后三者指認(rèn)為高階思維”這一現(xiàn)象，以華東師范大學(xué)楊九詮教授為代表的一些專家認(rèn)為這失之偏頗。以第一層“記憶”來講，如果它生成于復(fù)雜的情境，那么這樣的“記憶”就能成為發(fā)現(xiàn)問題和解決問題過程中信息篩選和提取的行動(dòng)策略。因此，這種“記憶”就不再處于低階思維，而屬于高階思維。

以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)“年、月、日”教學(xué)為例，這一內(nèi)容教學(xué)的最大難點(diǎn)在于知識(shí)點(diǎn)繁多，要讓學(xué)生短時(shí)間內(nèi)準(zhǔn)確地記住各月并非易事，其根本原因是各月天數(shù)的規(guī)律性不夠明晰。如果仍以“兒歌記憶法”“拳頭記憶法”等外在手段來幫助學(xué)生記憶，從記憶的特點(diǎn)來看，其本質(zhì)仍為機(jī)械型記憶;從認(rèn)知目標(biāo)來看，仍然處于低階層次。而如果以愷撒大帝修訂年歷的數(shù)學(xué)史故事（愷撒大帝出生在7月，繼任者奧古斯都出生在8月，2月是處決犯人的月份等）為線索，讓學(xué)生在有趣的穿越中，親身經(jīng)歷一次年歷修訂的過程。其間反復(fù)多次的調(diào)整修改，讓學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)起各月天數(shù)的認(rèn)知，了解每一次調(diào)整的背后都源自歷史事件的發(fā)生。用這種生動(dòng)的形式來幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)有意義的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在復(fù)雜的歷史情境中主動(dòng)建構(gòu)、記憶相關(guān)知識(shí)，它所培養(yǎng)的就是學(xué)生的高階思維。

高階思維孕育于復(fù)雜情境，具有顯著的整體性、發(fā)展性特征。提供相互匹配的復(fù)雜情境與高階思維，是推進(jìn)學(xué)生從學(xué)科知識(shí)習(xí)得向?qū)W科素養(yǎng)養(yǎng)成轉(zhuǎn)變的可行路徑。數(shù)學(xué)的天空，彌漫著人類文化進(jìn)程的探索氣息。以歷史故事為載體的數(shù)學(xué)課程，讓學(xué)生在故事中被賦予了一個(gè)參與者的身份，他認(rèn)同這個(gè)身份，愿意為這個(gè)身份的進(jìn)階（即從“邊緣”逐漸移向“中心”）而努力投入，學(xué)習(xí)與意義的理解就在這樣的認(rèn)同和努力的過程中自然萌發(fā)了。

（作者單位：江蘇省南通市通州區(qū)教師發(fā)展中心）

參考文獻(xiàn)

[1]楊九詮.學(xué)科核心素養(yǎng)與高階思維[N].中國(guó)教育報(bào)，2016-12-21（9）.

[2]任衛(wèi)兵.小學(xué)數(shù)學(xué)故事課程建設(shè)與實(shí)施[M].長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社，2019.

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任衛(wèi)兵，正高級(jí)教師，江蘇省特級(jí)教師，江蘇省教學(xué)名師，南通市中青年名師工作室領(lǐng)銜人。先后主持江蘇省“十五”“十一五”規(guī)劃課題、江蘇省“十二五”規(guī)劃重點(diǎn)資助課題。出版專著《把智慧點(diǎn)燃》《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)能力提升策略——引領(lǐng)學(xué)生走向智慧學(xué)習(xí)》《小學(xué)數(shù)學(xué)故事課程建設(shè)與實(shí)施》。