FRP 筋混凝土T 形和矩形截面梁抗彎承載力計(jì)算方法

彭 飛，薛偉辰

(1.湖南大學(xué)建筑安全與節(jié)能教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南，長(zhǎng)沙 410082；2.湖南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南，長(zhǎng)沙 410082；3.同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院，上海 200092)

鋼筋銹蝕降低混凝土結(jié)構(gòu)的耐久性與安全性，當(dāng)結(jié)構(gòu)暴露在腐蝕環(huán)境下時(shí)，鋼筋銹蝕問(wèn)題尤為嚴(yán)重。2021 年，美國(guó)土木工程師學(xué)會(huì)的基礎(chǔ)設(shè)施腐蝕調(diào)研報(bào)告表明，美國(guó)7.5%的橋梁因銹蝕而處于不同程度的結(jié)構(gòu)損傷狀態(tài)[1]。中科院海洋所腐蝕中心的調(diào)研結(jié)果表明，2014 年我國(guó)腐蝕總成本超過(guò)2 萬(wàn)億元，其中僅公路橋梁的腐蝕成本就超過(guò)620 億元[2]。已有科學(xué)研究和工程實(shí)踐表明，采用纖維增強(qiáng)復(fù)合材料(fiber-reinforced polymer，F(xiàn)RP)筋代替鋼筋是解決銹蝕問(wèn)題的一個(gè)行之有效的方法[3-6]。FRP 筋具有抗腐蝕性能優(yōu)良、抗拉強(qiáng)度高、受拉本構(gòu)關(guān)系呈線彈性以及彈性模量較低等特點(diǎn)。根據(jù)纖維種類的不同，目前工程結(jié)構(gòu)常用的FRP 筋包括玻璃纖維增強(qiáng)復(fù)合材料(GFRP)筋、玄武巖纖維增強(qiáng)復(fù)合材料(BFRP)筋、碳纖維增強(qiáng)復(fù)合材料(CFRP)筋和芳綸纖維增強(qiáng)復(fù)合材料(AFRP)筋等[6]。

自20 世紀(jì)70 年代以來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者廣泛開(kāi)展了FRP-RC 梁受彎性能試驗(yàn)研究[7-15]。結(jié)果表明，F(xiàn)RP-RC 梁的彎曲破壞模式為混凝土壓碎(受壓破壞)或FRP 筋拉斷(受拉破壞)，均為脆性破壞。相比受拉破壞，發(fā)生受壓破壞的梁具有更高的變形能力和安全性[16]，故受壓破壞被認(rèn)為是更理想的破壞模式。然而，工程實(shí)踐表明，對(duì)于橋面板和T 形截面梁，受拉破壞是更為常見(jiàn)的破壞模式[16-17]。因此，在現(xiàn)行設(shè)計(jì)規(guī)范中，兩種彎曲破壞模式均是被允許的。

由于FRP 筋和鋼筋在力學(xué)性能等方面的差異，鋼筋混凝土梁抗彎承載力設(shè)計(jì)方法不適用于FRP-RC 梁。對(duì)于鋼筋混凝土梁，理想的破壞模式為鋼筋屈服后混凝土壓碎破壞。對(duì)于FRP-RC梁，因?yàn)镕RP 筋的應(yīng)力-應(yīng)變呈線彈性，類似于鋼筋混凝土梁的理想破壞模式只出現(xiàn)在平衡破壞點(diǎn)。理論上，受壓破壞和受拉破壞可通過(guò)平衡配筋率ρfb(FRP 筋拉斷和混凝土壓碎同時(shí)發(fā)生的配筋率)區(qū)分，但由于材料、截面尺寸、FRP 筋位置的變異性，實(shí)際的破壞模式可能不同于預(yù)期的模式，即存在一個(gè)受拉破壞和受壓破壞皆有可能的過(guò)渡區(qū)。目前，對(duì)過(guò)渡區(qū)的上限配筋率 ρ*尚無(wú)統(tǒng)一的取值。例如，美國(guó)規(guī)范ACI 440.1R-15[18]建議過(guò)渡區(qū)的上限配筋率 ρ*取1.4ρfb，但Vijay 和GangaRao[19]以及Yost 和Gross[20]建議ρ*取1.33ρfb。Lau 和Pam[21]通過(guò)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn) ρ*應(yīng)大于1.4ρfb。

目前，國(guó)內(nèi)外有關(guān)FRP-RC 梁抗彎承載力計(jì)算方法的研究主要集中在矩形截面梁[16-18,22-23]。此外，當(dāng)梁發(fā)生受拉破壞時(shí)，受壓區(qū)混凝土未達(dá)到極限壓應(yīng)變，傳統(tǒng)的等效矩形應(yīng)力圖形不再適用。理論上，受壓區(qū)混凝土的應(yīng)力分布和相應(yīng)的受壓區(qū)高度需根據(jù)平衡條件、協(xié)調(diào)條件和材料本構(gòu)關(guān)系迭代求解，不便于工程設(shè)計(jì)[16-17]。

自20 世紀(jì)90 年代以來(lái)，國(guó)內(nèi)外陸續(xù)頒布了FRP-RC 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范。其中，我國(guó)規(guī)范GB 50608-2020[24]通過(guò)對(duì)矩形截面梁試驗(yàn)結(jié)果的回歸分析，給出了FRP-RC 梁抗彎承載力計(jì)算方法，其條文說(shuō)明明確指出該方法僅適用于矩形截面梁。此外，美國(guó)規(guī)范ACI 440.1R-15[18]和國(guó)際規(guī)范FIB Task Group 9.3[25]也僅針對(duì)矩形截面梁，而日本規(guī)范JSCE-1997[26]和加拿大規(guī)范CSA S806-12[27]僅給出了FRP-RC 梁抗彎承載力計(jì)算規(guī)定。特別的，對(duì)于受拉破壞控制截面，F(xiàn)IB 的計(jì)算公式需迭代求解。為簡(jiǎn)化計(jì)算，ACI 440.1R-15 將受拉破壞控制截面的中和軸高度取為平衡破壞狀態(tài)時(shí)的中和軸高度，已有研究表明該方法過(guò)于保守[17]。

綜上所述，目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者和設(shè)計(jì)規(guī)范對(duì)過(guò)渡區(qū)的范圍尚存在分歧，且已有的FRP-RC 梁抗彎承載力計(jì)算方法一般針對(duì)矩形截面梁。此外，當(dāng)梁發(fā)生受拉破壞時(shí)，抗彎承載力需迭代求解。因此，本文將系統(tǒng)收集FRP-RC 梁受彎性能試驗(yàn)數(shù)據(jù)，通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析確定過(guò)渡區(qū)范圍。在此基礎(chǔ)上，本文將對(duì)FRP-RC 梁開(kāi)展較系統(tǒng)的截面分析，以期建立同時(shí)適用于T 形和矩形截面梁的抗彎承載力簡(jiǎn)化計(jì)算方法。需要提到的是，本文提出的計(jì)算方法已被納入行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)CJJ/T 280[28]。

1 基本假定

基于已有試驗(yàn)研究結(jié)果[9-15]與我國(guó)規(guī)范GB 50010-2010[29]中相關(guān)規(guī)定，F(xiàn)RP-RC 梁正截面抗彎承載力計(jì)算采用如下基本假定：

1) FRP 筋與混凝土之間的粘結(jié)良好，截面應(yīng)變分布符合平截面假定；

2) 不考慮受拉區(qū)混凝土作用；

3) 由于FRP 筋彈性模量通常較低，受壓區(qū)FRP 筋對(duì)抗彎承載力的貢獻(xiàn)非常有限[18]，故不考慮受壓區(qū)FRP 筋作用；

4) 混凝土受壓的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線按GB 50010-2010 中相關(guān)規(guī)定取用：

式中：σc為混凝土壓應(yīng)變?yōu)棣與時(shí)的混凝土壓應(yīng)力；fc為混凝土軸心抗壓強(qiáng)度值；ε0為混凝土壓應(yīng)力對(duì)應(yīng)于fc的混凝土壓應(yīng)變；εcu為混凝土極限壓應(yīng)變；n為系數(shù)。

5) FRP 筋的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系呈線彈性：

式中：σf為FRP 筋應(yīng)變?yōu)棣舊時(shí)的應(yīng)力；Ef為FRP 筋彈性模量；ffu為FRP 筋極限抗拉強(qiáng)度。

2 破壞模式和平衡配筋率

2.1 平衡配筋率

理論上，F(xiàn)RP-RC 梁的彎曲破壞模式分為受拉破壞、受壓破壞和平衡破壞。其中，平衡破壞是指受拉區(qū)FRP 筋和受壓區(qū)混凝土同時(shí)達(dá)到極限應(yīng)變時(shí)的破壞模式，它是區(qū)分受拉破壞和受壓破壞的界限破壞模式。當(dāng)發(fā)生平衡破壞時(shí)，截面的應(yīng)變和應(yīng)力分布分別如圖1(b)和圖1(c)所示。此時(shí)，受壓區(qū)混凝土的應(yīng)力可以用圖1(d)所示的矩形應(yīng)力圖等效。因此，平衡破壞狀態(tài)下的截面內(nèi)力平衡條件可表示為：

圖1 截面應(yīng)變和應(yīng)力分布圖：平衡破壞Fig.1 Strain and stress diagrams:Balanced failure

根據(jù)截面協(xié)調(diào)條件(圖1(b))，得到平衡破壞時(shí)的相對(duì)混凝土受壓區(qū)高度 ξfb：

式中：h0為截面有效高度；εfu為FRP 筋極限拉應(yīng)變；β1為等效矩形應(yīng)力圖的受壓區(qū)高度系數(shù)，可按文獻(xiàn)[29]確定。

聯(lián)立式(3)和式(4)，得到：

2.2 過(guò)渡區(qū)確定

FRP-RC 梁的抗彎承載力計(jì)算取決于破壞模式。理論上，若等效FRP 配筋率ρef低于平衡配筋率ρef,b，則破壞模式為受拉破壞，否則為受壓破壞。但是由于材料強(qiáng)度的不確定性、計(jì)算模型假定和幾何尺寸的變異性，實(shí)際的破壞模式可能不同于預(yù)測(cè)的情況。例如，當(dāng)混凝土極限壓應(yīng)變高于假定的壓應(yīng)變?chǔ)與u，則梁可能發(fā)生受拉破壞，即存在一個(gè)兩種破壞模式皆有可能的過(guò)渡區(qū)。對(duì)于該過(guò)渡區(qū)的范圍，已有的取值一般都是基于有限或特定參數(shù)梁的試驗(yàn)結(jié)果確定的，難以反映實(shí)際工程中梁的一般參數(shù)變化范圍。因此，本文系統(tǒng)收集了包含T 形和矩形截面梁在內(nèi)的257 根FRPRC 梁的受彎性能試驗(yàn)數(shù)據(jù)，采用式(6)和式(7)預(yù)測(cè)梁的破壞模式，發(fā)現(xiàn)20 根梁的實(shí)際破壞模式不同于預(yù)測(cè)的模式。基于收集的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，本文建議過(guò)渡區(qū)上限配筋率可按下式確定[17]：

式中，σ 為發(fā)生受壓破壞的梁的抗彎承載力理論值和抗彎承載力試驗(yàn)值之比的標(biāo)準(zhǔn)差。假定抗彎承載力試驗(yàn)值和抗彎承載力理論值之比呈正態(tài)分布，由概率統(tǒng)計(jì)可知，按式(8)得到的上限配筋率具有99.87%的概率發(fā)生受壓破壞。

基于257 根FRP-RC 梁(其中155 根梁發(fā)生受壓破壞)試驗(yàn)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)分析，得到式(8)中的σ 等于10.9%。因此，過(guò)渡區(qū)上限的取值為1.5ρef,b。相比于受拉破壞，受壓破壞因破壞前具有較大的變形能力，被認(rèn)為是更為理想的破壞模式[30]。因此，在工程設(shè)計(jì)中，建議過(guò)渡區(qū)取為ρef,b＜ρef≤1.5ρef,b。表1 列出了配筋率和彎曲破壞模式之間的關(guān)系。

表1 配筋率與破壞模式的關(guān)系Table 1 Reinforcement ratio versus failure mode

3 抗彎承載力計(jì)算

3.1 受拉破壞控制截面

當(dāng)梁發(fā)生受拉破壞時(shí)，受拉區(qū)FRP 筋的應(yīng)變達(dá)到極限拉應(yīng)變?chǔ)舊u，但受壓邊緣混凝土壓應(yīng)變?chǔ)與f未達(dá)到極限壓應(yīng)變?chǔ)與u。沿截面的應(yīng)力和應(yīng)變分布分別如圖2(b)和圖2(c)所示。在這種情況下，受壓區(qū)混凝土應(yīng)力可用系數(shù)α 和β 表示的等效矩形應(yīng)力圖近似代替，矩形應(yīng)力圖的應(yīng)力取為αfc，受壓區(qū)高度取為βx0，x0為中和軸到截面受壓邊緣的距離，如圖2(d)所示。系數(shù)α 和β 需根據(jù)等效原則確定，即圖2(d)所示的壓應(yīng)力合力等于圖2(c)所示的壓應(yīng)力合力，且壓應(yīng)力合力的作用位置相同。因此，系數(shù)α 和β 需滿足下列公式：

圖2 截面應(yīng)變和應(yīng)力分布圖：受拉破壞Fig.2 Strain and stress diagrams:Tension failure

如圖2 所示，受拉破壞控制截面的內(nèi)力平衡條件和協(xié)調(diào)條件可分別表示為：

為了確定系數(shù)α、β 和相對(duì)受壓區(qū)高度ξ，需聯(lián)立式(9)～式(12)數(shù)值求解，圖3 概括了數(shù)值計(jì)算的步驟。通過(guò)改變受拉FRP 筋的配筋率ρef，重復(fù)圖3 所示的程序，直到ρef達(dá)到ρef,b，得到相應(yīng)的ξ。

圖3 數(shù)值計(jì)算程序Fig.3 Numerical procedure

基于上述截面數(shù)值分析程序，考慮多個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)的影響，開(kāi)展了25 344 個(gè)受拉破壞控制截面的參數(shù)分析。表2 列出了設(shè)計(jì)參數(shù)的取值，幾乎涵蓋了工程中常見(jiàn)的取值范圍。其中，矩形截面梁數(shù)量占1/4，T 形截面梁數(shù)量占3/4。對(duì)于矩形截面，等效FRP 配筋率ρef的范圍為0.2ρef,b～ρef,b；對(duì)于T 形截面，為確保中和軸位于腹板內(nèi)，ρef的下限值ρef,min取決于受壓翼緣厚度。FRP 筋彈性模量Ef取為45 GPa、55 GPa、75 GPa 和145 GPa，分別代表工程中常見(jiàn)的GFRP、BFRP、AFRP 和CFRP筋；FRP 筋極限拉應(yīng)變?chǔ)舊u的范圍取為0.01～0.025；混凝土抗壓強(qiáng)度f(wàn)c的范圍取為30 MPa～60 MPa。

表2 設(shè)計(jì)參數(shù)的取值Table 2 Design parameter variation

針對(duì)表2 所列的設(shè)計(jì)參數(shù)，共開(kāi)展了25 344個(gè)受拉破壞控制截面的參數(shù)分析。相關(guān)性分析表明，F(xiàn)RP 配筋率比ρef/ρef,b和受壓翼緣寬度與腹板寬度之比是影響截面相對(duì)受壓區(qū)高度ξ 的兩個(gè)主要參數(shù)。在此基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)數(shù)值計(jì)算結(jié)果的多元回歸分析，得到ξ 的計(jì)算公式：

統(tǒng)計(jì)分析表明，式(13)的確定性系數(shù)R2和相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差Se分別為0.987 和0.035，即式(13)與數(shù)值計(jì)算值具有良好的相關(guān)性[31]。圖4(a)～圖4(c)分別表示受壓翼緣寬度、FRP 筋極限拉應(yīng)變?chǔ)舊u和受壓翼緣高度對(duì)式(13)準(zhǔn)確性的影響。可知，根據(jù)式(13)計(jì)算得到的相對(duì)受壓區(qū)高度與數(shù)值計(jì)算結(jié)果吻合良好。

圖4 相對(duì)受壓區(qū)高度的變化規(guī)律Fig.4 Variation in non-dimensional equivalent depth of compression zone

特別地，對(duì)于矩形截面梁，美國(guó)規(guī)范ACI 440.1R-15[18]也給出了受拉破壞控制截面的簡(jiǎn)化計(jì)算公式，但該公式將相對(duì)混凝土受壓區(qū)高ξ 取為平衡破壞時(shí)的相對(duì)混凝土受壓區(qū)高度ξfb。圖5 虛線表示了根據(jù)ACI 440.1R-15 得到的相對(duì)受壓區(qū)高度。可知，ACI 440.1R-15 沒(méi)有考慮FRP 配筋率改變引起的混凝土受壓區(qū)高度的變化，低估了截面內(nèi)力臂系數(shù)，從而低估了受拉破壞控制截面的抗彎承載力。

圖5 相對(duì)受壓區(qū)高度對(duì)比Fig.5 Comparison of non-dimensional equivalent depth of compression zone

根據(jù)式(13)確定相對(duì)受壓區(qū)高度ξ 之后，系數(shù)α 可通過(guò)內(nèi)力平衡條件確定：

圖6 對(duì)比了系數(shù)α 的數(shù)值計(jì)算結(jié)果和簡(jiǎn)化公式計(jì)算結(jié)果，兩者吻合良好。

圖6 系數(shù)α 隨ρef/ρef,b 的變化規(guī)律Fig.6 Variation in parameter α with ρef/ρef,b

根據(jù)彎矩平衡條件，得到受拉破壞控制截面的抗彎承載力計(jì)算公式：

需要提到的是，當(dāng)按式(12)計(jì)算的x小于時(shí)，按梁寬為的矩形截面重新計(jì)算。

3.2 受壓破壞控制截面

當(dāng)梁發(fā)生受壓破壞時(shí)，受壓邊緣混凝土壓應(yīng)變?chǔ)與f達(dá)到極限壓應(yīng)變?chǔ)與u，受拉區(qū)FRP 筋的應(yīng)力未知。截面的應(yīng)變和應(yīng)力分布分別如圖7(b)和圖7(c)所示。此時(shí)，受壓區(qū)混凝土的應(yīng)力可用圖7(d)所示的矩形應(yīng)力圖等效。

圖7 截面應(yīng)變和應(yīng)力分布圖：受壓破壞Fig.7 Strain and stress diagrams:Compression failure

基于截面力的平衡條件和應(yīng)變協(xié)調(diào)條件，得到以下公式：

式中，σf為破壞時(shí)受拉FRP 筋的應(yīng)力。

需要提到的是，當(dāng)按式(17)計(jì)算的x小于時(shí)，按梁寬為的矩形截面重新計(jì)算。

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文方法的準(zhǔn)確性，從國(guó)內(nèi)外42 篇文獻(xiàn)中系統(tǒng)收集了257 根FRP-RC 梁的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，表3 列出了數(shù)據(jù)庫(kù)中梁的來(lái)源和若干關(guān)鍵參數(shù)。所有梁均發(fā)生彎曲破壞。其中，GFRP-RC、BFRP-RC、CFRP-RC 和AFRP-RC 梁分別為203 根、25 根、8 根和21 根。表4 列出了抗彎承載力試驗(yàn)值與計(jì)算值之比(Mexp/Mcal)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，根據(jù)本文方法得到的Mexp/Mcal的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為1.06 和0.16。

表3 FRP-RC 梁數(shù)據(jù)庫(kù)Table 3 Experimental database of FRP-RC beams

表4 試驗(yàn)驗(yàn)證Table 4 Validation of proposed design approach

圖8(a)和圖8(b)分別對(duì)比了受拉破壞和受壓破壞梁的抗彎承載力試驗(yàn)值與計(jì)算值。可知，本文提出的計(jì)算方法能準(zhǔn)確計(jì)算兩種破壞模式下的FRP-RC 梁抗彎承載力。當(dāng)梁發(fā)生受壓破壞時(shí)，根據(jù)本文方法得到的抗彎承載力略低于試驗(yàn)值，這是因?yàn)橛?jì)算中忽略了受壓區(qū)FRP 筋的貢獻(xiàn)；當(dāng)梁發(fā)生受拉破壞時(shí)，忽略受壓區(qū)FRP 筋作用對(duì)抗彎承載力計(jì)算的影響非常有限。

圖8 抗彎承載力計(jì)算值與試驗(yàn)值對(duì)比Fig.8 Comparison of predicted flexural capacities with experimental results

對(duì)于過(guò)渡區(qū)截面，本文分別采用受拉和受壓破壞控制截面的公式計(jì)算了抗彎承載力。結(jié)果表明，根據(jù)受拉破壞控制截面計(jì)算公式得到的Mexp/Mcal的均值和方差分別為0.97 和0.11，而根據(jù)受壓破壞控制截面計(jì)算公式得到的Mexp/Mcal的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為1.06 和0.18。這表明根據(jù)受拉破壞控制截面計(jì)算公式得到的抗彎承載力更準(zhǔn)確。

5 結(jié)論

本文開(kāi)展了FRP 筋混凝土T 形和矩形截面梁抗彎承載力計(jì)算理論研究。基于該研究工作，得到如下結(jié)論：

(1) 通過(guò)定義截面FRP-RC 梁的等效FRP 配筋率ρef，確定了受拉破壞和受壓破壞的理論判別準(zhǔn)則。基于257 根FRP-RC 梁試驗(yàn)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)分析，改進(jìn)了過(guò)渡區(qū)范圍(ρef,b＜ρef≤1.5ρef,b)。

(2) 編制了受拉破壞控制截面的非線性分析程序，并開(kāi)展了25 344 個(gè)截面的參數(shù)分析。通過(guò)對(duì)分析結(jié)果的多元回歸分析，得到了受拉破壞控制截面相對(duì)受壓區(qū)高度ξ 的簡(jiǎn)化計(jì)算公式。在此基礎(chǔ)上，分別提出了受拉和受壓破壞控制截面抗彎承載力簡(jiǎn)化計(jì)算方法，該方法同時(shí)適用于T 形和矩形截面梁。

(3) 將國(guó)內(nèi)外257 根FRP-RC 梁的試驗(yàn)結(jié)果與本文方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果表明兩者吻合良好，抗彎承載力試驗(yàn)值與計(jì)算值之比的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為1.06 和0.16。

(4) 對(duì)于過(guò)渡區(qū)截面，其抗彎承載力可按受拉破壞控制截面計(jì)算公式確定。