FRP 筋混凝土T 形和矩形截面梁抗彎承載力計算方法

彭 飛，薛偉辰

(1.湖南大學建筑安全與節能教育部重點實驗室，湖南，長沙 410082；2.湖南大學土木工程學院，湖南，長沙 410082；3.同濟大學土木工程學院，上海 200092)

鋼筋銹蝕降低混凝土結構的耐久性與安全性，當結構暴露在腐蝕環境下時，鋼筋銹蝕問題尤為嚴重。2021 年，美國土木工程師學會的基礎設施腐蝕調研報告表明，美國7.5%的橋梁因銹蝕而處于不同程度的結構損傷狀態[1]。中科院海洋所腐蝕中心的調研結果表明，2014 年我國腐蝕總成本超過2 萬億元，其中僅公路橋梁的腐蝕成本就超過620 億元[2]。已有科學研究和工程實踐表明，采用纖維增強復合材料(fiber-reinforced polymer，FRP)筋代替鋼筋是解決銹蝕問題的一個行之有效的方法[3-6]。FRP 筋具有抗腐蝕性能優良、抗拉強度高、受拉本構關系呈線彈性以及彈性模量較低等特點。根據纖維種類的不同，目前工程結構常用的FRP 筋包括玻璃纖維增強復合材料(GFRP)筋、玄武巖纖維增強復合材料(BFRP)筋、碳纖維增強復合材料(CFRP)筋和芳綸纖維增強復合材料(AFRP)筋等[6]。

自20 世紀70 年代以來，國內外學者廣泛開展了FRP-RC 梁受彎性能試驗研究[7-15]。結果表明，FRP-RC 梁的彎曲破壞模式為混凝土壓碎(受壓破壞)或FRP 筋拉斷(受拉破壞)，均為脆性破壞。相比受拉破壞，發生受壓破壞的梁具有更高的變形能力和安全性[16]，故受壓破壞被認為是更理想的破壞模式。然而，工程實踐表明，對于橋面板和T 形截面梁，受拉破壞是更為常見的破壞模式[16-17]。因此，在現行設計規范中，兩種彎曲破壞模式均是被允許的。

由于FRP 筋和鋼筋在力學性能等方面的差異，鋼筋混凝土梁抗彎承載力設計方法不適用于FRP-RC 梁。對于鋼筋混凝土梁，理想的破壞模式為鋼筋屈服后混凝土壓碎破壞。對于FRP-RC梁，因為FRP 筋的應力-應變呈線彈性，類似于鋼筋混凝土梁的理想破壞模式只出現在平衡破壞點。理論上，受壓破壞和受拉破壞可通過平衡配筋率ρfb(FRP 筋拉斷和混凝土壓碎同時發生的配筋率)區分，但由于材料、截面尺寸、FRP 筋位置的變異性，實際的破壞模式可能不同于預期的模式，即存在一個受拉破壞和受壓破壞皆有可能的過渡區。目前，對過渡區的上限配筋率 ρ*尚無統一的取值。例如，美國規范ACI 440.1R-15[18]建議過渡區的上限配筋率 ρ*取1.4ρfb，但Vijay 和GangaRao[19]以及Yost 和Gross[20]建議ρ*取1.33ρfb。Lau 和Pam[21]通過試驗發現 ρ*應大于1.4ρfb。

目前，國內外有關FRP-RC 梁抗彎承載力計算方法的研究主要集中在矩形截面梁[16-18,22-23]。此外，當梁發生受拉破壞時，受壓區混凝土未達到極限壓應變，傳統的等效矩形應力圖形不再適用。理論上，受壓區混凝土的應力分布和相應的受壓區高度需根據平衡條件、協調條件和材料本構關系迭代求解，不便于工程設計[16-17]。

自20 世紀90 年代以來，國內外陸續頒布了FRP-RC 結構設計規范。其中，我國規范GB 50608-2020[24]通過對矩形截面梁試驗結果的回歸分析，給出了FRP-RC 梁抗彎承載力計算方法，其條文說明明確指出該方法僅適用于矩形截面梁。此外，美國規范ACI 440.1R-15[18]和國際規范FIB Task Group 9.3[25]也僅針對矩形截面梁，而日本規范JSCE-1997[26]和加拿大規范CSA S806-12[27]僅給出了FRP-RC 梁抗彎承載力計算規定。特別的，對于受拉破壞控制截面，FIB 的計算公式需迭代求解。為簡化計算，ACI 440.1R-15 將受拉破壞控制截面的中和軸高度取為平衡破壞狀態時的中和軸高度，已有研究表明該方法過于保守[17]。

綜上所述，目前國內外學者和設計規范對過渡區的范圍尚存在分歧，且已有的FRP-RC 梁抗彎承載力計算方法一般針對矩形截面梁。此外，當梁發生受拉破壞時，抗彎承載力需迭代求解。因此，本文將系統收集FRP-RC 梁受彎性能試驗數據，通過統計分析確定過渡區范圍。在此基礎上，本文將對FRP-RC 梁開展較系統的截面分析，以期建立同時適用于T 形和矩形截面梁的抗彎承載力簡化計算方法。需要提到的是，本文提出的計算方法已被納入行業標準CJJ/T 280[28]。

1 基本假定

基于已有試驗研究結果[9-15]與我國規范GB 50010-2010[29]中相關規定，FRP-RC 梁正截面抗彎承載力計算采用如下基本假定：

1) FRP 筋與混凝土之間的粘結良好，截面應變分布符合平截面假定；

2) 不考慮受拉區混凝土作用；

3) 由于FRP 筋彈性模量通常較低，受壓區FRP 筋對抗彎承載力的貢獻非常有限[18]，故不考慮受壓區FRP 筋作用；

4) 混凝土受壓的應力-應變關系曲線按GB 50010-2010 中相關規定取用：

式中：σc為混凝土壓應變為εc時的混凝土壓應力；fc為混凝土軸心抗壓強度值；ε0為混凝土壓應力對應于fc的混凝土壓應變；εcu為混凝土極限壓應變；n為系數。

5) FRP 筋的應力-應變關系呈線彈性：

式中：σf為FRP 筋應變為εf時的應力；Ef為FRP 筋彈性模量；ffu為FRP 筋極限抗拉強度。

2 破壞模式和平衡配筋率

2.1 平衡配筋率

理論上，FRP-RC 梁的彎曲破壞模式分為受拉破壞、受壓破壞和平衡破壞。其中，平衡破壞是指受拉區FRP 筋和受壓區混凝土同時達到極限應變時的破壞模式，它是區分受拉破壞和受壓破壞的界限破壞模式。當發生平衡破壞時，截面的應變和應力分布分別如圖1(b)和圖1(c)所示。此時，受壓區混凝土的應力可以用圖1(d)所示的矩形應力圖等效。因此，平衡破壞狀態下的截面內力平衡條件可表示為：

圖1 截面應變和應力分布圖：平衡破壞Fig.1 Strain and stress diagrams:Balanced failure

根據截面協調條件(圖1(b))，得到平衡破壞時的相對混凝土受壓區高度 ξfb：

式中：h0為截面有效高度；εfu為FRP 筋極限拉應變；β1為等效矩形應力圖的受壓區高度系數，可按文獻[29]確定。

聯立式(3)和式(4)，得到：

2.2 過渡區確定

FRP-RC 梁的抗彎承載力計算取決于破壞模式。理論上，若等效FRP 配筋率ρef低于平衡配筋率ρef,b，則破壞模式為受拉破壞，否則為受壓破壞。但是由于材料強度的不確定性、計算模型假定和幾何尺寸的變異性，實際的破壞模式可能不同于預測的情況。例如，當混凝土極限壓應變高于假定的壓應變εcu，則梁可能發生受拉破壞，即存在一個兩種破壞模式皆有可能的過渡區。對于該過渡區的范圍，已有的取值一般都是基于有限或特定參數梁的試驗結果確定的，難以反映實際工程中梁的一般參數變化范圍。因此，本文系統收集了包含T 形和矩形截面梁在內的257 根FRPRC 梁的受彎性能試驗數據，采用式(6)和式(7)預測梁的破壞模式，發現20 根梁的實際破壞模式不同于預測的模式。基于收集的試驗數據，本文建議過渡區上限配筋率可按下式確定[17]：

式中，σ 為發生受壓破壞的梁的抗彎承載力理論值和抗彎承載力試驗值之比的標準差。假定抗彎承載力試驗值和抗彎承載力理論值之比呈正態分布，由概率統計可知，按式(8)得到的上限配筋率具有99.87%的概率發生受壓破壞。

基于257 根FRP-RC 梁(其中155 根梁發生受壓破壞)試驗結果的統計分析，得到式(8)中的σ 等于10.9%。因此，過渡區上限的取值為1.5ρef,b。相比于受拉破壞，受壓破壞因破壞前具有較大的變形能力，被認為是更為理想的破壞模式[30]。因此，在工程設計中，建議過渡區取為ρef,b＜ρef≤1.5ρef,b。表1 列出了配筋率和彎曲破壞模式之間的關系。

表1 配筋率與破壞模式的關系Table 1 Reinforcement ratio versus failure mode

3 抗彎承載力計算

3.1 受拉破壞控制截面

當梁發生受拉破壞時，受拉區FRP 筋的應變達到極限拉應變εfu，但受壓邊緣混凝土壓應變εcf未達到極限壓應變εcu。沿截面的應力和應變分布分別如圖2(b)和圖2(c)所示。在這種情況下，受壓區混凝土應力可用系數α 和β 表示的等效矩形應力圖近似代替，矩形應力圖的應力取為αfc，受壓區高度取為βx0，x0為中和軸到截面受壓邊緣的距離，如圖2(d)所示。系數α 和β 需根據等效原則確定，即圖2(d)所示的壓應力合力等于圖2(c)所示的壓應力合力，且壓應力合力的作用位置相同。因此，系數α 和β 需滿足下列公式：

圖2 截面應變和應力分布圖：受拉破壞Fig.2 Strain and stress diagrams:Tension failure

如圖2 所示，受拉破壞控制截面的內力平衡條件和協調條件可分別表示為：

為了確定系數α、β 和相對受壓區高度ξ，需聯立式(9)～式(12)數值求解，圖3 概括了數值計算的步驟。通過改變受拉FRP 筋的配筋率ρef，重復圖3 所示的程序，直到ρef達到ρef,b，得到相應的ξ。

圖3 數值計算程序Fig.3 Numerical procedure

基于上述截面數值分析程序，考慮多個設計參數的影響，開展了25 344 個受拉破壞控制截面的參數分析。表2 列出了設計參數的取值，幾乎涵蓋了工程中常見的取值范圍。其中，矩形截面梁數量占1/4，T 形截面梁數量占3/4。對于矩形截面，等效FRP 配筋率ρef的范圍為0.2ρef,b～ρef,b；對于T 形截面，為確保中和軸位于腹板內，ρef的下限值ρef,min取決于受壓翼緣厚度。FRP 筋彈性模量Ef取為45 GPa、55 GPa、75 GPa 和145 GPa，分別代表工程中常見的GFRP、BFRP、AFRP 和CFRP筋；FRP 筋極限拉應變εfu的范圍取為0.01～0.025；混凝土抗壓強度fc的范圍取為30 MPa～60 MPa。

表2 設計參數的取值Table 2 Design parameter variation

針對表2 所列的設計參數，共開展了25 344個受拉破壞控制截面的參數分析。相關性分析表明，FRP 配筋率比ρef/ρef,b和受壓翼緣寬度與腹板寬度之比是影響截面相對受壓區高度ξ 的兩個主要參數。在此基礎上，通過對數值計算結果的多元回歸分析，得到ξ 的計算公式：

統計分析表明，式(13)的確定性系數R2和相應的標準差Se分別為0.987 和0.035，即式(13)與數值計算值具有良好的相關性[31]。圖4(a)～圖4(c)分別表示受壓翼緣寬度、FRP 筋極限拉應變εfu和受壓翼緣高度對式(13)準確性的影響。可知，根據式(13)計算得到的相對受壓區高度與數值計算結果吻合良好。

圖4 相對受壓區高度的變化規律Fig.4 Variation in non-dimensional equivalent depth of compression zone

特別地，對于矩形截面梁，美國規范ACI 440.1R-15[18]也給出了受拉破壞控制截面的簡化計算公式，但該公式將相對混凝土受壓區高ξ 取為平衡破壞時的相對混凝土受壓區高度ξfb。圖5 虛線表示了根據ACI 440.1R-15 得到的相對受壓區高度。可知，ACI 440.1R-15 沒有考慮FRP 配筋率改變引起的混凝土受壓區高度的變化，低估了截面內力臂系數，從而低估了受拉破壞控制截面的抗彎承載力。

圖5 相對受壓區高度對比Fig.5 Comparison of non-dimensional equivalent depth of compression zone

根據式(13)確定相對受壓區高度ξ 之后，系數α 可通過內力平衡條件確定：

圖6 對比了系數α 的數值計算結果和簡化公式計算結果，兩者吻合良好。

圖6 系數α 隨ρef/ρef,b 的變化規律Fig.6 Variation in parameter α with ρef/ρef,b

根據彎矩平衡條件，得到受拉破壞控制截面的抗彎承載力計算公式：

需要提到的是，當按式(12)計算的x小于時，按梁寬為的矩形截面重新計算。

3.2 受壓破壞控制截面

當梁發生受壓破壞時，受壓邊緣混凝土壓應變εcf達到極限壓應變εcu，受拉區FRP 筋的應力未知。截面的應變和應力分布分別如圖7(b)和圖7(c)所示。此時，受壓區混凝土的應力可用圖7(d)所示的矩形應力圖等效。

圖7 截面應變和應力分布圖：受壓破壞Fig.7 Strain and stress diagrams:Compression failure

基于截面力的平衡條件和應變協調條件，得到以下公式：

式中，σf為破壞時受拉FRP 筋的應力。

需要提到的是，當按式(17)計算的x小于時，按梁寬為的矩形截面重新計算。

4 試驗驗證

為了驗證本文方法的準確性，從國內外42 篇文獻中系統收集了257 根FRP-RC 梁的試驗數據，表3 列出了數據庫中梁的來源和若干關鍵參數。所有梁均發生彎曲破壞。其中，GFRP-RC、BFRP-RC、CFRP-RC 和AFRP-RC 梁分別為203 根、25 根、8 根和21 根。表4 列出了抗彎承載力試驗值與計算值之比(Mexp/Mcal)的平均值和標準差，根據本文方法得到的Mexp/Mcal的均值和標準差分別為1.06 和0.16。

表3 FRP-RC 梁數據庫Table 3 Experimental database of FRP-RC beams

表4 試驗驗證Table 4 Validation of proposed design approach

圖8(a)和圖8(b)分別對比了受拉破壞和受壓破壞梁的抗彎承載力試驗值與計算值。可知，本文提出的計算方法能準確計算兩種破壞模式下的FRP-RC 梁抗彎承載力。當梁發生受壓破壞時，根據本文方法得到的抗彎承載力略低于試驗值，這是因為計算中忽略了受壓區FRP 筋的貢獻；當梁發生受拉破壞時，忽略受壓區FRP 筋作用對抗彎承載力計算的影響非常有限。

圖8 抗彎承載力計算值與試驗值對比Fig.8 Comparison of predicted flexural capacities with experimental results

對于過渡區截面，本文分別采用受拉和受壓破壞控制截面的公式計算了抗彎承載力。結果表明，根據受拉破壞控制截面計算公式得到的Mexp/Mcal的均值和方差分別為0.97 和0.11，而根據受壓破壞控制截面計算公式得到的Mexp/Mcal的均值和標準差分別為1.06 和0.18。這表明根據受拉破壞控制截面計算公式得到的抗彎承載力更準確。

5 結論

本文開展了FRP 筋混凝土T 形和矩形截面梁抗彎承載力計算理論研究。基于該研究工作，得到如下結論：

(1) 通過定義截面FRP-RC 梁的等效FRP 配筋率ρef，確定了受拉破壞和受壓破壞的理論判別準則。基于257 根FRP-RC 梁試驗結果的統計分析，改進了過渡區范圍(ρef,b＜ρef≤1.5ρef,b)。

(2) 編制了受拉破壞控制截面的非線性分析程序，并開展了25 344 個截面的參數分析。通過對分析結果的多元回歸分析，得到了受拉破壞控制截面相對受壓區高度ξ 的簡化計算公式。在此基礎上，分別提出了受拉和受壓破壞控制截面抗彎承載力簡化計算方法，該方法同時適用于T 形和矩形截面梁。

(3) 將國內外257 根FRP-RC 梁的試驗結果與本文方法的計算結果進行了對比，結果表明兩者吻合良好，抗彎承載力試驗值與計算值之比的均值和標準差分別為1.06 和0.16。

(4) 對于過渡區截面，其抗彎承載力可按受拉破壞控制截面計算公式確定。