基于經(jīng)驗模態(tài)分解和模型縮聚的動力響應重構方法研究

鄒云峰，付正億，何旭輝，盧玄東，陽勁松，周 帥

(1.中南大學土木工程學院，湖南，長沙 410075；2.中南大學交通運輸工程學院，湖南，長沙 410075；3.中國建筑第五工程局有限公司，湖南，長沙 410004)

隨著新技術、新材料在土木工程結構中的應用，人們對土木工程結構的安全性及可靠性提出更高要求。結合安裝在工程結構上的傳感器采集所得數(shù)據(jù)，可對工程結構進行健康監(jiān)測及使用壽命評估[1-3]，但結構健康監(jiān)測及使用壽命評估需要解決的關鍵問題是合理地監(jiān)控關鍵位置的健康狀態(tài)[4-6]，因此需要依賴于傳感器系統(tǒng)。而大多數(shù)工程結構有限元模型自由度數(shù)目過多[7-10]，此外，鑒于工程結構的幾何復雜性及部件多樣性，某些位置(例如結構交界面、狹縫等)不易安裝傳感器，而這些位置往往是結構健康監(jiān)測及使用壽命評估的關鍵部位[11-13]。

基于上述問題，近年來通過已安裝傳感器位置的響應對未安裝傳感器位置響應進行重構的方法得到廣泛重視。Ribeiro 等[14]針對多自由度系統(tǒng)提出一種基于廣義傳遞矩陣的響應重構法，在頻域內(nèi)建立兩組響應的傳遞矩陣，進而實現(xiàn)響應待測點的重構工作。Law 等[15-17]基于頻響函數(shù)將上述位移傳遞率推廣至加速度傳遞率，完成了全模型或模型子結構上的響應重構。在進行子結構基礎上的響應重構時，將子結構間的界面力視為外力并建立傳遞函數(shù)，從而完成響應重構。以上工作為頻域上的響應重構，而完成頻域基礎上的響應重構工作時，需要多次運用傅里葉變換及逆變換，就計算效率而言，時域上的重構方法更具優(yōu)越性。為此，Zhang 等[18-19]通過模態(tài)分析法，在時域基礎上建立兩組響應的模態(tài)轉換矩陣，并結合歸一化方法，完成了結構應變、位移響應重構。He 等[20-21]拓展了該重構方法，提出一種基于經(jīng)驗模態(tài)分解(Empirical Mode Decomposition,EMD)的響應重構方法，該方法通過間歇準則與經(jīng)驗模態(tài)分解法，得到測得響應的各單頻時域響應，結合模態(tài)傳遞矩陣完成各單頻響應的重構，再通過模態(tài)疊加法得到未安裝傳感器位置的動力響應。由于該方法不能完成應力及應變的重構，He 等[22]又基于歐拉伯努利梁理論，結合懸臂梁模擬及試驗，進一步實現(xiàn)了應力及應變的重構。但現(xiàn)有的基于EMD 的時域響應重構方法，需要獲取整個結構的全局剛度矩陣與質(zhì)量矩陣。土木工程復雜結構的自由度數(shù)目較大，在提取剛度矩陣、質(zhì)量矩陣時需要大量的計算資源與計算時間。同時，由于矩陣維數(shù)過大，也會導致計算傳遞矩陣時間過長，計算效率過低的問題，難以推廣應用于工程實際中的實時監(jiān)測[23-26]。

針對以上問題，本文提出基于經(jīng)驗模態(tài)分解和模型縮聚的動力響應重構法。不同于傳統(tǒng)的基于帶有間歇性準則的經(jīng)驗模態(tài)分解法，該響應重構在超單元的基礎上完成。根據(jù)響應采集點及待測點所在位置劃分子結構，建立各子結構的有限元模型，對于工程結構而言，一般選取低階模態(tài)作為子結構的主模態(tài)，通過坐標變換，得到各子結構的超單元模型[27-28]。然后，進行二次坐標變換，將各子結構耦合為全模型，提取該模型的模態(tài)轉換矩陣。結合帶有間歇性準則的經(jīng)驗模態(tài)分解法，將采集點的響應轉換成各個單頻響應，通過模態(tài)轉換矩陣即可得到待重構響應的各單頻響應，并通過模態(tài)疊加法即可完成超單元基礎上的重構，此時所得的重構響應即為待測點的響應。

1 基于經(jīng)驗模態(tài)分解和模型縮聚的動力響應重構理論推導

1.1 子結構劃分

一般情況下，根據(jù)響應采集位置和待測點所處位置劃分子結構，將這兩個測點所處位置分別作為各自子結構的界面，由此形成子結構。通過有限元法提取子結構的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，便于后期計算。

對于一般的子結構，其有限元基礎上的動力學運動方程可表示為：

根據(jù)Craig-Bampton 模態(tài)綜合法，提取子結構s的模態(tài)轉換矩陣 Φs，結合布爾矩陣L，通過兩次坐標變換，可得到該模型的超單元基礎上的動力學運動方程式(2)。各子結構耦合為超單元模型后，各子結構間的界面力gs(t)耦合為0。

式中，各向量主要由兩部分構成，各子結構界面自由度集及子結構內(nèi)部單元各自由度主模態(tài)集。皆為超單元模型的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣及剛度矩陣。模型的超單元位移響應可表示為：

式中：p為超單元模型的位移響應集；pin為第n個子結構的內(nèi)部單元自由度的主模態(tài)位移響應集；pjn為第n個子結構的界面自由度的位移響應集。

1.2 子結構的動力響應重構理論

假設子結構界面自由度m的響應Xm(t)已知，需要重構另一子結構邊界自由度r的響應Xr(t)。首先，結合坐標轉換將已知響應Xm(t)轉換為pm(t)，由于邊界自由度為約束模態(tài)，則Xm(t)等于pm(t)。基于帶有間歇準則的EMD 方法，將pm(t)分解為各單頻的時域響應。其中，帶有間歇準則的經(jīng)驗模態(tài)分解法(EMD)通過以下步驟實現(xiàn)。

首先，確定輸入信號pm(t)的極大值及極小值點；然后，由各極值點擬合上包絡線及下包絡線，計算上下包絡線的平均值m1(t)；再由式h1(t)計算第一個分量，h1(t)可表示為：

h1(t)=pm(t)-m1(t)(4)

判斷h1(t)是否滿足IMF 條件，若否，則將h1(t)視為新的信號重新篩；建立信號h1(t)的包絡線，計算上下包絡線的平均值m11，得到分量h11(t)，h11(t)可表示為：

重復k次以上篩選過程，直到分量h1k為本征模態(tài)函數(shù)(IMF)，h1k可表示為：

設數(shù)據(jù)中篩選得到的第一個IMF 分量f1(t)=h1k，把剩余信號pm(t)-f1(t)重復以上篩選步驟獲得第二個IMFf2(t)。再將剩余信號不斷循環(huán)，依次得到其他剩余的IMF，直到最后剩余信號r(t)為單調(diào)函數(shù)，則停止篩選，剩余信號r(t)可表示為：

原始信號pm(t)可表示為：

通過EMD 分解得到的IMF 可能含有多個頻率成分，為了得到單頻的IMF，需要設置帶通濾波器。對于大型復雜結構，結構動力響應重構的階數(shù)一般較多，通過傅里葉變換，可得到每階模態(tài)的頻率ωi，由此確定帶通濾波器的濾波區(qū)間[ωiLωiH]，其中ωiL＜ωi＜ωiH。將pm(t)通過濾波器后，再由EMD 分解得到各個單頻的IMF，則時域信號可表示為：

式中：di(t) 為第i階模態(tài)響應；si(t)為其余非模態(tài)響應的IMF。

界面自由度m的響應pm(t)及自由度r的響應pr(t)可表示為：

超單元的r自由度響應與其對應的有限元響應關系可表示為：

式中，Xr表示超單元的r自由度響應對應的有限元響應。

具體重構過程如圖1 所示。

圖1 重構流程圖Fig.1 Flowchart of the response reconstruction method

2 數(shù)值模擬分析

2.1 位移響應重構

通過懸臂梁仿真算例驗證本文提出的基于經(jīng)驗模態(tài)分解和模型縮聚的動力響應重構法的有效性。如圖2 所示，該懸臂梁由鋁材制成，鋁材彈性模量為69 600 MPa，密度2730 kg/m3，長寬高分別為5 m、0.5 m 和0.05 m。采用ANSYS 建立有限元模型，單元類型為beam3 單元，共有40 個單元，40 個節(jié)點，120 個自由度。以自由端為位移響應采集點，跨中節(jié)點為位移響應待測點，如圖3 所示，以1 單元～20 單元為子結構1，21 單元～40 單元為子結構2。

圖3 子結構劃分示意圖Fig.3 The schematic diagram of the substructures

該重構方法與外界激勵無關，將豎向隨機荷載均布于懸臂梁上，該隨機荷載由6 階低通巴特沃斯濾波器過濾的白噪聲模擬。每階模態(tài)阻尼設為1%，采樣頻率為1 kHz。為評估該重構方法的有效性，將均方誤差(MSE)及相關系數(shù)(correlation coefficient)設為評估重構效果的指標，其中MSE可表示為：

式中，z(t)、k和分別表示待測點的重構響應、矩陣z(t)的列數(shù)及待測點響應的理論值。

如圖4(a)所示為模擬生成的60 s 響應采集點的位移響應，圖4(b)所示為該位移響應的頻譜圖，由該頻譜圖可知已識別得到的懸臂梁固有頻率為1.63 Hz 和10.38 Hz。根據(jù)該結構的頻率可得表1所示的帶通濾波器。如圖4(c)和圖4(d)所示，結合帶有間歇準則的經(jīng)驗模態(tài)分解法(EMD)，可將響應采集點的位移響應分解為多個單頻時域信號。

圖4 響應采集點的位移Fig.4 The displacement measurement data of the response gauge location

表1 帶通濾波器的頻率范圍Table 1 the frequency range of the band-pass filter

由式(13)可得重構所得的響應待測點的位移響應，如圖5 所示為響應理論值與重構值的對比圖，其中圖5(a)表示60 s 時域的對比圖，為更清晰地反映重構效果，如圖5(b)所示，任取其中10 s的對比結果，由圖可知，重構所得的響應與理論值吻合較好。且響應采集點的理論值與重構值的相關系數(shù)為0.986(接近1)，均方誤差(MSE)為1.28×10-5遠小于3%)，以上表明了該重構方法的有效性及精確性。就計算效率而言，結合模型縮聚，懸臂梁有限元模型轉換為超單元模型，剛度矩陣和質(zhì)量矩陣大小由原來的120×120 降低至10×10，由此，計算量減小，計算效率得到提高。基于有限元基礎上的經(jīng)驗模態(tài)分解法完成該懸臂梁響應重構所需時間為80.42 s，而基于經(jīng)驗模態(tài)分解和模型縮聚的動力響應重構方法完成該懸臂梁響應重構所需時間為6.89 s，由此可知，計算效率得以提高。

圖5 響應采集點的理論值與重構值對比圖Fig.5 The comparison of the theoretical results and the reconstructed results

2.2 噪聲對重構精度的影響

結合圖2 所示的懸臂梁數(shù)值模擬算例分析四個不同噪聲等級(噪聲等級分別為0%、5%、10%、20%)對懸臂梁響應重構精度的影響。為模擬傳感器的測量噪聲，生成位移響應后，將噪聲單元加入各位移響應。其中，噪聲單元指高斯脈沖過程中的加速度的均方根占最大均方根百分比。通過噪聲等級來表征噪聲單元，如：10%的噪聲等級表示該噪聲為高斯脈沖過程中的加速度的均方根占最大均方根百分比為10%。基于該重構方法，通過懸臂梁自由端的響應重構懸臂梁跨中節(jié)點的響應。如圖6 所示，為四個不同噪聲等級下待測點的響應重構值與理論值對比圖。定義兩個指標以衡量噪聲等級對重構精度的影響，即均方誤差和相關系數(shù)。表2、表3 分別表示不同噪聲等級下的響應重構均方誤差和重構響應的理論值與重構值的相關系數(shù)。圖7、圖8 分別為重構響應的理論值與重構值的均方誤差、相關系數(shù)隨噪聲等級的變化曲線圖。

表2 不同噪聲等級下的響應重構均方誤差Table 2 Mean square errors of the four cases

表3 不同噪聲等級下的響應重構相關系數(shù)Table 3 Correlation coefficients the four cases

圖6 四個不同噪聲等級下待測點的響應重構結果Fig.6 The reconstructed results at four different noise levels

圖7 不同噪聲等級下的均方誤差Fig.7 Reconstruction performance measured in MSE under different levels

圖8 不同噪聲等級下的相關系數(shù)Fig.8 Reconstruction performance measured in correlation coefficient under different levels

由不同噪聲等級下的重構對比圖、MSE(皆小于3%)及相關系數(shù)(皆接近于1)可知，不同噪聲等級下，響應重構的精度皆能得到保證。但隨著噪聲等級增加，MSE 隨之增大，相關系數(shù)隨之減小，EMD 的邊界效應越來越顯著，由此可知，噪聲等級對重構精確度存在一定的影響。

2.3 主模態(tài)數(shù)量對重構精度的影響

結合圖2 所示的懸臂梁數(shù)值模擬算例，分析不同主模態(tài)數(shù)量對懸臂梁響應重構精度的影響，態(tài))下的重構效果，以研究主模態(tài)數(shù)量對重構精度的影響。結合該重構方法，通過懸臂梁自由端的響應重構懸臂梁跨中節(jié)點的響應。如圖9 所示，為4 個工況下待測點的響應重構值與理論值對比圖，仍以均方誤差(MSE)及相關系數(shù)來衡量主模態(tài)數(shù)量對重構精度的影響。如表4、表5 所示，分別為不同主模態(tài)數(shù)量下響應重構的均方誤差(MSE)和相關系數(shù)。由圖9、表4 及表5 可知，4 種工況的均方誤差(MSE)均較小(小于3%)及相關系數(shù)討論4 種工況(工況1：1 階主模態(tài)；工況2：2 階主模態(tài)；工況3：3 階主模態(tài)；工況4：4 階主模均接近1。由此可得，主模態(tài)的數(shù)量對該重構方法的精度影響較小，主要是由于子結構界面的模態(tài)轉換矩陣由約束模態(tài)計算所得，與主模態(tài)的相關參數(shù)并無太大關系。

表4 各工況下的響應重構均方誤差Table 4 Mean square errors of the four cases

表5 各工況下的響應重構相關系數(shù)Table 5 Correlation coefficient of the four cases

圖9 各工況下待測點的響應重構Fig.9 The comparison of the theoretical and reconstructed results in the different conditions

3 結論

本文的研究工作將有限元基礎上的響應重構拓展到超單元，將模態(tài)綜合法和帶有間歇準則的經(jīng)驗模態(tài)分解法結合以解決大型復雜工程結構的重構問題。得到的主要結論如下：

(1)該重構方法無需考慮各子結構邊界條件，有效地降低了有限元模型相關參數(shù)數(shù)學矩陣的維度，可以更好地適應大型復雜工程結構的動力響應重構，且較大地提高了響應重構的計算效率。

(2)基于懸臂梁仿真算例，通過該響應重構方法得到的待測點響應重構值與理論值較接近，其相關系數(shù)均接近于1 且均方誤差(MSE)小于3%，由此驗證了該方法的有效性。

(3)噪聲及主模態(tài)數(shù)量影響研究表明，隨著噪聲等級的提高，該重構方法的精度能得到保證，但仍對重構精度有一定影響；就主模態(tài)數(shù)量對重構精度影響而言，改變主模態(tài)數(shù)量對重構精度影響不大，由于子結構界面的模態(tài)轉換矩陣由約束模態(tài)計算得到，與主模態(tài)相關參數(shù)并無太大關系。