基于屈曲模態的彈性壓彎構件平面內二階彎矩計算

范 浩，王 新，董衛國，溫四清

(中信建筑設計研究總院有限公司，湖北，武漢 430014)

壓彎構件在軸力和彎矩的共同作用下，其平面內彎矩由兩部分組成[1]：一階彎矩，它由外加荷載作用在結構變形前的空間坐標產生；二階效應彎矩，它由軸力作用于桿件的側向位移上產生，該側向位移包含初彎曲和所有荷載(彎矩、剪力、軸力自身)產生的所有側向變形(彎曲變形、剪切變形)。人們習慣將軸力作用于側向位移產生的二階效應彎矩分成兩大類：構件兩端無相對側移時的P-δ 效應彎矩；構件兩端有相對側移時的P-Δ效應彎矩。

對于無側移構件，諸多研究[1-8]都給出了精度很高的計算公式來估計P-δ 效應彎矩MII，其基本形式為：

式中：P為構件中的軸壓力；Pcr,1為構件發生第一階彈性屈曲時的軸壓力(稱為歐拉荷載)；βmx為各類荷載和邊界條件下的等效彎矩系數(構件的實際最大二階彎矩與均勻受彎構件的最大二階彎矩的比值[1])；MI為構件中一階彎矩最大值，這些研究成果也被我國新版鋼結構設計標準采納[9]。

對于規則框架結構中的有側移構件(特指除框架本身外沒有任何側向支撐的構件)，一般引入一個二階效應系數來計算同一層框架柱的P-Δ效應彎矩[3,10-11]，該系數實質就是軸力在一階側向變形上產生的二階效應彎矩與水平力產生的一階彎矩的比值。若要很好的估計有側移框架柱在豎向荷載和水平力共同作用下的二階效應彎矩MII，需要對無側移變形彎矩和有側移變形彎矩乘以不同的放大系數[12]：

式中：MInt為假定框架沒有側移時按一階彈性分析所得桿內彎矩；MIlt為按一階彈性分析僅由框架側移引起的桿內彎矩；B1為P-δ 彎矩放大系數(按無側移情況對應的有效長度系數計算)；B2為P-Δ彎矩放大系數。由于B1會顯著小于B2，倘若不加區分MInt和MIlt而將一階分析得到的彎矩MI按照式(1)的形式采用統一放大系數B2計算有側移框架壓彎構件的二階彎矩，則會得到過于保守的結果[13]。

對于弱支撐框架結構、空間結構、或者變截面構件或(和)變軸力構件，這些體系中的壓彎構件均超出了傳統構件設計方法——構件計算長度結合等效彎矩系數、彎矩放大系數設計方法的適用范圍，結構工程師只能針對這類結構采用復雜的直接二階分析方法[14]或是針對某類構件進行研究并引入諸多修正系數[15-16]以得到與傳統方法形式(3)和式(4)一致的穩定設計公式[9]。

設計式(3)和式(4)中的系數φx(即柱子曲線)則經過了理論分析、構件試驗和數值分析等各類研究方法的大規模驗證，它全面考慮了構件初始缺陷和材料彈塑性的影響，該參數應該作為工程師設計一般壓彎構件在平面內的穩定性的最基本最重要的依據。針對一般情形的壓彎構件，如果能夠找到簡便、準確的方法計算出其二階彎矩，則可以將設計式(3)和式(4)的適用范圍推廣至所有鋼結構體系的壓彎構件，從而避免了采用直接二階分析方法時需要直接模擬真實初始缺陷或等效初始缺陷的繁瑣和錯漏[9,12,17]。

本文將針對一般鋼結構體系中的壓彎構件，不論其是否為規則框架、是否為有/無側移構件，在不進行直接二階分析的情況下，基于屈曲模態分析的方法，獲取壓彎構件的平面內二階彎矩，然后可借助壓彎構件穩定設計式(3)和式(4)進行構件設計。

1 基本方程

考察一個兩端帶有彈簧約束的等截面等軸力作用壓彎構件[6,8,18]，如圖1(a)所示，圖1(b)為變形后的構件及其支座反力情況，圖1(c)為構件的微元段隔離體。本文采用的如圖1(c)下側所示的空間直角坐標系x、y、z，相應方向的平動位移分別用u、v、w表示，基于右手法則，如圖1(b)所示，轉角、彎矩以逆時針為正，水平力、平動位移以坐標軸正方向為正，軸力則以受壓為正。對圖1(c)上側的微元段隔離體進行平面內受力分析，建立x向和繞z軸的平衡方程(因等軸力假定故y向自動滿足平衡條件)：

忽略高階小量可得：

一般情況下，當圖1 所示體系在跨內有集中水平力或集中彎矩作用時，可在集中荷載作用處分段，對每一段分別給出平衡方程式(7)和式(8)，在分段處應滿足位移連續和力的平衡條件，最后聯立各分段的平衡方程進行求解；本文為了保持形式上的簡單和統一，使得后續的數學推導簡單有效，采用均布荷載對集中荷載進行等效，等效方法如下：當跨中y處作用有集中水平力F0(或集中彎矩M0)時，用分布在極小區間[y-ε/2,y+ε/2]的均布線荷載q=F0/ε(或均布彎矩m=M0/ε 來替代。顯然當區間寬度ε 趨近于0，上述等效方法分析得到的結果將收斂到集中荷載作用情形，因此，認為平衡方程式(7)～式(8)可用來描述等截面等軸力作用的壓彎構件在平面內的任意受力狀態。

圖1 端部為彈性約束的壓彎構件受力簡圖Fig.1 Force diagram of typical member under combined axial force and bending

2 屈曲模態求解

對式(8)再進行一次微分且令q=0和m=0(表示體系無橫向外荷載作用)，根據小撓度假定且忽略剪切變形有My=-EIu′′，引入參數k2=P/EI，即可得到該體系的屈曲模態控制方程[6,8,18]：

當式(10)中的常數均取為0 時，就是體系的零解，對應于原始直立的平衡狀態。結合式(8)及式(10)～式(13)，可以得到水平力-PC3，求解式(10)中的k 及相應4 個常數C1～C4時，需要用到上、下端共4 個邊界條件：

a)下端水平力，Hy(0)=-PC3=kAu(0)，若kA=+∞(下端無側移)，u(0)=0；若kA=0(下端無側向約束)，C3=0；

b)下端彎矩，My(0)=-EIu′′(0)=-rAu′(0)，若rA=+∞(下端無轉動)，u′(0)=0；若rA=0(下端無轉動約束)，u′′(0)=0；

c)上端水平力，Hy(l)=-PC3=-kBu(l)，若kB=+∞(上端無側移)，u(l)=0；若kB=0(上端無側向約束)，C3=0；

d)上端彎矩，My(l)=-EIu′′(l)=rBu′(l)，若rB=+∞(上端無轉動)，u′(l)=0；若rB=0(下端無轉動約束)，u′′(l)=0。

根據上述4 類邊界條件可以組合出任意實際端部邊界條件：鉸接、固定、自由、彈性平動約束、彈性轉動約束等。當構件是作為隔離體取自整體結構時，其邊界約束的等效剛度值kA、kB、rA、rB是可以取負值的。由構件兩端的邊界條件可建立4 個線性方程，方程組存在非零解(即系數C1～C4不全為0)的條件就是其系數組成的4 階行列式為0。由式(10)～式(13)可知，該4 階行列式的唯一變量為k，展開后將得到一個包含三角函數的超越方程，由于三角函數的周期性質，k的解將有無窮多個。將其解按照由小到大依次排列，即可獲得各階模態的屈曲荷載然后代入原4 階線性方程組，此時實際獨立的方程只有3 個，因此，僅可確定第i階屈曲模態的系數Ci1～Ci4之間的比值：Ci2/Ci1、Ci3/Ci1、Ci4/Ci1(此處假定Ci1為任意非零實數)，從而式(10)屈曲模態可以寫成：

設ui、uj為體系的任意兩個屈曲模態，其對應的屈曲荷載為ki和kj，滿足0＜ki＜kj，可以證明體系的屈曲模態滿足如下形式的正交性：

對式(16)左端第一項進行兩次分部積分，并對左端第二項進行一次分部積分，整理得到：

令式(17)乘以截面的抗彎剛度EI，根據屈曲模態的通解表達式(10)～式(13)并利用水平力等式Hy=-PC3可得：

將式(16)中的屈曲模態ui、uj交換順序，進行同樣的處理可以得到：

由于ki＜kj，可證式(14)成立，從而式(15)也成立。

若體系受到的約束均為理想約束[19]，此時約束力在虛位移上所做的功恒等于零，也即約束既不儲能也不耗能，如鉸接、剛接、自由等，則有成立，此時式(15)可以簡化寫成：

在均勻軸壓力P作用下的等截面理想直桿體系，如圖1 所示，若其各階屈曲模態已知，則體系的任意位移(豎向位移和側向位移，不包含平動剛體位移)可以表示為：

相應的整個體系的勢能Π 由外力勢能V和內力勢能U組成：

將式(23)代入式(24)～式(26)，并利用式(14)～式(15)的正交性，可得：

令總勢能Π 的一階偏導數均為0，即可得到圖1 所示體系的平衡方程：

式(32)給出的是沿桿軸向的平衡關系式，式(33)給出的是保持原始理想直立狀態的平凡解，式(34)給出的是屈曲模態的非平凡解，對比式(29)可知，取P=Pi即可。

3 構件的二階效應求解

3.1 理論部分

第2 節針對圖1 所示體系的屈曲模態控制方程、模態解的形式、邊界條件、方程求解、模態的正交性以及屈曲模態的穩定性進行了較為全面的討論，下面將對構件平面內二階效應進行探討，與已有文獻方法[1,6,8]不同，本節將系統介紹采用屈曲模態分解的求解方法。

將式(8)進行整理可得：

令u=u0+uI+Δu，其中u0、uI、u、Δu分別為初始缺陷、外荷載引發的一階分析位移、二階分析位移和二階效應產生的位移增量，代入式(37)整理可得：

式(38)中水平力Hy來源包括橫向外荷載和二階傾覆效應產生的水平力ΔHy，令P=0，即得到相應的一階分析平衡方程：

式(40)建立起了Δu與u0和uI的關系，可見u0與uI對于體系的作用幾乎是一致的(不同點在于，初始缺陷u0在一階分析時不會產生內力)，二階效應均與它們的一階導數相關。

對式(40)再進行一次微分，則可得到：

式(41)與相應的屈曲模態控制方程式(9)的等號左端形式完全相同，顯然，對于同一體系而言，式(41)的解與式(9)的解都應滿足相同的邊界條件。

利用屈曲模態一階導數的正交性，可將一階分析位移uI(或初始缺陷u0)的一階導數唯一的分解成體系屈曲模態相應導數的形式：

當體系的約束滿足理想約束的條件時，屈曲模態的二階導數也滿足式(22)的正交關系，因此，一階分析位移uI(或初始缺陷u0)的二階導數也可唯一的分解成體系屈曲模態二階導數的形式：

求解式(41)時，u0與uI在數學上完全等價，為方便描述問題，現令u0≡0，將式(42)代入式(41)：

對式(53)進行兩次積分，得到二階效應側移增量的原函數表達式：

將體系上、下端共4 個邊界條件代入式(54)即可確定未知系數A、B、C、D，顯然體系各階屈曲模態及其線性組合均能滿足體系的邊界條件，因此，式(54)滿足體系邊界條件等價下式滿足邊界條件：

式(55)與體系的屈曲模態解式(10)的形式完全一致，若式(55)存在非零解，由于k的任意性，則意味著任意軸力值P都是體系的屈曲荷載，這顯然是不可能的。因此，必然有Δug≡0。從而式(50)的全解為：

若令式(41)中uI≡0，且將式(42)和式(43)中的uI替換成u0，則式(56)和式(57)也是有任意初始缺陷u0的二階效應級數解，所不同的是，由于初始缺陷u0本身對應的一階彎矩為0，故由初始幾何缺陷u0導致的二階彎矩可以表示為：

3.2 常見體系二階效應求解

本節采用屈曲模態方法對兩種典型體系的常見荷載工況求解其平面內二階彎矩。

3.2.1 兩端鉸接無側移體系

圖2 給出了一定軸壓力作用下體系的一階彎矩、二階彎矩的精確解[6]以及二階彎矩的級數解。結果對比表明：對于均布荷載和跨中集中荷載作用情況，級數解與精確解高度重合，但對于桿端存在彎矩情況，級數解的收斂速度明顯變慢，且在端部位置存在震蕩與突變，這是因為對于兩端鉸接體系來說，各階屈曲模態對應的端部彎矩為0，而相應的一階彎矩在端部非0，導致級數解在該端部無法收斂。

圖2 兩端鉸接無側移體系的二階彎矩計算結果Fig.2 Second-order in-plane moment of pinned end system by buckling model method

3.2.2 兩端無轉動有側移體系

該類情形的二階位移和二階彎矩的精確理論解為：

上述兩個算例表明：盡管其一階彎矩結果完全相同，但是屈曲模態分解法給出的二階彎矩放大系數完全不一樣。事實上從式(8)來看，二階效應來源于構件軸力與其側移一階導數的乘積，而與一階彎矩本身并無直接關系。用一個極端的例子來說明：任意等截面理想直桿，在均勻軸力、相同端彎矩和沿構件截面高度的梯度溫度作用下，當端彎矩產生的構件曲率與梯度溫度產生的構件曲率大小相等符號相反時，其一階分析結果是該構件處于均勻受彎狀態但無任何變形，此理想構件的二階效應為0，即其二階分析結果與一階分析結果完全一致。

針對上述兩種情況，圖3 給出了一定軸壓力作用下體系的一階彎矩、二階彎矩的精確解以及二階彎矩的級數解。結果對比表明：對于支座無轉動變形的有側移情況，級數解與精確解高度吻合，但對于桿端存在初始轉角而無側移的情況，級數解一直在精確解附近震蕩，并且越靠近構件端部震蕩越劇烈，最終在端部發散，這是由于后者出現了支座轉動位移，而體系的各階屈曲模態端部則嚴格保持零轉角。

圖3 兩端固接有側移體系的二階彎矩計算結果Fig.3 Second-order in-plane moment of fixed end with lateral displacement system by buckling model method

從前述算例和級數解的疊加原理可知，當無約束的自由度作用外荷載時，或是完全約束的自由度出現支座位移時，與精確理論解相比，級數解均存在不小的瑕疵，在極端情況下無法得到具有足夠精度的解甚至出現發散的情況；而其余情況下，級數解的精度雖然足夠，但計算量極大。上述情況嚴重限制了級數解在實際工程中的應用，下文試圖尋找一種可兼顧精度和效率的處理方法。

4 屈曲荷載的分布規律

式(58)表明：各階模態的二階效應放大系數為1/(1-P/Pcr,i)，它會隨著階數增加而減小，并逐漸趨近于1.0。如果僅對第一階屈曲模態的二階效應進行精確計算，而對高階屈曲模態采用統一的放大系數來估計，如若不帶來較大的誤差，則可得到效率和精度兼顧的級數解的近似解。

為了解高階模態二階效應放大系數的分布規律，本節將對圖1 所示體系進行參數分析。考慮的參數包含無側移情況(kA=kB=+∞)、有側移情況(kA=+∞且kB=0)、上端轉動約束情況(rA=αEI/l)、下端轉動約束情況(rB=βEI/l)，α、β 的取值包含0.0、0.1、1.0、10.0、+∞五種情況(上述參數涵蓋了所有的等效計算長度情形)，分別用α1～α5和β1～β5表示。

采用Midas Gen 2016 對圖1 進行有限元建模，不考慮構件的剪切變形，進行特征值屈曲分析，得到的結果如圖4～圖5 所示。圖4 給出的是各階屈曲荷載與前一階屈曲荷載比值，隨著端部約束剛度的增加，該比值逐漸減小，端部約束對Pcr,2/Pcr,1的影響巨大，但是隨著階數增加，端部約束對高階屈曲模態的Pcr,i+1/Pcr,i的影響越來越小，其比值逐漸均勻的趨近于(i+1)2/i2。圖5 給出的是各階屈曲荷載與第一階屈曲荷載的比值，顯然Pcr,2/Pcr,1最小，隨著階數的增加，Pcr,i+1/Pcr,1均迅速增加，端部約束剛度越大，該比值增加越慢；兩端固定無側移體系的Pcr,i+1/Pcr,1取最小值，依次為2.0、4.0、6.0、9.0、12.0、16.0、···、+∞。

圖4 軸心受壓構件各階屈曲荷載與前一階屈曲荷載比值(Pcr,i+1/Pcr,i)的分布規律Fig.4 Pcr,i+1/Pcr,i distribution of axial compression member

圖5 軸心受壓構件各階屈曲荷載與第一階荷載比值(Pcr,i+1/Pcr,1)的分布規律Fig.5 Pcr,i+1/Pcr,1 distribution of axial compression member

5 平面內二階彎矩估計

第4 節的參數分析表明：Pcr,i/Pcr,1會隨著模態階數迅速增加，且不小于2.0、4.0、6.0、9.0、12.0、16.0、···、+∞，因而當2≤i＜j時，有：

式(61)和式(62)僅對第一階屈曲模態彎矩的二階效應進行了準確的計算，而對高階模態彎矩部分則采用了統一的放大系數進行估算，因此誤差來源于高階模態彎矩的二階效應。采用式(61)和式(62)對3.2 節中討論的6 種情況進行驗證，得到的計算結果如圖6 和圖7 所示。當第一階屈曲模態彎矩占據主導地位時，如圖6 (a)～圖6(c)和圖7(a)所示，式(62)的結果與精確解幾乎完全重合；當第一階屈曲模態彎矩為0(如圖6(d))或第一階屈曲模態彎矩沒有占據主導地位時(如圖7 (b))，精確解落在式(61)和式(62)之間或附近，在估計二階彎矩的最大值方面，式(62)仍然給出了非常精確的結果，而式(61)則給出了相對偏大的估計結果。

圖6 兩端鉸接無側移體系的二階彎矩估計結果Fig.6 Etismation of Second-order in-plane moment of pinned end system

圖7 兩端固接有側移體系的二階彎矩估計結果Fig.7 Etismation of Second-order in-plane moment of fixed end with lateral displacement system

式(61)和式(62)僅需利用構件的第一階屈曲軸力、第一階屈曲模態和一階分析的彎矩結果，就可以對其二階彎矩(由外荷載產生，不含初彎曲、初始偏心的影響)進行估計，完全克服了式(58)彎矩求解的計算繁復和結果發散的問題。而與傳統方法相比，求解過程不再需要知道構件是否有無側移、不再需要區分豎向荷載產生的彎矩和水平力產生的彎矩。

盡管前述少數典型算例表明式(62)具有足夠的估值精度，然而其對高階模態彎矩會存在偏小估值誤差，如若體系僅作用第二階模態彎矩時，最大低估誤差為：

式(63)表明：體系承受的軸力越大，式(62)的估值誤差越大，右側不等式的等號對應于兩端固接無側移體系，當P/Pcr,1=0.3時，式(62)會存在15%的估值誤差。

相應地，式(61)則對高階模態彎矩可能會存在偏大估值誤差，若某體系的第k階屈曲荷載滿足Pcr,k/Pcr,1=γ≥2.0，當該體系僅作用第k階模態彎矩時，相應地高估誤差達為：

式(64)表明：體系承受的軸力越大，式(61)的估值誤差越大，右側不等式的等號對應于γ 趨近于無窮大的情形，當P/Pcr,1=0.3時，式(61)會存在17.6%的估值誤差。

上述極端情形的誤差分析表明：僅采用式(62)進行估值會出現偏不安全的情況，而式(61)也會有估值過高的情形，綜合考慮，本文建議采用如下公式計算構件的二階彎矩：

式(66)實際上接近于式(61)和式(62)兩個界限值的中間值。當式(65)和式(66)給出兩個估算值同號或構件截面對稱，則取二者的較大絕對值；當構件截面不對稱且二者異號時，應將兩個計算結果分別進行承載力驗算。

采用式(65)和式(66)式進行二階彎矩估計時，與式(63)和式(64)式相應的估值誤差可以改寫為：

利用式(65)和式(66)估計二階彎矩進行構件設計時，由于彎矩計算存在誤差ΔMy，相應的設計應力比：

式(70)和式(71)表明：利用式(65)和式(66)進行構件穩定承載力驗算時，其最大應力比誤差可以用P/Pcr,1和ρ 來估計。圖8 給出了式(70)和式(71)不等號最右側部分的圖像，可見應力比誤差為構件真實應力比ρ≤1.0 的增函數，對于任意給定的ρ，應力比誤差曲線接近于關于P/Pcr,1的拋物線，其兩個零點分別為P/Pcr,1=ρ(軸心受壓狀態)和P/Pcr,1=0(純受彎狀態)，且最大高估誤差與最大低估誤差是對稱的。采用式(65)和式(66)計算構件的二階彎矩并對其平面內穩定進行驗算時，當應力比按0.9 控制時，應力比誤差不會超過0.06；當P/Pcr,1不超過0.3 時，應力比誤差也不會超過0.05。

圖8 應力比誤差ρd-ρ 與P/Pcr,1和ρ 的關系Fig.8 Error ρd-ρ affected byP/Pcr,1 and ρ

6 第一階模態系數最大值

7 與有限元法結合

接下來討論基于前述方法并借助有限元單元法的一階分析結果和屈曲模態分析結果計算構件的平面內二階彎矩。以三階純彎梁單元為例，其單元的彎曲變形曲線用三次拋物線來描述：

由單元兩端的幾何邊界條件u(0)=δ1，u′(0)=-δ2，u(l)=δ3，u′(l)=-δ4，得到u=A{δ}，u′=C{δ}，式中{δ}=[ δ1δ2δ3δ4]T，對于同一單元的兩個側向變形的一階導數的積求定積分，有：

式(76)即為單元的幾何剛度矩陣[6]，結合式(75)和式(76)可知，采用有限元方法計算式(43)中的a1僅需對節點位移進行標量計算即可：

由a1M1,i=-a1EI(A)′′{δ}1,i計算第i個單元的第1 階屈曲模態彎矩，其中：

在有限元分析程序中，可以直接利用單元剛度矩陣得到節點彎矩，然后線性插值得到單元內部的第一階模態彎矩，再利用式(65)和式(66)即可求得相應的平面內二階彎矩。

如圖9(a)所示，采用Midas Gen 對第3.2.1 節的兩端鉸接無側移體系建立有限元模型，柱截面H400×250×10×12，強軸定義為平面內，平面內抗彎剛度EI=5.57×107N·m2，約束弱軸方向平動自由度，柱高l=10 m，分成10 個單元，柱頂施加軸壓力進行屈曲分析得到第一階屈曲模態為圖9(b)所示(左為平動位移，右為轉角位移，余同；需要指出的是，Midas Gen 軟件的轉角位移為順時針為正，與本文定義相反)，施加全跨作用均布荷載q=1 kN/m、跨中作用集中荷載Q=10 kN、兩端作用同號相等彎矩MI=1 kN·m、兩端作用異號相等彎矩MI=1 kN·m 進行一階分析，得到的位移結果如圖9(c)～圖9(f)所示。

圖9 有限元分析算例Fig.9 A calculation example by finite element analysis

采用本節方法分析得到二階彎矩與相應的精確解詳圖10，與圖6 相比，本節方法可以得到精度較高的構件平面內二階彎矩，由于需要對分段插值函數求二階導，本節方法得到的結果并不連續(提取結果時相鄰節點的結果取較大值)和光滑。

圖10 兩端鉸接無側移體系基于有限元方法的二階彎矩估計結果Fig.10 Estimation of Second-order in-plane moment of pinned end system by finite element method

8 結論

本文對一般約束條件下的等截面等軸力線彈性壓彎構件在彎矩作用平面內的屈曲模態和二階彎矩的屈曲模態級數解進行了深入探討，可以得到以下結論：

(1)構件屈曲模態的一階導數和二階導數滿足正交關系，構件的任意平動位移的一階導數可以唯一的分解成用其屈曲模態一階導數的級數和形式；

(2)基于小撓度假設和體系的勢能極值和駐值情況，嚴格論證了體系各類平衡狀態的穩定性：當P＜P1時，體系的直立平衡態是穩定平衡的；當P＞P1時，體系的直立平衡態和高階屈曲模態均為不穩定平衡狀態；當P=P1時，體系的第一階屈曲模態是一種隨遇平衡狀態；

(3)采用屈曲模態分解的方法，將體系的二階彎矩表示成其屈曲模態的級數和形式，各階屈曲模態對應的彎矩放大系數是其相應屈曲荷載的函數，對幾種常見的情形進行了算例分析；

(4)不同約束條件下，各階屈曲荷載與第一階屈服荷載的比值，隨著階數的增加，Pcr,i/Pcr,1均迅速增加，端部轉動約束剛度越大，該比值增加越慢；當兩端完全固定時，Pcr,i/Pcr,1取最小值，依次為2.0、4.0、6.0、9.0、12.0、16.0、···；

(5)結合二階彎矩的屈曲模態級數解形式和屈曲荷載的分布規律，給出了二階彎矩估算方法，該方法僅需已知構件的第一階屈曲軸力、第一階屈曲模態和一階分析的彎矩(由外荷載產生，不含初彎曲、初始偏心的影響)，對幾種常見情形進行了算例計算與誤差對比，并對極端情形下的誤差進行了分析；

(6)對第一階模態彎矩系數和第一階模態位移系數的最大值進行了推導，明確了二者取極值的條件，算例表明，該值最大為4/π；

(7)基于有限元分析結果，給出了采用屈曲模態分解法計算二階彎矩的方法。