四模Lorenz-Stenflo系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為分析及其數(shù)值仿真

王賀元, 白 晨

(沈陽(yáng)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽(yáng) 110034)

0 引 言

1963年,美國(guó)氣象學(xué)家Lorenz[1]利用截譜方法,討論了Rayleigh-Benard對(duì)流問(wèn)題,得到了一個(gè)三維的非線性常微分方程組,也就是通常所說(shuō)的Lorenz 系統(tǒng)。

隨后,眾多學(xué)者對(duì)Lorenz系統(tǒng)的各種特性展開(kāi)了深入研究,揭示了該系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的演化過(guò)程[2-6]及產(chǎn)生混沌的力學(xué)機(jī)制機(jī)理[7]。隨著各種研究的不斷深入,基于Lorenz系統(tǒng),人們給出了豐富多樣的修正模型,如四模類[8]、五模類[9-10]、九模類[11]等。

瑞典物理學(xué)家Lennart-Stenflo[12]發(fā)現(xiàn),大氣中低頻短波重力擾動(dòng)可以用4個(gè)廣義Lorenz方程組來(lái)描述。當(dāng)不考慮地球自轉(zhuǎn)時(shí),這些耦合方程簡(jiǎn)化為三模常規(guī)的Lorenz方程。這個(gè)低頻和短波近似的大氣方程即Lorenz-Stenflo模型:

(1)

其中:新增的狀態(tài)變量x4描述了氣流的旋轉(zhuǎn);新增的參數(shù)s是與x4相對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)數(shù)(rotation number);q表示普朗特?cái)?shù)(Prandtl number);r表示瑞利數(shù)(Rayleigh number);b表示幾何參數(shù)(geometric parameter)。

在小旋轉(zhuǎn)數(shù)s的情況下,隨著r的變化,該系統(tǒng)的分岔結(jié)構(gòu)和Lorenz系統(tǒng)是相近的[13]。若將旋轉(zhuǎn)數(shù)s視為分岔參數(shù),那么隨著s的變化,該系統(tǒng)的分岔結(jié)構(gòu)便與一維邏輯斯蒂映射非常相似[14]。

1 Lorenz-Stenflo系統(tǒng)的吸引子和穩(wěn)定性

多數(shù)非線性微分方程很難求出其解的具體表達(dá)式,因此,在不具體解出方程的情況下,判斷方程的解的穩(wěn)定性態(tài)以及解的性態(tài)就顯得尤為重要。從物理意義方面考慮非線性微分方程的解的穩(wěn)定性同樣具有現(xiàn)實(shí)意義[15]。

1.1 平衡點(diǎn)

1.2 零點(diǎn)的線性穩(wěn)定性

在零點(diǎn)附近做線性近似,得到一個(gè)四階矩陣,該四階矩陣有特征值方程:

(λ+b)[λ3+(2q+1)λ2+(q2+2q-rq+s)λ+(q2-q2r+s)]=0

由勞斯赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù),滿足下列條件時(shí),方程只有負(fù)實(shí)部的解:

1.3 對(duì)稱點(diǎn)的線性穩(wěn)定性

作平衡點(diǎn)附近的代換xi=pi+Xi(i=1,2,3,4),根據(jù)勞斯赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù),其性質(zhì)與原點(diǎn)的穩(wěn)定性基本相同。

1.4 全局吸引子存在性分析

由Gronwall不等式得

1.5 全局穩(wěn)定性

借助李雅普諾夫函數(shù)法,討論系統(tǒng)(1)的全局穩(wěn)定性。構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù):

顯然,當(dāng)K是常數(shù)時(shí),上式表示一個(gè)四維橢球面,把這個(gè)橢球面所包圍的單連通區(qū)域記做H,K越大,橢球面越大。求V的導(dǎo)數(shù):

顯然,下式可以視為一個(gè)四維橢球面,記為U,則

2 數(shù)值仿真

由文獻(xiàn)[16]可知,參數(shù)取q=10,s=30,b=8/3符合物理含義,在這幾個(gè)取值條件下對(duì)Lorenz-Stenflo系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行數(shù)值仿真。

2.1 最大李雅普諾夫指數(shù)

李雅普諾夫指數(shù)是衡量系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的一個(gè)重要的定量指標(biāo),正的李雅普諾夫指數(shù)意味著,無(wú)論2條軌線的初始間距多么小,其差別都會(huì)隨著時(shí)間的演化而成指數(shù)率增加,以至于無(wú)法預(yù)測(cè),這就是混沌現(xiàn)象。圖1為瑞利數(shù)從0～600變化時(shí)的最大李雅普諾夫指數(shù)。

圖1 最大李雅普諾夫指數(shù)

2.2 分岔圖

狀態(tài)變量和分岔參數(shù)構(gòu)成的二維圖形表示狀態(tài)變量隨分岔參數(shù)變化的規(guī)律。通過(guò)分岔圖可以得到系統(tǒng)響應(yīng)的周期運(yùn)動(dòng)或者擬周期運(yùn)動(dòng)以及混沌運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)區(qū)間,在一定程度上可以用于判定通向混沌的道路。圖2為瑞利數(shù)從0～600變化時(shí)的分岔圖。2個(gè)圖像對(duì)比可見(jiàn),最大李雅普諾夫指數(shù)越大,分岔圖對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)混沌程度越大。

圖2 分岔圖

2.3 吸引子

空間中每一點(diǎn)都表示系統(tǒng)在某一時(shí)刻的狀態(tài),當(dāng)狀態(tài)發(fā)生變化時(shí),相空間的點(diǎn)移動(dòng)進(jìn)而構(gòu)成軌跡,在軌跡上的點(diǎn)的不變集則為吸引子。周期振蕩的吸引子為一條封閉的曲線,也就是極限環(huán)。準(zhǔn)周期震蕩則為輪胎型的曲面。混沌吸引子的軌跡具有局部不穩(wěn)定性、整體有限性和結(jié)構(gòu)自相似性等特點(diǎn)。以洛倫茲方程為例,其吸引子軌跡類似于蝴蝶,如圖3和圖4所示。

圖3 r=280吸引子

圖4 r=300吸引子

2.4 龐加萊截面

維數(shù)比相空間少的低維截面與吸引子相截得到龐加萊截面。龐加萊截面法就是把連續(xù)的軌線變?yōu)殡x散的點(diǎn),進(jìn)而研究運(yùn)動(dòng)的特征和變化規(guī)律。圖5為瑞利數(shù)取248時(shí)x1與x2的龐加萊截面,由圖5可知,系統(tǒng)處在混沌狀態(tài),截面與洛倫茲系統(tǒng)的蝴蝶形狀相似。

圖5 龐加萊截面

2.5 時(shí)間序列

用數(shù)值方法將方程的解隨時(shí)間變化的過(guò)程描述出來(lái),也就是混沌運(yùn)動(dòng)的時(shí)間過(guò)程,以直觀清楚地反映系統(tǒng)響應(yīng)隨時(shí)間變化的規(guī)律。圖6為瑞利數(shù)取248時(shí)x1與時(shí)間t的時(shí)間序列,由圖6可以看出,系統(tǒng)的解并不是簡(jiǎn)單的周期解,而是非周期的、復(fù)雜的、混沌的。

圖6 時(shí)間序列

3 結(jié) 論

通過(guò)對(duì)Lorenz-Stenflo系統(tǒng)的數(shù)值運(yùn)算,得到該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及局部和全局穩(wěn)定性等性質(zhì)。通過(guò)對(duì)Lorenz-Stenflo系統(tǒng)的數(shù)值仿真,發(fā)現(xiàn)其三維圖像經(jīng)歷了奇怪吸引子、擬周期軌道、極限環(huán)等形狀,系統(tǒng)存在復(fù)雜的窗口期和倒分岔過(guò)程。綜上所述,在考慮氣流旋轉(zhuǎn)因素這一前提下,隨著瑞利數(shù)的增加,該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為的變化更為復(fù)雜。