初中數學教學中數形結合思想的應用研究

陳增運

（濟南市萊蕪實驗學校 山東濟南 271100）

數形結合是一種重要的數學思想方法。教師利用數學結合的形式，可以提高學生靈活解決問題的能力，讓晦澀難懂、較為抽象的數學概念以圖形的形式具體地展現出來，有助于加深學生理解，并應用相關數學知識，激發學生的數學學習潛力。隨著新課改的不斷實踐和深化，傳統以教師為主體，學生被動接受知識內容的教學模式無法滿足學生多元化的發展需求。在初中數學教學中，應用數形結合思想，可以增強學生自主探索的能力，培養學生的創新意識。

杜威的“思維五步法”凸顯的是學生的地位。杜威強調：“我們教育中將引起的改變是中心的轉移。這是一種變革，這是一種革命，和哥白尼把天文學的中心從地球轉移到太陽一樣的那種革命。在這里，兒童變成了太陽，教育的措施便圍繞他們而組織起來。”他把學生的發展視為一種自然的過程，教師的作用只在于引導學生的興趣，滿足他們的需要，不能對學生過多的干涉。杜威要求教師由指導者變成發起者，由向導變成顧問，學生由以前的被動接受變成主動探索，兒童由靜聽者變成研究的人和實驗的人。

一、數形結合的內涵及應用原則

1.數形結合的內涵

所謂數形結合，是指將抽象的數學語言、數量關系與較為直觀、形象的幾何圖形和位置關系建立聯系并進行結合，將抽象的數學知識內容與形象的圖形關系、幾何曲線建立聯系，實現抽象數學知識與形象的數學圖形融合，將復雜的數學內容簡單化、具體化的數學教學方法。從數形結合的本質來看，在具體教學中可以分為兩部分內容。一是借“形”的生動性和直觀性的特點探討數學公式、數據特征。二是利用“數”的精確性探討形的屬性和特征。數形結合的教學方式涵蓋了代數和幾何學多方面的知識內容，要求學生在學習過程中要做到融會貫通、舉一反三，培養學生從多角度、多維度來解決問題的能力和思維習慣。

2.數形結合思想的應用原則

在初中數學教學中應用數形結合思想，要遵循等價性原則、緊密性原則和單向性原則。所謂等價性原則，是指在數形轉換的過程中，要找到代數和幾何之間的相互聯系，明確代數性質和幾何特征之間的轉換關系，遵循等價、等量的原則，才能更好地解決問題。在緊密性原則下，學生在學習數學和解決數學問題的方法時，要靈活應用代數技巧和幾何技巧，建立代數學和幾何學之間的緊密聯系[1]。單向性原則是指在解決具體數學問題時可以將復雜的幾何問題轉化為更為簡單的代數問題，探索解決數學問題的最優解，或者在解決具體代數問題時，采用相應的幾何方使復雜、抽象的代數問題變得更加具體、形象，在培養學生多元化解決問題難度的同時，提高解決數學問題的效率[2]。

二、數形結合思想的重要意義

1.簡化知識內容，降低解析難度

在初中數學教學中，采用數形結合的教學方法，可以將復雜的數學理論和概念通過更加直觀、形象、具體的方式展現出來。數學是一門比較抽象的、注重培養學生邏輯思維能力和抽象思維能力的學科，學生要重點掌握解題技巧、解題方式，培養良好的學習習慣[3]。初中數學中的有些知識點內容比較抽象、晦澀難懂，如果不采用適當的教學方法，不僅會增加學習難度，還會使學生產生畏難心理，在有些知識點中利用數形結合的教學方式可以強化學生從多角度、多方位去思考題目、解決數學難題的能力，簡化知識內容。這就需要數學教師摒棄傳統模式下填鴨式的教學方法。結合現代學生多元化的需求和數學知識學習過程中存在的問題制定具有針對性的教學方案，以學生作為課堂主體，采用引導、分層的教學手段，以滿足不同學生的學習需求，提高學生的綜合能力和綜合素質。

2.增加數學趣味，激發學生興趣

學生的學習能力不同，學習基礎也有所差別。在日常教學中，教師要深入分析全部學生的學習情況和數學基礎知識的掌握情況。初中時期是培養學生良好的學習習慣以及數學解題思維的重要階段[5]。教師要盡最大可能明確不同學生的學習能力和數學學習過程中存在的難題。讓學生在該階段養成學習數學的好習慣。采用數形結合的教學方法可以鍛煉學生多種解題思路，激發學生的求知欲和學習潛力，使不同層次的學生都能結合自身數學基礎知識的掌握情況和學習能力從圖形和數字中產生解題靈感，提高分析抽象數學問題的能力。

數形結合思想是利用“數”與“形”的緊密對接和巧妙轉換，讓學生迅速找到解題思路。要想要強化學生靈活應用數形結合解題思路和方法，教師首先要讓學生對數學內容中的代數和幾何學的特征和特點有一個初步認知，掌握代數學和幾何學的基本知識內容，在此基礎上，潛移默化地向學生灌輸“數”“形”結合解題思路的內涵，明確“數”“形”結合的基本含義和重要作用[6]?；跀敌谓Y合思想理念下的數學教學，教師要讓學生熟練掌握數形結合的方法，培養其利用幾何技巧解決代數問題，或者利用代數技巧解決幾何問題的習慣和意識。這就需要數學教師在授課過程中引導學生自主探索，掌握和運用“數”“形”之間的聯結點，進一步培養學生舉一反三、觸類旁通的學習能力。結合實際情況來看，在初中數學教學中，大多數情況下都是利用幾何技巧去解決復雜、晦澀難懂的抽象的代數問題。在該過程中，要實現以數化形，教師要向學生灌輸利用好數形結合解決思路的前提，明確數形之間的聯系性、緊密性和單向性。針對學生數學理解能力弱的問題，可以采用信息技術手段，強化學生理解，數學教師要增強自身創新教學的能力，在信息技術、多媒體技術迅速發展的背景下，通過動畫、多媒體、圖片等形式向學生展示數形轉換的過程，掌握實現數形轉換的技巧和方法，利用動畫展示的方式，不僅僅可以提高數學教學的嚴謹性，而且還能大大提高學生學習的積極性、主動性，降低學習的難度，進而提高學習效率。

國有水利工程農業供水成本費用為執行價與作物種植面積的乘積。斗口農業供水量為水田斗口農業供水量和旱地斗口農業供水量之和，斗口水田毛灌溉定額為361 m3/畝（采用中稻和油菜輪種的毛灌溉定額多年平均值），斗口旱地毛灌溉定額為79 m3/畝（采用棉花的毛灌溉定額多年平均值）。根據計算公式，桃花山鎮農民用水者協會國有水利工程水價為0.021元/m3，調關鎮和東升鎮農民用水者協會國有水利工程水價為0.020元/m3。

3.優化學生思維，扎實數學基礎

初中數學知識抽象性、概括性比較強。有些學生在短時間內很難深入透徹理解相關知識點，數形結合教學方法最大的特點在于可以使“數”和“形”的知識點互相轉換，將抽象的數字、概念、公式以具體的圖像中呈現出來，可以拓展學生的思維，降低學習難度，增加學習興趣，培養思維意識[4]。不僅如此，根據具體的數學知識，應用數形結合的教學方式，可以優化和解決傳統教學模式存在的諸多問題，使學生在掌握數學基本知識的基礎上積極探索代數和幾何之間的聯系，提高學生靈活解決問題的能力。受到傳統教學觀念的影響，有些教師在數學課堂上將重點知識內容以板書的形式展現出來，有些學生沒能掌握正確的學習方法，在課堂有限的時間內很難對數學學習內容展開深入理解，學習效率不高。長此以往，成績得不到明顯提升，會打擊學生的學習積極性和主動性。數形結合教學方法的主要特征是讓學生在有限的課堂時間內深入理解數學知識內容，幫助學生解決學習的重點、難點和要點知識內容，增強課堂的趣味性和有效性。

三、數形結合思想在初中數學教學中的具體應用

1.融合數形結合思想，增加“數”“形”認知

實踐中，網約車的產生憑借新的技術條件和經營方式突破了專營的市場藩籬，構成對傳統出租車經營的巨大沖擊。我國傳統的出租車經營在誕生之初因其國營性質而采取行政許可專營方式，造成了出租車行業的自然壟斷屬性。當政府在對自然壟斷行業實行邊際成本定價管制時，為了分攤行業的平均成本，政府需要對其進行適度補貼或者賦予其壟斷地位。在面對網約車侵蝕原有出租車經營者的利益時，政府不應繼續通過嚴厲的管制來排斥、壓制網約車的發展，而應以促進出租車市場健康發展和滿足廣大民眾出行需求為出發點改革原有的行政管理模式，充分發揮負面清單前述的自發管理、自由發展等積極因素，實現交通服務于民眾的經濟、社會目的。

2.結合典型案例，進行一題多解訓練

當學生具備一定的數形結合解題思維和意識之后，教師要根據學生的學習情況引導學生在實際解題過程中應用數學結合的思維方式[7]。相比建立數形結合解題意識來說，解題思維的實際應用環節，教學和學習難度更大，提高數形結合解題效果，教師可以根據教材和教學目標引用經典案例，引導學生主動探索一題多解的新途徑，拓展學生的思維。在具體教學過程中，教師可以在課堂上引用經典題目，讓學生通過具體的題目實際應用數形結合的解題方式，讓學生自主體驗整個解題流程。其次，可以通過具體的數學題融入數形結合的解題方法，在解決某一代數問題時，可以讓學生繪制圖形進行輔助解題，將抽象、難以理解的數學概念以更加形象、具體的圖形方式呈現出來，降低學習難度。例如，在絕對值學習時，有些學生在短時間內無法深入理解絕對值的概念，在解決具體題目時顯得力不從心。這種情況下，教師可以引導學生繪制數軸探索絕對值的概念，在深入理解絕對值的概念之后再應用到具體題目中。

3.聯系生活實際，實現生活化教學

結合實際情況來看，初中數學教學中，很多老師缺乏創新意識和創新思維，數學知識內容的講解大多數情況下停留在課堂和理論教學層面。數學是一門實用性很強的學科，很多知識內容在生活實踐中都有所體現。在數形結合思想意識培養過程中，教師可以將數學知識與學生的生活實際建立聯系，培養學生學以致用的能力[8]。在具體教學過程中，數學教師可以通過創設生活情境的方式，提高學生應用數形結合技巧的能力，將一些數學知識點轉換成生活實際中的案例。利用創設生活情境的方式開展數形結合教學方式的訓練時候，首先要讓學生理解相關數學知識點的重點、難點，在掌握相關數學知識關鍵點的基礎上，再強化學生將數學知識應用于實際場景中的能力，讓學生在所創設的生活場景中進一步加深對數形結合解決數學問題的理解。其次，教師要以數學教材為核心，結合現實生活中的案例構建數學模型，探索數與形之間的聯系[9]。例如，教師首先要從數學理論層面講解勾股定理，在學生掌握勾股定理的基本概念之后，通過數學習題強化對勾股定理的原理和基本概念進行強化，而后根據學生對勾股定理的具體掌握情況引入生活中的實際問題，創設具體的場景，加深學生對勾股定理的深層次應用。教師可以通過讓學生測量旗桿、計算湖泊河流長度等實際問題，明確勾股定理在生活實際中的妙用，逐漸提升數學的學習興趣，提高數學教學的質量。最后，在數學教學中，教師要引導學生靈活掌握數形結合思想中“以數示形”和“以形表數”的技巧。所謂“以數示形”，是指學生在解決具體數學問題的時候，要根據數學題目靈活應用數軸、直角坐標系等與數值相關的知識點，將幾何問題處理為代數問題，在應用題類型中利用面積、距離、角度等幾何數量關系對生活中常見代數公式圖形化，通過這一流程，不斷培養學生主動探索和靈活解決實際問題的能力。所謂“以形表數”，是指學生在實際解決數學問題，在明代數與幾何之間內在聯系的基礎上，對常見的代數公式和數字概念圖形化。這種思維方式可以學生從多個角度看待數學問題，有助于培養學生一題多解和靈活應用解題技巧的能力。

4.應用網絡技術，強化學生獨立思考的能力

著名數學家華羅庚曾提出：“數缺形時少直觀，形少數時難入微”。由此可見，想要提高學生綜合素質和主動學習的能力，強化數形結合思想意識是重要的途徑。隨著網絡技術、信息技術的不斷發展，多媒體教學手段在現代化教育教學中得到了普遍應用，廣袤的互聯網環境給初中數學教學創造了巨大空間和環境，推動了數學教學的現代化發展。初中數學教師要結合時代特征和現代學生多元化的發展需求，積極應用網絡技術的優勢，鍛煉學生獨立思考的能力。根據數學教材制定網絡化、信息化的教學方案，尤其在學生數形結合思想意識培養過程中，可以結合多媒體平臺以動態圖形的形式展現數形轉換的過程，以激發學生的學習積極性和主動性，拓展學生的思維空間，降低學生理解復雜概念的難度。除此以外，利用網絡化的教學環境，教師可以將與數形結合相關的案例上傳到相關信息學習平臺上，要求學生在課余時間進行學習。這種教學模式打破了傳統的數學教學只能停留在課堂上的局限性，突破了空間和時間的限制。利用網絡平臺，教師也可以及時了解學生的學習情況和對重點、難點知識內容的掌握情況，進而調整教學方案，提高數學教學的針對性、有效性，為學生的后續學習奠定良好的基礎。除此之外，現在網絡上有較多的優質視頻教學資源，教師可以根據教學目標、教學內容和教學大綱選擇適應性較強的網絡教學資源，根據實際情況進行取舍，將有價值的學習資源分享給學生，以拓寬學生的視野。

結語

綜上所述，初中數學是一門重要的學科，數形結合是數學的基本概念。在教學過程中，貫穿數形結合的理念，可以提高學生靈活解決問題的能力，激發學生的數學學習潛力。數形結合思想的應用也是推動初中數學教學手段創新發展的重要途徑。教師要結合教學大綱、教學目標和教學任務，明確首數形結合的關鍵應用點和應用條件，以降低數學學習的難度，提高教學質量和教學效率。